Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

Transkript

1 Lösningsförslag TSRT9 Reglerteori (a) RGA(G()) = med y. ( ), dvs, vi bör para ihop u med y och u s+ (b) Underdeterminanter till systemet är (s+)(s+3), s+, s+3, s+, s (s+)(s+)(s+3). MGN är p(s) = (s + )(s + )(s + 3). Maximala underdeterminanten är s p(s). Polerna är alltså 3,, och nollstället finns i +. Detta nollställe gör att det blir svårt att få högre bandbredd än ca.5 rad/s för det slutna systemet. (c) Eftersom systemet är stabilt vet vi att lösningen rör sig mot origo, så markeringen vid x = x = måste gälla tidpunkten t =. (d) Styrsignalbegränsningar är fundamentala begränsningar. Det är mycket möjligt att MPC kan hantera sådana begränsningar bättre än andra reglerstrategier, men varken MPC eller någon annan reglerstrategi kan komma undan problemet helt. Om t.ex. ett system utsätts för väldigt kraftiga störningar så är det kanske inte är möjligt att motverka dessa med begränsade styrsignaler. Eller, för att kunna stabilisera ett instabilt system så måste styrsignalerna kunna övervinna systemets naturliga drift. Med begränsade styrsignaler blir detta normalt bara möjligt i en del av tillståndsrummet.. (a) Låt y = x. Då måste man derivera två gånger innan u påverkar, d.v.s. det relativa gradtalet är. ẏ =ẋ = ax + b(x + cx )(cx x ) ÿ =a x ab(x + cx )(cx x ) bc dx + bx (ax b(x + cx )(cx x )) + bc x u (b) Genom att välja u = (ū f (x))/f (x) där f (x) =a x ab(x + cx )(cx x ) bc dx + bx (ax b(x + cx )(cx x )) f (x) =bc x får man att det exakt linjäriserade systemet är ÿ = ū, d.v.s. y(t) = s ū. (c) Eftersom olinjäriteterna är borttagna enligt ovan betraktar vi endast systemet y(t) = s ū när vi bestämmer vår IMC-regulator. Det slutna systemet för IMC ges av G c = GQF r där Q är Q = G (s) (λs + ) n = s (λs + ) n Ver: 8 mars 9

2 t x (t) (roterad 9 grader) x x (t) Fasplan 5 5 x x t x Figur : Tids plottar för uppgift.b. För att få ett propert system används n = och för att få rätt stigtid ska λ =.893, se figur. Förfiltret F r behövs för att få rätt statisk förstärkning vilket är om F r =. 3. Vi har följande två fall (med x = y, x = ẏ och x = [x x ] T ): [ ] [ ] A : ẋ = x + α mg [ ] B : ẋ = β tan ( x r r x π ) γx mg (a) Jämviktspunkterna hittas genom att lösa ekvationen ẋ = för båda fallen. Fall A: Genom att sätta ẋ = fås att [ ] [ ] { x = x + = α mg αx mg = Den första ekvationen ger att x = som insatt i den andra ekvationen ger att mg =. Det existerar alltså ingen stationär punkt (eftersom att ekvationerna ej är lösbara). Fall B: Lösningen till [ ] β tan ( x r r x π ) γx mg = Ver: 8 mars 9

3 Step Response.9.8 System: untitled Rise time (seconds):.3.7 Amplitude Time (seconds) Figur : Stegsvar för det slutna systemet i uppgift c där IMC har använts. ges av x = och ( ) x r π β tan mg = x = r ( ) mg r π tan + r β som med insatta värden på konstanterna ger jämviktspunkten [ ] x Genom att linjärisera kring denna jämviktspunkt så fås systemet (sätt x = x x) [ ] [ ] x = 5π x x cos (5π( x 5.)) }{{} A där A är framräknad som A = f [ x = x= x ] 5π. 5 cos (5π( x.)) För att studera vilken typ av jämviktspunkt detta är så studeras egenvärdena till A, och man får fram att λ =.5 ± i39.754, vilket innebär att den är av typen stabilt fokus (imaginära egenvärden med negativ realdel). 3 Ver: 8 mars 9

4 Figur 3: Fasplan för uppgift 3b. Lösningarna roterar medurs! (b) Fasplanet plottas i de två olika regionerna genom att studera hur lösningarna rör sig i olika punkter i fasplanet. Det kompletta fasplanet kan ses i Figur 3. Notera att lösningarna aldrig kan komma över i regionen x = y < vilket är naturligt (då skulle bollens centrum vara under marken). Titta på de två fallen var för sig. Fall A: Här är ẋ = x, vilket betyder att x ökar om x > och minskar om x < och ẋ =.x och alltså kommer x minska för alla x > 5. För x < 5 så ökar x och för x = 5 så kommer ẋ =, vilket innebär att lösningarna kommer dras mot linjen x = 5 (ej utritad i fasplanet eftersom att 5m/s är ganska snabbt för bollen). Fall B: I detta område är jämviktspunkten ett stabilt fokus, vilket innebär att lösningarna cirklar kring jämviktspunkten med minskande avstånd densamma. För att ta reda på vilket håll den roterar kan man studera ẋ = x. Ovanför x -axeln (alltså där x > ) så kommer alltså lösningarna röra sig åt höger, och för lösningar under x -axeln (x < ) kommer lösningarna att gå åt vänster. Alltså går lösningarna medurs i slingan i Figur 3. (c) Att en person står och slår med ett racket på bollen vid höjden 4 Ver: 8 mars 9

5 Figur 4: Den svarta kurvan är den limit cycle som uppstår i uppgift c meter innebär att så fort en lösning når linjen x = så kommer man direkt hamna i tillståndet [ ] [ ] x = = v 4 eftersom att bollen kommer få hastigheten x = v = 4. Detta innebär att så fort bollen kommer till x = så kommer den fastna i en limit-cycle som den inte kommer ur (detta motsvarar ju att en person står och studsar bollen mot marken med en konstant hastighet). Limit-cyclen ses i Figur 4 och ritas upp antingen genom att lösa tillståndsekvationerna, simulera systemet i Matlab eller på ren intuition tillsammans med bra motiveringar. 4. (a) Vi applicerar teorin från kapitel 4. i Reglerteoriboken. Eftersom funktionen är udda så kommer a(c) att bli noll, så vi behöver 5 Ver: 8 mars 9

6 endast beräkna b(c): f(c sin α) = π f(c sin α) sin α dα π { b + C sin α, α π b + C sin α, P.g.a symmetri behöver vi bara titta på [, π]. b(c) = π π π α π (b + C sin α) sin α dα Genom att använda att sin α = α sin α så får vi att b(c) = C + 4b π. Vi har alltså Y OL (C) = b(c) + ia(c) C = C + 4b π C = + 4b πc (b) Genom att plotta Nyquistkurvan för den linjära delen av systemet ser vi att vi har en skärning med reella axeln. Y OL (C) täcker området (, ) på den reella axeln. Vidare gäller det att Y OL (C) minskar då C ökar. Enligt diskussion i anslutning till figur 4.9 i boken så innebär detta att vi har en amplitudstabil självsvängning. (c) Vi söker det värde på K som gör att Nyquistkurvan för den linjära delen av systemet går igenom punkten Y OL (.). Eftersom den beskrivande funktionen är reell så kommer detta att ske då imaginärdelen av det linjära systemet är noll. G(iω) = K iω(iω + )(iω + ) = K 3ω + i(ω ) ω(ω + )(ω + 4) Imaginärdel = ger att ω =. Realdelen i denna punkt är K 6. Därför måste det gälla att Y OL (.) = + 4/π = K 6 K = 6 + 4/π (a) Exempelvis straffmatriserna Q = 6, R = ger en regulator som uppfyller kraven, se kod, Simulinkschema och figurer nedan. Notera att η (eta) är tillståndsvektorn. Initialtillståndet x sätts i tillståndsblocket i Simulink. 6 Ver: 8 mars 9

7 A = [ ]; B = [;.88; ; ]; C = eye(4); D = zeros(4,); Q = diag([ 6 ]); R = ; [L,~,~] = lqr(a,b,q,r,[]); sim( sim5 ) figure() clf; hold on subplot(4) plot(eta.time, eta.data(:,)) ylabel( x ) subplot(4) plot(eta.time, eta.data(:,)) ylabel( dot x ) subplot(43) plot(eta.time, eta.data(:,3)) ylabel( phi ) subplot(44) plot(eta.time, eta.data(:,4)) ylabel( dot phi ) figure() clf; hold on plot(u.time, u.data(:,)) ylabel( u ) 7 Ver: 8 mars 9

8 x - X:.496 Y: -.99 X:.844 Y: dot x.5 X:.744 Y: phi -. X:.4 Y: dot phi Ver: 8 mars 9

9 4 - u X: Y: (b) Vagnens position och vinkel mäts, det svarar mot tillstånd och 3, dvs. [ ] C =. Mätbruset v måste vara en vektor med två bruskomponenter, antag att det är vitt. Ett kalmanfilter skattar tillstånden med följande dynamiska ekvation ˆη = Aˆη + Bu + K(y C ˆη). Kalmanförstärkningen fås genom att lösa den algebraiska riccati ekvationen AP + P A T + NR N T P C T R CP = K = (P C T )R I praktiken är R och R designparametrar som avspeglar processbrusets storlek samt osäkerhet i initialskattning (R ) respektive mätbrusets storlek (R ). Processbrus i form av lågfrekventa krafter som verkar på vagnen 9 Ver: 8 mars 9

10 i sidled: Antag brusmodellen w = v () + αp }{{} H(p) där processbruset w betraktas som utsignalen ur det linjära filtret H(p) som drivs av vitt brus, v. Processbruset verkar som en kraft på vagnen i sidled, dvs. det påverkar tillstånden på samma sätt som styrsignalen u: Ekvation () är ekvivalent med η = Aη + B(u + w). w + αẇ = v Utöka tillståndsvektorn med w, ẇ = α w + v. [ ] η ξ =, w [ ] [ ] [ ] A B B ξ = ξ + u + v /α. }{{}}{{}}{{} Ā B N Lös kalmanfiltret för Ā, B, N. R är variancen på processbruskällan v och R variansen på mätbruset v. Gör därefter återkoppling från de rekonstruerade tillstånden (inklusive skattningen av processbruset, ŵ) med LQG. (c) Med ett sådant val av straff så kommer inte LQ-återkopplingen att ta hänsyn till huruvida vagnens position eller vinkel går mot noll eller inte, endast hastighet och vinkelhastighet regleras. Det innebär att positionsfel och vinkelfel inte kommer att korrigeras, det återkopplade systemet blir inte asymptotiskt stabilt, tillståndsvektorn kommer inte att gå mot origo. Ver: 8 mars 9