TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 1. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts. Sammanfattning av Föreläsning 1, forts.

Transkript

1 Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 1 / 32 Sammanfattning av Föreläsning 1 TSRT9 Reglerteori Föreläsning 2: Beskrivning av linjära system Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Signalstorlek: z 2 2 = Förstärkning hos systemet S : S =sp z T (t)z(t) dt y 2 2 Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 2 / 32 Sammanfattning av Föreläsning 1, forts Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 3 / 32 Sammanfattning av Föreläsning 1, forts Lågförstärkningssatsen r 1 Σ e 1 S 1 y 1 Mltivariabelt system med överföringsmatris G(s): σ(g(iω)) = största singlära värdet hos G(iω) y 2 S 2 e 2 Σ r 2 Förstärkning = G =sp ω σ(g(iω)) och då gäller y 2 G 2 Antag S 1 och S 2 stabila Insignal-tsignal-stabilt (ändlig förstärkning från r 1, r 2 till y 1, y 2 )om Förtsättning: G har alla poler strikt i vänster halvplan S 1 S 2 < 1

2 Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 4 / 32 DEL I: LINJÄRA SYSTEM Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 5 / 32 Representation av linjära system Föreläsning 2 1 Representation 2 Egenskaper Föreläsning 3: Störningar Föreläsning 4: Kalmanfilter NYTT: och y vektorer (skalärer i grndkrsen) Implssvar Viktfnktion (skalär matris) Överföringsmatris (skalär matris) Tillståndsform Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 6 / 32 Tillståndsform med flera in- och tsignaler Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 7 / 32 Lösningen till tillståndsekvationen d x(t) =Ax(t)+B(t) dt y(t) =Cx(t)+D(t) B har flera kolonner C har flera rader D är en matris Samband med överföringsmatris G(s) =C(sI A) 1 B + D d x = Ax + B dt har lösningen x(t) =e At x() + t ea(t τ) B(τ) dτ Matrisexponentialfnktionen kan beräknas som e At = L 1 ( (si A) 1), L 1 invers Laplacetransform Alternativt kan den beräknas från serietvecklingen e At = I + ta + t2 2 A2 + + tk k! Ak +

3 Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 8 / 32 Styrbarhet och observerbarhet Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 9 / 32 Styrbarhetsmatrisen x är styrbart om man kan välja (t) så att x =styrs till x = x Systemet är styrbart om alla tillstånd är styrbara Omm systemet är styrbart kan A BL ges godtyckliga egenvärden x är icke observerbart (tyst) om, tsignalen är identiskt noll trots att x() = x,((t) ) Systemet är observerbart om det saknar tysta tillstånd Innebär att x kan beräknas r, y (observatör) Omm systemet är observerbart kan A KC ges godtyckliga egenvärden S = ( B AB A n 1 B ), (n = dim x) Styrbarhet S har rang n Styrbart nderrm: det rm som spänns pp av kolonnerna i S De tillstånd vi kan nå med insignalen (t) Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 1 / 32 Observerbarhetsmatrisen Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 11 / 32 G(s), styr- och observerbarhet O = C CA CA n 1 Observerbarhet Ohar rang n, (n = dim x) Tyst nderrm: nollrmmet till O De tillstånd som inte syns i y Bara den styr- och observerbara delen av ett system syns i G(s) Ex: [ ] [ ] ẋ = x +, y = [ 1 ] x med överföringsmatrisen x 2 är inte observerbar G(s) = [ 1 s+1 ] 2 s+1

4 Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 12 / 32 Stabiliserbarhet och detekterbarhet Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 13 / 32 Varför är egenvärdena till A BL av intresse? Om systemet Ett system sägs vara stabiliserbart om det existerar en matris L sådan att A BL är stabil Ett system sägs vara detekterbart om det existerar en matris K sådan att A KC är stabil Alltså: För att ett system ska vara stabiliserbart (detekterbart) måste ev instabila egenvärden i A knna modifieras med L (K) ẋ = Ax + B y = Cx återkopplas med = Lx + w blir det sltna systemet ẋ =(A BL)x + Bw y = Cx A BL blir alltså sltna systemets A-matris! I analogi med grndkrsen Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 14 / 32 Varför är egenvärdena till A KC av intresse? Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 15 / 32 Exempel stabilitet: instabilt Om tillståndet för systemet ẋ = Ax + B y = Cx skattas med hjälp av observatören ˆx = Aˆx + B + K(y C ˆx) så blir ekvationen för skattningsfelet x = x ˆx Inverterad pendel Cykel Kan i de här fallen stabiliseras! x =(A KC) x A KC blir alltså skattningsfelets A-matris! I analogi med grndkrsen

5 Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 16 / 32 Exempel stabilitet: asymptotiskt stabilt Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 17 / 32 Exempel stabilitet: stabilt Pendel med friktion i nedre läget Pendel tan friktion i nedre läget Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 18 / 32 Stabilitet Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 19 / 32 BIBO-stabilitet Systemet ẋ = Ax Systemet är stabilt om det finns γ så x(t) γ x(), t, alla x() asymptotiskt stabilt om desstom lim t x(t) =, alla x() Asymp stabilitet A:s alla egenvärden λ j har Reλ j < A har något egenvärde λ j med Reλ j > instabilitet A:s alla egenvärden λ j har Reλ j och alla egenvärden på imag axeln enkla stabilitet ẋ = Ax + B y = Cx + D är insignal-tsignalstabilt (BIBO-stabilt) om begränsat ger begränsat y när x() = A:s alla egenvärden λ j har Reλ j < insignal-tsignal-stabilitet Exakt som i grndkrsen

6 Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 2 / 32 Variabelbyte Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 21 / 32 Diagonalform ẋ = Ax + B y = Cx + D överförs med variabelbytet z = Tx till ż = TAT 1 z + TB y = CT 1 z + D Intressanta speciella strktrer hos de transformerade matriserna Diagonalform Observerbar kanonisk form Styrbar kanonisk form Om A har skilda egenvärden kan T väljas så att TAT 1 blir diagonal Diagonalformen: α 1 β 11 β 1m dt = α 2 x + β 21 β 2m α n β n1 β nm γ 11 γ 1n y = x γ p1 γ pn Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 22 / 32 Vad är nytt för flervariabla system? Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 23 / 32 Styrbar kanonisk form, skalära, y På följande pnkter skiljer sig flervariabla system väsentligt från system med skalärt, skalärt y: När man vill gå från G(s) till tillståndsbeskrivning (Styr- och observerbara formerna är klriga om samtidigt flera in- och tsignaler) När man vill ange polerna hos en överföringsfnktion När man vill ange nollställena hos en överföringsfnktion G(s) = c 1 s n c n 1 s + c n s n + a 1 s n a n 1 s + a n a 1 a 2 a n 1 a n 1 1 dt = 1 x + 1 y = ( c 1 c 2 c n ) x

7 Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 24 / 32 Styrbar kanonisk form, skalärt, vektor-y G(s) = c 11 s n 1 + +c 1n s n +a 1 s n 1 + +a n 1 s+a n c p1 s n 1 + +c pn s n +a 1 s n 1 + +a n 1 s+a n a 1 a 2 a n 1 a n 1 1 dt = 1 x + 1 c 11 c 12 c 1n y = x c p1 c p2 c pn Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 25 / 32 Observerbar kanonisk form, skalära, y G(s) = b 1 s n b n 1 s + b n s n + a 1 s n a n 1 s + a n a 1 1 b 1 a 2 1 b 2 dt = x + a n 1 1 b n 1 a n b n y = ( 1 ) x Vektor-, vektor-y: Svårt Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 26 / 32 Observerbar kanonisk form, vektor-, skalärt y Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 27 / 32 Poler (till G(s)) [ G(s) = b 11 s n 1 + +b n1 s n +a 1 s n 1 + +a n 1 s+a n ] b 1m s n 1 + +b nm s n +a 1 s n 1 + +a n 1 s+a n a 1 1 b 11 b 1m a 2 1 dt = x + a n 1 1 a n b n1 b nm y = ( 1 ) x 1 Tillståndsmatrisens egenvärden (för en styr- och observerbar realisering) 2 Om G(s) är given? Polpolynomet är minsta gemensamma nämnaren till alla nderdeterminanter till G(s) Polerna är polpolynomets nollställen Observera att vi på detta sätt får reda på ordningstalet för en minimal realisering! Vektor-, vektor-y: Svårt

8 Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 28 / 32 Nollställen (till G(s)) Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 29 / 32 Nollställen (till tillståndsbeskrivning) z nollställe om = e zt o svarar mot y =(för lämpligt initialvärde) Definition (G kvadratisk): Nollställespolynomet är täljaren till det G (normerad så att den har polpolynomet till nämnare) Definition (allmänt): Nollställespolynomet är största gemensamma delaren till täljarna till de maximala nderdeterminanterna (normerade så att de har polpolynomet till nämnare) Kriterim: tappar rang för s = z [ ] si A B M(s) = C D Ger samma resltat som definitionen baserad på överföringsfnktion (förtsatt styr- och observerbar tillståndsrealisering) Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 3 / 32 Nollställen: fysikalisk tolkning Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 31 / 32 Nollställen: fysikalisk tolkning, forts Låt (t) =e 1t [ ] T och x = [ ] T z nollställe om = e zt o svarar mot y = 1 2 ẋ = 2 x [ ] 1 15 y = x 5 1 har nollställe i 1 Det går att beräkna ett och ett initialtillstånd x som ger y = då = e zt o x 1 7 y(t)= x (t) x x(t) x 1 7 M(1)*[ x(t); (t)]

9 Reglerteori 217, Föreläsning 2 Daniel Axehill 32 / 32 Stabilitet Daniel Axehill Reglerteori 217, Föreläsning 2 (ver 12) wwwlise