Biokemi. SF1538 Projekt i simuleringsteknik. Skolan för teknikvetenskap. Introduction. Michael Hanke. Kemiska reaktioner
|
|
- Adam Åberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 1 (35) : Biokemi Skolan för teknikvetenskap SF1538 Projekt i simuleringsteknik
2 2 (35) Innehåll : :
3 3 (35) Introduktion : Biokemiska är basen till livet Undersökningen av reaktionskedjor kallas for systembiologi Vanligtvis beskrivs meningsfulla biologiska system genom reaktionskedjor med många ( eller fler).
4 4 (35) En makroskopisk model : Vi antar att vi har många så att en (kontinuerlig) beskrivning med hjälp av koncentrationer är meningsful En mol innehåller N A 6, (Avogadros tal) En mol av en ideal gas i normaltillstånded intar 22,4 l Allmänt beror koncentrationen av substanser i reagerande system både på tiden punkt i volymen. Vi antar att volymen är well-stirred så att koncentrationen bara beror på tiden.
5 5 (35) lag : Grundläggande antagande Sannolikheten att en reaktion förekommer är proportionell mot sannolikheten att ett antal reaktantmolekyl i rätt relation kolliderar. Corollary Sannolikheten för reaktionen är proportionell mot koncentrationen av reaktander. Notera att proportionalitetskonstanten k beror väldigt starkt på omgivande förhållanden (temperatur, tryck, etc)
6 6 (35) Ex: Förbränning av kolmonoxid : CO + O CO 2 Dubbelpilar indikerar att reaktionen är reversibel. Så faktiskt har vi två : R 1 : CO + O CO 2 R 2 : CO 2 CO + O Vi har tre substanser med concentrationer [CO], [O], [CO 2 ] Den första reaktionen leder till (d/dt)[co] = k 1 [CO] [O] (d/dt)[o] = k 1 [CO] [O] (d/dt)[co 2 ] = +k 1 [CO] [O] Analog får vi för den andra reaktionen (d/dt)[co] = +k 2 [CO 2 ] (d/dt)[o] = +k 2 [CO 2 ] (d/dt)[co 2 ] = k 2 [CO 2 ]
7 7 (35) Exempel (cont) : Eftersom alla händer samtidigt beskrivs hela balansen genom summan av alla individuella reaktionsbalanser: (d/dt)[co] = k 1 [CO] [O] + k 2 [CO 2 ] (d/dt)[o] = k 1 [CO] [O] + k 2 [CO 2 ] (d/dt)[co 2 ] = +k 1 [CO] [O] k 2 [CO 2 ]
8 8 (35) Allmän formulering : R r (r = 1,..., M) S j substanser (j = 1,..., N) c j = [S j ] koncentration av substansen S j k r reaktionskonstant i reaktion R r ν + rj, ν rj stökiometriska koefficienter Vi undersöker ett kemiskt system med na ν r,1 S 1 + ν r,2 S ν r,n S N ν r,1 + S 1 + ν r,2 + S ν + r,n S N Obs: Reversibla beskrivs genom två individuella!
9 9 (35) lag : Vårt grundläggande antagande leder till reaktionssannolikheten i reaktion R r ω r (c 1,..., c N ) = k r ν rk >0 c Nettobidraget av reaktion R r till omsättningen av substansen S j blir då d dt c j = ν rj ω r (c 1,..., c N ) med ν rj = ν + rj ν rj Massbalansen i systemet beskrivs sedan genom ett system av ode, d M dt c j = ν rj ω r (c 1,..., c N ), j = 1,..., N. r=1 ν rk k
10 10 (35) lag (cont) : Systemets tillstånd beskrivs fullständigt med hjälp av vektorn av alla koncentrationer C(t) = (c 1 (t),..., c N (t)) Om man känner tillståndet C(t 0 ) vid en viss tidspunkt t 0, så är systemets tillstånd känt för all framtid. Systemet är deterministiskt!
11 11 (35) : Reaktioner: Exempel: Produktion degradering A k1, k2 A Stökiometriska koefficienter: ν 11 = 1, ν+ 21 = 1 Differentialekavation för a = [A]: Lösning: d dt a = k 1a 1 + k 2 a 0 = k 1 a + k 2. a(t) = ( a(0) k ) 2 a(0) exp( k 1 t) + k 2 k 1 k 1
12 12 (35) Exempel (cont) Med k 1 = 0.1, k 2 = 1, a(0) = 0 får vi följande lösning: :
13 13 (35) system : Många substanser i en biologisk cell finns bara i väldigt få exemplar (kanske 10 1,..., 10 6 ) I dessa fall är begreppet koncentration tveksamt. Vi kommer att a systemets evolution genom att räkna na.
14 14 (35) En stokastisk modell : Låt A + B C vara en bimolekylär reaktion av två substanser A, B som ger C. Vi antar som förr massverkans lag: sannolikheten för en reaktion är proportionell mot antalet som behövs som reaktanter. Substanser beskrivs genom antalet av varje substans: Låt a = A, b = B c = C. Tillståndsvektorn x = (a, b, c) N 3 är en tupel av icke-negativa heltal.
15 15 (35) En stokastisk modell (cont) : Låt ν r = ( 1, 1, +1) vektorn av stökiometriska koefficienter. Propensity ω r (x) beskriver sannolikheten per tidsenhet att reaktionen R r händer. I vårt exempel, ω r (x) = k 1 ab. Om reaktionen händer så förändras tillståndet enligt x neu = x alt + ν r. Modellen är ett exempel för en kontinuerlig i tiden diskret i tillståndet Markovprocess
16 16 (35) Markovprocesser : Definition Låt (X (t)) t 0 vara en stokastisk process med kontinuerlig tid diskreta värden. Processen är en Markovprocess om P(X (t n +T ) X (t 1 ) = x 1,..., X (t n ) = x n ) = P(X (t n +T ) X (t n ) = x n ) för alla t > 0, 0 < t 1 < < t n, x 1,..., x n. Konsekvens: Framtiden vid t > t n beror bara på tillståndet vid t n men inte på tidigare tilstånd.
17 17 (35) Propensities : För enkla kan man visa att propensity ω ser ut som: reaktionstyp propensity S 1 k r x 1 S 1 + S 2 k r x 1 x 2 2S 1 1 k r 2 x 1(x 1 1) Obs: Konstanterna k r är inte desamma som för makromodellen!
18 18 (35) En stokastisk model: allmän formulering : R r (r = 1,..., M) S j substanser (j = 1,..., N) X j (t) antalet molekyl av substansen S j (j = 1,..., N), X(t) = (X 1 (t),..., X N (t)) ν r stökiometrivektorer (r = 1,..., M) ω r (x) propensity-funktion (r = 1,..., M) Egenskap Vektorn X(t) är en diskret stokastisk variabel!
19 19 (35) : a variabler karakteriseras av sannolikhetsfördelning. Eftersom variabeln är diskret är det meningsfult att fråga efter sannolikheten P(x, t) att systemet är i tillståndet x vid en viss tidspunkt. Låt P(x, t x 0, t 0 ) vara sannolikheten att X(t) = x om X(t 0 ) = x 0. (betingad sannolikhet) Man kan visa att (, CME) P(x, t x 0, t 0 ) t M ( ) = ωr (x ν r P(x νr, t x 0, t 0 ) ω r (x)p(x, t x 0, t 0 ) ) r=1 }{{}}{{} inflöde utflöde Om vi vet lösningen P(x, t x 0, t 0 ) så kan vi beräkna andra intressanta värden, t ex väntevärdet, variansen, högre moment, mm
20 20 (35) (cont) : Eftersom P(x, t 0 x 0, t 0 ) = { 1, om x = x 0, 0, annars, CME är ett system av ordinära differentialekvationer där P(x, x 0, t 0 ) är en skalär funktion (indexerad med tillståndsvektorn x. Antalet ekvationer är lika med dimensionen av tillståndsrummet. Exempel: Antar att vi har ett system med 10 olika substanser som var en kan förekommer med max 100 exemplar. Antalet ekvationer blir = 10 20!!
21 21 (35) : Reaktioner:A k1, : Exempel k2 A Låt p n (t) = P(n, t n 0, t 0 ), p 1 (t) 0 d dt p n = k 1 (n + 1)p n+1 k 1 np n + k 2 p n 1 k 2 p n, n = 1, 2,... Antalet partiklar är obegränsat! Därför har vi ett ode-system med oändligt många skalära ekvationer! Väntevärdet E(t) varians V (t) ges genom E(t) = np n (t), V (t) = (n E(t)) 2 p n (t) n=0 n=0 Man kan visa: d dt E = k 1E + k 2, d dt V (t) = 2k 1V + k 1 E + k 2
22 22 (35) Exempel (cont) Med k 1 = 0.1, k 2 = 1, A(0) = 0 får vi följande lösning i jämviksläge (t ): :
23 23 (35) : simuleringsalgoritm Iden Simulera enstaka trajektorier med Monte Carlo-proceduren! Algoritm (princip) för en trajektorie 1 Sätt x = x 0, t = t 0. 2 Välj slumpmässigt tiden τ > 0 till nästa reaktionen. 3 Välj index r till nästa reaktion. 4 Sätt x = x + ν r. 5 Sätt t = t + τ. 6 Om t < T f gå till steg 2. Problem: Hur bestämmer man slumptalen τ r?
24 24 (35) SSA: Gillespie algoritm : Låt a 0 (x) = N ω r (x). Man kan visa att τ(x)är exponentiellt fördelat med medelvärdet a 0 (x) 1 : P(τ < t) = 1 exp( ta 0 (x)). Nästa reaktionen R(x)är en diskret variable med sannolikheten P(R = r X = x) = ω r (x)/a 0 (x). r=1 Därmed gäller F (r; x) := P(R r) = 1 a 0(x) r ρ=1 ω ρ(x).
25 25 (35) SSA: Gillespie algoritm : 1 Sätt x = x 0, t = t 0. 2 Beräkna a 0 (x) = N r=1 ω r (x). 3 Bestäm ett jämtfördelat slumptal u 1 U(0, 1). 4 Sätt τ = ln u 1 /a 0 (x). 5 Bestäm ett jämtfördelat slumptal u 2 U(0, 1). 6 Bestäm r så att F (r 1, x) < u 2 F (r, x). 7 Sätt x = x + ν r. 8 Sätt t = t + τ. 9 Om t < T f gå till steg 2.
26 26 (35) Vi tar vårt standardexempel: Reaktioner:A k1, k2 A Med k 1 = 0.1, k 2 = 1, A(0) = 0 får vi: Exempel :
27 27 (35) : Makroskopisk mikroskopisk model Man kan fråga vad händer med medelvärdet av antalet partiklar? CME leder till d M dt E[X ] = ν r E[ω r (X )] r=1 Om vi har bara linjära S j, ω r är linjär, vi får M d dt E[X ] = ν r ω r (E[X ]) r=1 som är ett slutet system! Beräkna gränsövergång n j där n j /V = const = c j. (koncentrationen) Under realistiska antaganden kan man härleda gränsvärdet (reaction rate equation) d M dt C = ν r ω r (C) r=1
28 28 (35) : Exempel1: Reaktioner: Behövs mikroskopisk model överhuvudtaget? A + A k1 C A + B k2 D (1) Propensities är ickelinjära i det här fallet! Modifikation: Inkludera produktion av A, B. Dessutom är vi inte intresserad av produkterna C.D: ODE beskrivning A + A k1 A + B k2 (2) k3 A da dt = 2k 1a 2 k 2 ab + k 3 db dt = k 2ab + k 4 k4 B (3)
29 Exempel 1: Jämviktsläge Parametrarna: k 1 = 10 3, k 2 = 10 2, k 3 = 1.2, k 4 = 1, A(0) = B(0) = 0. : Antalet molekyl av A B är korrelerade i jämviktsläget. 29 (35)
30 Exempel 1 (cont) : Bilden visar marginalfördelning av A Medelvärdet för antalet molekyl A 9.6 Jämnviktsläge för ode-systemet: a = (35)
31 31 (35) Exempel: Schlögls system : Reaktioner: 2A k1 k2 3A, k3 k4 A Ode: da dt = k 2a 3 + k 1 a 2 k 4 a + k 3 Parameter: k 1 = 0.18min 1, k 2 = min 1,k 3 = 2200min 1,k 1 = 37.5min 1. Ode:n har två stabila (vid ) jämviktslägen ett instabilt sådant
32 32 (35) Schlögls system (cont) :
33 33 (35) Schlögls system :
34 34 (35) : Att snabba upp SSA: SSA algoritmen simulerar alla individuella steg för steg: Det tar väldigt mycket tid att simulera en enstaka trajektorie. Fråga: Kan man inte sammanfatta ett antal individuella genomför de i ett (större) steg? Egenskap: Låt τ > 0 vara steglängden propensity ω r för reaktionen R r vara konstant. Sedan är antalet individuella av R r i intervallet [t, t + τ) Poissonfödelat P(ω r τ) med medlevärdet ω r τ. Ide: Om X (t) = x τ är så litet att ω r (x) const i [t, t + τ), så blir antalet individuella nästan Poissonfördelat. Därför kan vi approximera X (t + τ) x + M P(ω r (x)τ)ν r. r=1 Approximationskvaliten beror på hur man effektivt väljer τ = τ(x). (Cao, Gillespie, Petzold, J Chem Phys, 124(2006),044109)
35 35 (35) : Modellering med hjälp av massverkans lag Makroskopisk modell: Koncentrationer leder till ode För att a biologiska system med få behövs en stokastisk modell masterekvationen Gillespies algoritm: SSA τ- leaping kan användas för att snabba upp algoritmen Note: Alla exempel är inspirerade av: R. Erkban, S.J. Chapman, P.K. Maini: A practical guide to stastic simulations of reaction diffusion processes.
Problemlösning 2 Stokastisk simulering., Problemlösning 2 Stokastisk simulering 1/13
Problemlösning 2 Stokastisk simulering, Problemlösning 2 Stokastisk simulering 1/13 Strategier Flera lösningsmetoder är möjliga Deterministisk/kontinuerlig metod (ODE-lösare) Stokastisk/diskret (Continuous
Läs merMonte Carlo-metoder. Bild från Monte Carlo
Monte Carlo-metoder 0 Målen för föreläsningen På datorn Bild från Monte Carlo http://en.wikipedia.org/wiki/file:real_monte_carlo_casino.jpg 1 Begrepp En stokastisk metod ger olika resultat vid upprepning
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap Per Lötstedt, tel. 47 2986 Saleh Rezaeiravesh Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 206-0-4 Skrivtid: 4 00 7 00 (OBS!
Läs merExempel ode45 parametrar Miniprojekt 1 Rapport. Problemlösning. Anastasia Kruchinina. Uppsala Universitet. Januari 2016
Problemlösning Anastasia Kruchinina Uppsala Universitet Januari 2016 Anastasia Kruchinina Problemlösning 1 / 16 Exempel ode45 parametrar Miniprojekt 1 Rapport Anastasia Kruchinina Problemlösning 2 / 16
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merSystemteknik/Processreglering F3
Systemteknik/Processreglering F3 Matematisk modellering Tillståndsmodeller Stabilitet Läsanvisning: Process Control: 3.1 3.4 Modellering av processer Dynamiken i våra processer beskrivs typiskt av en eller
Läs merSF1544 LABORATION 2 INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER
SF1544 LABORATION INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER Avsikten med denna laboration är att: - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda
Läs merKinetik. Föreläsning 1
Kinetik Föreläsning 1 Varför kunna kinetik? För att till exempel kunna besvara: Hur lång tid tar reaktionen till viss omsättningsgrad eller hur mycket produkt bildas på viss tid? Hur ser reaktionens temperaturberoende
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merTAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010
TAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010 1 1 Stokastiska processer Definition 1.1 En stokastisk process är en familj {X(t);t T } (kan även skrivas {X
Läs merKinetik, Föreläsning 2. Patrik Lundström
Kinetik, Föreläsning 2 Patrik Lundström Kinetik för reversibla reaktioner Exempel: Reaktion i fram- och återgående riktning, båda 1:a ordningen, hastighetskonstanter k respektive k. A B Hastighetsekvation:
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärd funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs merKinetik. Föreläsning 2
Kinetik Föreläsning 2 Reaktioner som går mot ett jämviktsläge ALLA reaktioner går mot jämvikt, här avses att vid jämvikt finns mätbara mängder av alla i summaformeln ingående ämnen. Exempel: Reaktion i
Läs merFöreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler
Föreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler Marina Axelson-Fisk 20 april, 2016 Idag: Diskreta stokastiska (random) variabler Frekvensfunktion och fördelningsfunktion Väntevärde Varians Några
Läs merMarkovkedjor. Patrik Zetterberg. 8 januari 2013
Markovkedjor Patrik Zetterberg 8 januari 2013 1 / 15 Markovkedjor En markovkedja är en stokastisk process där både processen och tiden antas diskreta. Variabeln som undersöks kan både vara numerisk (diskreta)
Läs merBiologi: en utmaning för Numerisk Analys
Biologi: en utmaning för Numerisk Analys Stefan Engblom Beräkningsvetenskap Informationsteknologi Uppsala Universitet Docentföreläsning, Uppsala, 6:e Mars, 2013 (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merÖvning 1. Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,
Läs merFormler och tabeller till kursen MSG830
Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)
Läs merRepetition F4. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00
Repetition F4 VSEPR-modellen elektronarrangemang och geometrisk form Polära (dipoler) och opolära molekyler Valensbindningsteori σ-binding och π-bindning hybridisering Molekylorbitalteori F6 Gaser Materien
Läs merKursombud sökes! Kursens syfte är att ge en introduktion till metoder för att förutsäga realtidsegenskaper hos betjäningssystem, i synnerhet för data- och telekommunikationssystem. Såväl enkla betjäningssystem,
Läs merProblemsamling i Sannolikhetsteori
Problemsamling i Sannolikhetsteori till An Intermediate Course in Probability av Allan Gut Sammanställd av Harald Lang 22/5-05 Kapitel 0 (Introduction) Man har ett seriesystem med två enheter som går sönder
Läs merAvsnitt 12.1 Reaktionshastigheter Kemisk kinetik Kapitel 12 Kapitel 12 Avsnitt 12.1 Innehåll Reaktionshastigheter Reaktionshastighet = Rate
Avsnitt 2. Kapitel 2 Kemisk kinetik Kemisk kinetik Området inom kemi som berör reaktionshastigheter Copyright Cengage Learning. All rights reserved 2 Kapitel 2 Innehåll 2. 2.2 Hastighetsuttryck: en introduktion
Läs merSannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i
Läs merKapitel 12. Kemisk kinetik
Kapitel 12 Kemisk kinetik Avsnitt 12.1 Reaktionshastigheter Kemisk kinetik Området inom kemi som berör reaktionshastigheter Copyright Cengage Learning. All rights reserved 2 Avsnitt 12.1 Reaktionshastigheter
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs mer1/31 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet
1/31 REGRESSIONSANALYS F1 Linda Wänström Statistiska institutionen, Stockholms universitet 2/31 Kap 4: Introduktion till regressionsanalys. Introduktion Regressionsanalys är en statistisk teknik för att
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap Stefan Engblom, tel. 471 27 54, Per Lötstedt, tel. 471 29 72 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2016-03-16 Skrivtid:
Läs merFö relä sning 2, Kö system 2015
Fö relä sning 2, Kö system 2015 Vi ska börja titta på enskilda kösystem som ser ut på följande sätt: Det kan finnas en eller fler betjänare och bufferten kan vara ändlig eller oändlig. Om bufferten är
Läs merTAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor
TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 3 Markovprocesser 16 April 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 3 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Markovprocesser
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 3 Markovprocesser 13 April 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 3 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Markovprocesser
Läs merBetingning och LOTS/LOTV
Betingning och LOTS/LOTV Johan Thim (johan.thim@liu.se 4 december 018 Det uppstod lite problem kring ett par uppgifter som hanterade betingning. Jag tror problemen är av lite olika karaktär, men det jag
Läs merSF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
Läs merKapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,
Läs merKinetik, Föreläsning 1. Patrik Lundström
Kinetik, Föreläsning 1 Patrik Lundström Varför kinetik inom kemin? Hur lång tid som behövs för att bilda viss mängd produkt Hur en reaktion beror av temperatur Hur katalys påverkar reaktion och reaktionshastighet
Läs merd dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.
Bestäm den lösning till differentialekvationen Ange även lösningens eistensintervall SF6 Differentialekvationer I MODULUPPGIFTER Första ordningens differentialekvationer med modeller d d y ( ) = y 2, som
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Flerdimensionella Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Flerdimensionella Ett slumpförsök kan ge upphov till flera (s.v.): kast med
Läs merDemonstration av laboration 2, SF1901
KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 5 Markovprocesser 2 Maj 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 5 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Poissonprocessen
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 5 Markovprocesser 24 April 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 5 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Poissonprocessen
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merStatistisk analys av komplexa data
Statistisk analys av komplexa data Trunkerade data och Tobitregression Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 10, 2015 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Trunkerade data
Läs merHur måttsätta osäkerheter?
Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2016-03-16 Del A 1. (a) Beräkna lösningen Ù vid Ø = 03 till differentialekvationen
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler Jörgen Säve-Söderbergh Stokastisk variabel Singla en slant två gånger. Ω = {Kr Kr, Kr Kl, Kl Kr, Kl Kl}
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merFöreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013
Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process
Läs mery(0) = e + C e 1 = 1
KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs
Läs mermodell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt
Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F5 Diskreta variabler Kursens mål beskriva/analysera data formellt verktyg strukturera omvärlden innehåll osäkerhet
Läs merNågra extra övningsuppgifter i Statistisk teori
Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,
Läs merEn trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1
10 En trafikmodell Leif Arkeryd Göteborgs Universitet Tänk dig en körfil på en landsväg eller motorväg, modellerad som x axeln i positiv riktning (fig.1), och med krysset x j som mittpunkten för bil nummer
Läs merÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9
ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9 STOKASTISKA VARIABLER 1. Ange om följande stokastiska variabler är diskreta eller kontinuerliga: a. X = En slumpmässigt utvald person ur populationen är arbetslös, där x antar
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs merStatistiska begrepp och metoder som används i Successivprincipen
Statistiska begrepp och metoder som används i Successivprincipen Generellt har statistiska procedurer antingen varit överförenklade eller opraktiska för projektteamen. Resultatet blir inte trovärdigt i
Läs merStat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT
Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT Jointly distributed Joint probability function Marginal probability function Conditional probability function Independence
Läs merGaser: ett av tre aggregationstillstånd hos ämnen. Flytande fas Gasfas
Kapitel 5 Gaser Kapitel 5 Innehåll 5.1 Tryck 5.2 Gaslagarna från Boyle, Charles och Avogadro 5.3 Den ideala gaslagen 5.4 Stökiometri för gasfasreaktioner 5.5 Daltons lag för partialtryck 5.6 Den kinetiska
Läs mer= = i K = 0, K =
ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 1 Markovprocesser 25 Mars 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 1 Föreläsningsplan 1 Kursinformation 2 Stokastiska processer
Läs merTentamen i Kemisk Termodynamik kl 14-19
Tentamen i Kemisk Termodynamik 2011-06-09 kl 14-19 Hjälpmedel: Räknedosa, BETA och Formelsamling för kurserna i kemi vid KTH. Endast en uppgift per blad! Skriv namn och personnummer på varje blad! Alla
Läs merKapitel 5. Gaser. är kompressibel, är helt löslig i andra gaser, upptar jämt fördelat volymen av en behållare, och utövar tryck på sin omgivning.
Kapitel 5 Gaser Kapitel 5 Innehåll 5.1 5. 5.3 Den ideala gaslagen 5.4 5.5 Daltons lag för partialtryck 5.6 5.7 Effusion och Diffusion 5.8 5.9 Egenskaper hos några verkliga gaser 5.10 Atmosfärens kemi Copyright
Läs merÖvning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.
Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen
Läs merKemisk Dynamik för K2, I och Bio2
Kemisk Dynamik för K2, I och Bio2 Fredagen den 11 mars 2005 kl 8-13 Uppgifterna märkta (GKII) efter uppgiftens nummer är avsedda både för tentan i Kemisk Dynamik och för dem som deltenterar den utgångna
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merF10 Kap 8. Statistikens grunder, 15p dagtid. Binomialfördelningen 4. En räkneregel till. Lite repetition HT Sedan
01-09-7 F10 Kap 8 Statistikens grunder, 15p dagtid HT 01 Lite repetition Kovarians Binomial- och Poissonfördelning Täthetsfunktion (kont.) Fördelningsfunktion (kont.) Arean under en kurva Sedan Normalfördelningen
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 23 mars, 2018 PLAN FÖR DAGENSFÖRELÄSNING Repetition av betingade sannolikheter, användbara satser
Läs merGaser: ett av tre aggregationstillstånd hos ämnen. Flytande fas Gasfas
Kapitel 5 Gaser Kapitel 5 Innehåll 5.1 Tryck 5.2 Gaslagarna från Boyle, Charles och Avogadro 5.3 Den ideala gaslagen 5.4 Stökiometri för gasfasreaktioner 5.5 Daltons lag för partialtryck 5.6 Den kinetiska
Läs merRepetition F12. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00
Repetition F12 Kolligativa egenskaper lösning av icke-flyktiga ämnen beror främst på mängd upplöst ämne (ej ämnet självt) o Ångtryckssänkning o Kokpunktsförhöjning o Fryspunktssänkning o Osmotiskt tryck
Läs merF5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)
Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative
Läs merLärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015
Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Johan Jonasson Februari 2016 Följande begrepp och metoder ska behärskas väl, kunna förklaras och tillämpas. Direkta bevis av satser från kursen kommer inte på
Läs merVI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel. VI.1. Reella gaser
I. Reella gaser iktiga målsättningar med detta kapitel eta vad virialutvecklingen och virialkoefficienterna är Kunna beräkna första termen i konfigurationsintegralen Känna till van der Waal s gasekvation
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Funktioner av s.v:er, Flera stokastiska variabler. Marginell sannolikhetsfunktion och -täthetsfunktion. Oberoende sv:er, Maximum och minimum av oberoende
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE31 Sannolikhet, statistik och risk 218-5-31 kl. 8:3-13:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merF7 forts. Kap 6. Statistikens grunder, 15p dagtid. Stokastiska variabler. Stokastiska variabler. Lite repetition + lite utveckling av HT 2012.
F7 forts. Kap 6 Statistikens grunder, 15p dagtid HT 01 Lite repetition + lite utveckling av Stokastisk variabel Diskreta och kontinuerliga sv Frekvensfunktion (diskr.), Täthetsfunktion (kont.) Fördelningsfunktion
Läs merDagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:
Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.
Läs merSimulering av Poissonprocesser Olle Nerman, Grupprojekt i MSG110,GU HT 2015 (max 5 personer/grupp)
Simulering av Poissonprocesser Olle Nerman, 2015-09-28 Grupprojekt i MSG110,GU HT 2015 (max 5 personer/grupp) Frågeställning: Hur åstadkommer man en realisering av en Poissonprocess på ett tidsintervall
Läs merOberoende stokastiska variabler
Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merStokastiska processer och simulering I 24 maj
STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd. Matematisk statistik 24 maj 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 maj 2016 9 14
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9
ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9 STOKASTISKA VARIABLER 1. Ange om följande stokastiska variabler är diskreta eller kontinuerliga: a. X = En slumpmässigt utvald person ur populationen är arbetslös, där x antar
Läs merKap 3: Diskreta fördelningar
Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen
Läs mer4.1 Grundläggande sannolikhetslära
4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merHärledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem
Läs merKEM A02 Allmän- och oorganisk kemi. KINETIK 2(2) A: Kap
KEM A02 Allmän- och oorganisk kemi KINETIK 2(2) A: Kap 14.6 14.16 14.6 Andra ordningens kinetik Typiskt för bimolekylära reaktioner EXEMPEL: 2 HI H 2 + I 2 v = k [HI] 2 Typiskt för 2:a ordningens reaktion:
Läs merOm existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer
Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer Anders Källén 11 maj 2016 1 Introduktion I det här kapitlet ska vi diskutera vad vi allmänt kan säga om lösningar till ett system
Läs mer