Modellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010

Transkript

1 Modellering av Dynamiska system - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 21

2 Innehållsförteckning 1. Repetition av Laplacetransformen Fysikalisk modellering Gruppdynamik en sciologisk modell Är systemet linjärt? En elektrisk krets Kemisk reaktion Fordonsdynamik Inverterad pendel... 7 Facit... 8

3 1. Repetition av Laplacetransformen 1.1. Bestäm Laplacetransformen för: a) f t = 2t 2 e t b) f t = t c) f t = sin t cos t 2 d) f t = e 2t sin 3t e) f t = t 3 sin 3t 1.2. Laplacetransformera följande uttryck f t = t Beräkna: t > 1 annars I = te 3t sin t dt 1.4. Lös följande differentialekvation med hjälp av L-transformen y t + 4y t = y = α, y = β 1.5. Inverstransformera: a) F s = 1 s s+1 b) F s = 3 s 1 2 c) F s = 1 s s Lös integralekvationen f t + 2 t f t x cos x dx 1.7. Lös differentialekvationen = e t y t 2y t + y t = te t sin t, y = y =

4 2. Fysikalisk modellering 2.1. Gruppdynamik en sciologisk modell Relationer inom en grupp av personer är ett område som ingående studerats av psykologer och sociologer. I en enkel modell kan relationerna karaktäriseras av följande variabler. I(t): V(t): A(t): Y(t): Intensiteten hos växelverkan mellan gruppmedlemmarna (dvs. hur mycket de måste arbeta tillsammans och utbyta synpunkter). Vänskapsnivån inom gruppen (ett mått på hur goda relationerna mellan gruppmedlemmarna är). Mängden arbete eller aktivitet som gruppen utför. Mängden arbete eller aktivitet som gruppen ålagts att utföra (av yttre organ eller omgivning). Alla dessa variabler kan förändras med tiden. Sociologen G. C. Homans har gett följande verbala modell för hur förändringen sker. 1. Gruppens växelverkan I(t) beror på mängden aktivitet och på vänskapsnivån. 2. Vänskapsnivån V(t) stiger om växelverkan är större än vad som är normalt för den aktuella vänskapsnivån. 3. Aktivitetsnivån A(t) stiger om det ålagda arbetet är större än den aktuella nivån på A(t). Den stiger också om vänskapsnivån är större än vad som är normalt motiverar den aktuella aktivitetsnivån. Ställ upp en linjär differentialekvationsmodell för gruppdynamiken baserad på dessa iakttagelser Är systemet linjärt? Visa vilket/vilka av nedanstående system som är linjära. Redogör även för vilket/vilka av systemen som är dynamiska. a) y t + 3y t = 17u t b) y t = 2 sin u t c) y t = u 2 t d) t 2 y t + y t = 5u t

5 2.3. En elektrisk krets Betrakta följande elektriska krets som innehåller den olinjära komponenten N t = k i 2 t, k >, för vilken gäller att spänningsfallet är k i 2 t. a) Ställ upp en differentialekvation för kretsen b) Antag att insignalen är en konstant u t = u. Beräkna den stationära punkt detta motsvarar Kemisk reaktion För en kemisk reaktion gäller att den energi som bildas per tidsenhet är k 1 T t T 3 medan värmeförlusten till omgivningen per tidsenhet är k 2 T t T. Här betecknar T(t) (i Kelvin) reaktionstemperaturen, T är omgivningens temperatur och k 1 och k 2 värmeövergångstal (i [J/(K s)]). Om C [J/K] är värmekapaciteten hos de reagerande ämnena gäller att För enkelhetens skull antas här att C=k 1 =k 2 =1 Ange systemets stationära punkter. CT = k 1 T t T 3 k 2 T t T

6 2.5. Fordonsdynamik Vi ska nu bygga en gradvis förfinad modell av en bilstötdämpare. a) En enkel första approximation ges av följande mekanism: Här är m 1 bilens massa och fjädern med fjäderkonstant k 1 representerar stötdämparen. Mass/fjädersystemet är i nederänden förankrat i vårt referensplan. Modellera systemet då kraften F(t) är insignal och hastigheten v 1 (t) utsignal. Hänsyn ska även tas till gravitationen g. Använd blockschemarepresentation och ta fram en differentialekvation för systemet samt skriv denna på tillståndsform. b) Vi utvidgar nu mekanismen med en dämpare vars motverkande kraft ges av F 2 t = bv 1 t : Utgå ifrån a) och ange en modell för det modifierade systemet.

7 2.6. Inverterad pendel En inverterad pendel är en pendel som startar i en position vertikalt uppåt från en fast punkt. Pendelns kulla har massa m och stången som kullan är fäst på har försumbar massa med längden L. Sträckan som pendeln rör sig från sitt toppläge längs cirkelns rand betecknas x(t), där positiv sträcka är motsols i cirkeln. Vinkeln θ(t) är vinkeln som pendeln utgör från dess startposition och g är gravitationskonstanten. Ställ upp en differentialekvation för det odämpade systemet och linjärisera kring utgångsläget för pendeln, θ(t)=. Beräkna det linjäriserade systemets poler och stabilitet.

8 Facit 1. Repetition av Laplacetransformen 1.1 a) F s = 4 s 3 1 s+1 b) F s = s4 +4s s 5 c) F s = 1 s 2 d) F s = s s e) F s = 72 s3 9s s F s = 2e s s Sätt f t = t sin t och utnyttja definitionen på Laplacetransformen. 2s F s = s I = F 3 = 3 5 = αs + β Y s = s y t = αcos 2t + β sin 2t a) f t = 1 e t b) f t = 3te t c) f t = t e 2t f t = 1 2 et + e t 2te t 1.7 y t = 2e t 2e t cos t te t sin t 2. Fysikalisk modellering 2.1 Gruppdynamik en sociologisk modell Vi kan anta en linjärmodell med Y(t) som insignal. De olika påståendena i den verbala modellen ger oss följande matematiska modeller,

9 I t = a 1 A t + a 2 V t, a 1, a 2 > V t = b 1 I t V t, b 1 > A t = c 1 Y t A t + c 2 V t A t, c 1, c 2 > Efter eliminering av I(t) ges slutligen gruppdynamiken utav, V = a 1 b 1 A t + b 1 a 2 1 V t A = c 1 Y t c 1 + c 2 A t + c 2 V t 2.2 Är systemet linjärt? a) Linjärt och dynamiskt b) Olinjärt och icke dynamiskt c) Olinjärt och dynamiskt d) Linjärt och dynamiskt (och tidsvariabelt) 2.3 En elektrisk krets a) Om man nyttjar följande tre fysikaliska lagar, Kirchhoff 2: Ohms lag: Induktans: u t = u R t + u L t + u N t u R t = R i t u L t = L di dt u N t = k i 2 t är det enkelt att ställa upp differentialekvation enligt: L di dt + Ri t + ki2 t = u t b) Den stationära punkten ges då di dt = vilket resulterar i punkten, u, R 2k + R 2 + u 4k 2 k

10 2.4 Kemisk reaktion Systemet har stationära punkter i, T 1 = T oc T 1 = T ± Fordonsdynamik a) Ur figuren ges följande samband, ΔF t = F t m 1 g F 1 t i Där F 1 t är den kraft som fjädern utövar på massan. Med hjälp av Newtons andra lag ΔF t = m 1 a t och att hastigheten är derivatan av sträckan, v 1 t = x t, samt att F 1 t = k 1 x t kan vi skriva om (i) som en 2:a ordningens differentialekvation, m 1 x = F t m 1 g k 1 x t Väljer vi sträckan som vårt första tillstånd och massans hastighet som det andra tillståndet (vilket också är utsignalen) får vi systemet på tillståndsform enligt, x 1 t = x t x 2 t = v 1 t x 1 t = x 2 t x 2 t = k 1 m 1 x 1 t + 1 m 1 u t g Alternativt på matrisform, x t = y = 1 k 1 m 1 1 x t x t + 1 m 1 u t 1 g b) Formel (i) modifieras enligt, ΔF t = F t m 1 g F 1 t F 2 t där F 2 (t) är kraften ifrån dämparen som verkar på massan, F 2 t = bv 1 t Detta resulterar, med ovan valda tillstånd, i tillståndsformen, x t = y = 1 k 1 b x t + m 1 m 1 1 x t 1 m 1 u t 1 g 2.6 Inverterad pendel Gravitationskraften är riktad direkt neråt och har en magnitud av mg. Kraften som verkar i tangentens riktning är F t = mg sin (θ) och från Newtons andra lag erhålls ekvationen

11 d2 x dt 2 = g sin θ Det gäller att x = Lθ där enbart θ är tidsberoende vilket resulterar i differentialekvationen för det odämpade systemet, d 2 θ dt 2 = g L sin θ θ g sin θ = L Linjärisering kring punkten θ = medför att sin θ θ vilket resulterar i θ g L θ = En Laplacetransformering ger karaktäristiska ekvationen θ s s 2 g L = Detta ger upphov till en instabil pol i g L och en stabil pol i g L. Den inverterade pendeln är alltså instabil, vilket är intuitivt uppenbart! Denna typ av dynamik finns hos oss människor när vi står upp (eller när man vill att en robot ska kunna stå). I reglerteknikkursen kommer ni att lära er hur man kan stabilisera ett instabilt system med hjälp av återkoppling. Se exempelvis,