Reglerteori. Föreläsning 4. Torkel Glad

Transkript

1 Reglerteori. Föreläsning 4 Torkel Glad

2

3 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Sammanfattning av Föreläsning 3 Kovariansfunktion: R u (τ) = Eu(t)u(t τ) T Spektrum: Storleksmått: Vitt brus: Φ u (ω) = R u (τ)e iωτ dτ R u (0) = 1 Φ u (ω) dω 2π Φ u (ω) = konstant

4 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. y = Gu Φ y (ω) = G(iω)Φ u (ω)g T ( iω) Spektralfaktorisering: Varje kovariansfunktion kan tänkas genererad genom att vitt brus passerat ett linjärt system. (Med godtyckligt noggrann approximation)

5 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Vitt brus in på tillståndsform: ẋ = Ax + Bv v vitt brus med spektraltäthet R. Π x = R x (0) Lyapunovs ekvation: AΠ x + Π x A T + BRB T = 0

6 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Kalmanlter: Optimal observatör för ẋ = Ax + Bu + Nv 1, y = Cx + v 2 v 1, v 2 okorrelerade vita brus med spektraltätheterna R 1, R 2. Optimal observatörsförstärkning: K = P C T R 1 2 där P ges av den algebraiska Riccatiekvationen: NR 1 N T + AP + P A T P C T R 1 2 CP = 0 P är den resulterande kovariansen för skattningsfelet.

7 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari När kan algebraiska Riccatiekvationen lösas? Om R 2 > 0, R 1 0 och 1. paret A, C detekterbart (dvs den instabila delen av systemet observerbar) 2. paret A, NR 1 N T stabiliserbart (den instabila delen styrbar från bruset) så nns en lösning P 0 till den algebraiska Riccatiekvationen så att alla egenvärden till A KC har realdelar < 0. Villkor 1 är precis kravet på att över huvud taget kunna stabilisera observatören. Villkor 2 är ett mera matematiskt-tekniskt krav.

8 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Kommentar till Kalmanltret Kalmanltret är den observatör som minimerar P (minimerar a T P a oberoende av vektorn a) Man kan visa att Kalmanltret minimerar medelkvadratfelet bland alla linjära kausala lter. Om bruset är gaussiskt (normalprocesser) är Kalmanltret optimalt även jämfört med alla olinjära lter. Skattningen av x(t) blir det betingade väntevärdet, givet alla mätningar fram till tiden t.

9 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Sensorfusion Ofta måste man väga samman signaler från olika mätgivare som har olika noggrannhet. För navigationssystem i fartyg, ygplan, bilar,... väger man samman Lägesinformation: GPS, radiofyrar, optisk pejling,... Hastighetsinformation: dopplerradar, hjulrotationshastighet,... Accelerationsmätning: accelerometrar, gyron, Kalmanltret gör den optimala sammanvägningen: sensorfusion

10 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Enkel sensorfusion: läge hastighet Rörelse i en dimension: x 1 läge, x 2 hastighet Accelerationen varierar slumpvis kring noll: modelleras som vitt brus, w. Läge och hastighet mäts med mätfel v 1 och v 2 Modell: w, v okorrelerade ẋ = [ ] 0 1 x [ ] 0 w 1 y = x + v [ ] r1 0 R 1 = 1, R 2 = 0 r 2

11 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Kalmanlter: Bodediagram. Lägesskattning röd: bra lägesmätning, dålig hastighetsmätning (r 1 liten, r 2 stor) blå: bra hastighetsmätning, dålig lägesmätning (r 1 stor, r 2 liten) 10 2 lägesmätning till lägesskattning till lägesskattning 5hastighetsmätning

12 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Kalmanlter: Bodediagram. Hastighetsskattning röd: bra lägesmätning, dålig hastighetsmätning (r 1 liten, r 2 stor) blå: bra hastighetsmätning, dålig lägesmätning (r 1 stor, r 2 liten) till hastighetsskattning 5lägesmätning 10 hastighetsmätning till hastighetsskattning

13 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Det slutna systemet 1. Det kanoniska blockschemat 2. Stabilitet för det slutna systemet 3. Känslighet 4. Robusthet 5. Önskemål 6. Specikationer

14 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Viktiga signaler u, styrsignalen z, det vi vill styra r, referenssignal, det vi vill att z skall vara y, utsignal, det vi mäter Störningar w u, störning på ingången w, störning på utgången n, mätstörning Ofta är y = z + n För linjära system har u formen u = F r (s)r F y (s)y

15 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Det kanoniska blockschemat Överföringsfunktioner: G c = (I + GF y ) 1 GF r S = (I + GF y ) 1 S u = (I + F y G) 1 w u w n r F r Σ u G F y Σ z Σ y T = (I + GF y ) 1 GF y Signalsamband: z = G c r + Sw T n + GS u w u u = S u F r r S u F y (w + n) + S u w u

16 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Stabilitet för det slutna systemet Betrakta det slutna systemet som ett system med insignaler w u, w och utsignaler u, y (r = 0, n = 0). [ ] [ ] [ ] y GSu S wu = u S u S u F y w Om G och F y representeras av styr- och observerbara tillståndsbeskrivningar är det ganska lätt att se att det återkopplade systemet också blir styr- och observerbart. Om man kontrollerar alla fyra överföringsfunktionerna GS u, S, S u, S u F y kommer man därför att hitta alla poler till systemet (och kan speciellt kontrollera stabiliteten).

17 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Känslighet Låt z = G c r = (I + GF y ) 1 GF r för modellen G. Antag att sanna systemet är G sann = (I + G )G Då blir z 0 = (I + z )z, z = S 0 G, S 0 = (I + G sann F y ) 1 I praktiken måste S 0 approximeras av S = (I + GF y ) 1 Tolkning: S är förstärkningen från modellfel till signalfel.

18 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Robusthet Om G T < 1 så är det slutna systemet fortfarande stabilt. Detta är i sin tur uppfyllt om T (iω) < 1 G (iω), allaω

19 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Önskemål G c I liten S, S u små T liten G ru och G wu små Men notera att S + T = I G c = GG ru

20 Tack