Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

Transkript

1 Lösningsförslag TSRT9 Reglerteori (a Korrekt hopparning: (-C: Uppgiften som beskrivs är en typisk användning av sensorfusion, där Kalmanfiltret är användbart. (-D: Vanlig användning av Lyapunovfunktioner. (3-A: Följer av innebörden av LQ-kriteriet ( målfunktionen. (4-E: Enl. Bodes integralsats är önskemålet S(iω <., ω omöjligt att uppfylla. (-B: Kraven som anges passar perfekt för H -ramverket. (b Se figur. x (t (roterad 9 grader 8 6 t 4 x x (t Fasplan x x t x Figur : Tidsplottar av tillstånden x och x kombinerade till ett fasplan. (c Systemets överföringsmatris kan beräknas med hjälp av följande matlabkommandon: >> A=[- ; - ; -9]; >> B=[ ; ; ]; Ver: 9 augusti 6

2 >> C=[ ; - ]; >> G=tf(ss(A,B,C,zeros(, Resultatet är att G(s = ( s + s + 3s + s (s + Den minsta gemensamma nämnaren till alla underdeterminanter till G(s är p(s = s + 3s + Enligt sats 3. i reglerteoriboken är nollställena till p(s systemets poler. Dessa blir här ( 3 ± /. Den maximala underdeterminanten, normerad så att den har p(s som nämnare, är /(s + 3s +. Enligt sats 3.6 är nollställepolynomet n(s den största gemensamma delaren till täljaren i den maximala underdeterminanten (med p(s som nämnare. Här är n(s = och systemet saknar alltså nollställen. (OBS! Den givna tillståndsbeskrivningen är inte minimal så polerna till systemet ges inte av egenvärdena till A-matrisen.. Se Reglerteoriboken sidan och speciellt figur 3.b. Byt plats på x och x och förstora ggr. 3. (a För att relativa gradtalet ska vara två så får varken utsignalen eller utsignalens tidsderivata innehålla u. En exakt linjärisering fås genom att välja u så att utsignalens andraderivata blir linjär. ẏ = αẋ + βẋ = α tan(x + α x 4 + βx + (α βu Välj till exempel α = och β =. Då får vi ẏ = x tan(x + x ÿ = ( tan (x ẋ + ẋ = x + tan(x + tan 3 (x x 4 tan (x x u tan (x u Om vi väljer u = ( x ( + tan (x +tan(x + tan 3 (x x så blir systemet från ū till y linjärt. (x x 4 tan +ū Ver: 9 augusti 6

3 Nyquist Diagram.. Imaginary Axis Real Axis Figur : Nyquistkurvan för G(iω, uppgift 3b. (b Självsvänging analyseras med beskrivande funktion. Om istället förstärkningen K flyttas till G(s fås en mättning enligt Exempel 4. i kursboken med beskrivande funktion { ( Y f (C = π arcsin C + C C C > C 4. (a I figur är nyquistkurvan för KG(iω plottad (med K =. Skärningen med Re-axeln inträffar vid -.79 för frekvensen rad/s (högerklicka och välj Characteristics Minimum Stability Margins. Om /Y f (C skulle plottas i samma figur fås en linje längs negativa Re-axeln från mot. För att /Y f (C och KG(iω ska kunna skära varandra måste därför K > / Självsvänging kan alltså uppstå för K >.7 med frekvensen rad/s. C = [ ], D = [ ] (b En tillståndsåterkoppling av roboten kan simuleras mha simulinkschemat i figur 3. Blocket State-Space innehåller A och B matriserna från filen robotmodel.mat, C =eye(4, D =zeros(4, samt initialtillståndet ( T. En L-matris för tillståndsåterkoppling kan i Matlab beräknas mha lqr-kommandot: 3 Ver: 9 augusti 6

4 em Scope x = Ax+Bu y = Cx+Du State Space em Matrix Gain Scope K*u Figur 3: Simulinkschema till uppgift 4a. L=lqr(A,B,diag([ ],diag([ ] Valet av viktmatriser ovan visar sig ge ett slutet system som uppfyller de ställda kraven (se figur 4 och för simuleringsresultaten Time offset: Figur 4: Simulerade tillstånd i uppgift 4b. (c Genom att skapa en utökad tillståndsmodell som innehåller en beskrivning av störningarna kan man bygga in en kompensering för dessa i LQ-designen. Om man betecknar störningarna med v = (v v T kan man skriva det applicerade momentet som u(t+ v(t vilket ger ett system på formen: ẋ(t = Ax(t + B(u(t + v(t y(t = Cx(t (eftersom D = här. En lämplig metod är att se v (t och v (t som utsignaler från två linjära filter H (p och H (p som drivs 4 Ver: 9 augusti 6

5 Time offset: Figur : Simulerade styrsignaler i uppgift 4b. av vita brus n (t och n (t. Eftersom störningarna är periodiska med en viss vinkelfrekvens ω dist bör filtren H och H båda innehålla en hög resonanstopp vid denna frekvens. Till exempel kan man välja följande filter: H (p = H (p = p +.ω dist p + ωdist Genom att införa nya tillstånd x = v, x 6 = v, x 7 = v och x 8 = v får man följande utökade tillståndsmodell: ( ( A BCv B ẋ(t = x(t + u(t + Nn(t 4 4 A v 4 y(t = (C 4 x(t där A v = ωdist.ω dist ωdist.ω dist C v = (I N = ( 6 I. Om man nu använder LQG teknik (sats 9. i kursboken så skattar man tillstånden mha ett Kalmanfilter. Kalmanfiltret använder sig då av ovanstående modell för mätbruset och ger en optimal skattning av tillstånden givet brusets karaktäristik. Ver: 9 augusti 6

6 . (a En Lyapunovfunktion ska uppfylla kraven i sats.3 i kursboken. Första alternativet V (x, x = x och andra alternativet V (x, x = x x uppfyller inte kravet V (x >, x x eller kravet V (x, x. Tredje alternativet V (x, x = x + x uppfyller däremot samtliga krav. (b Med u = får vi systemet ( ( d x x 3 = + γx = f(x. dt x x + γx ( T. Den linjäri- Först beräknas en linjärisering kring x = serade modellen ges av ( γ ẋ = x γ A-matrisens egenvärden är λ = γ och λ =. För att vi ska få en stabil tvåtangentnod krävs det att γ <. För att kontrollera global stabilitet används V (x = x + x. Det är enkelt att verifiera att samtliga krav i sats.3 är uppfyllda för origo oavsett vilket värde γ har, förutom V x f(x <. Det återstår nu att ta reda på för vilka värden på γ som V x f(x <, x x. ( ( x V x f(x = x x 3 + γx = x 4 x + γx +γx x +γx x Eftersom x 4 < för alla värden på x och det räcker med ett tillräckligt krav tar vi reda på för vilka värden på γ som den kvadratiska delen γx x + γx x <. Notera att V x f(x kan vara negativ även om den kvadratisk delen är positiv, men eftersom vi letar efter ett tillräckligt krav tittar vi endast på när den kvadratiska delen är negativ. Den kvadratiska delen kan skrivas enligt ( ( γx x γ γ + γx x = x x γ ( x = x T Hx x Vi kan nu använda ledning 3 och beräkna egenvärdena till H- matrisen ovan. Egenvärdena ges av λ γ γ γ λ + = λ = γ ± γ + γ +. Det största egenvärdet är mindre än då 4 < γ <. Vi har nu visat att 4 < γ < är ett tillräckligt krav för att origo ska vara en globalt asymptotiskt stabil jämviktspunkt. 6 Ver: 9 augusti 6

7 (c På samma sätt som i b-uppgiften är det lätt att visa att samtliga krav i sats.3 är uppfyllda förutom V x f(x <, x x. Med u får vi V x f(x =... = x 4 + γx + x u x + γx x < Väljer vi u = γx γx x x = γ(x + x blir V x f(x = x 4 x vilket är mindre än för alla x. Med u = γ(x + x ser vi alltså till att origo är en globalt asymptotiskt stabil jämviktspunkt för varje fixt val av γ. 7 Ver: 9 augusti 6