TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 8. Inversa cirkelkriteriet. Föreläsning 9. Föreläsning 9: Cirkelkriteriet och beskrivande funktion

Transkript

1 glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill / 2 Sammanfattning av föreläsning 8 TSRT9 glerteori Föreläsning 9: Cirkelkriteriet och beskrivande fnktion Daniel Axehill glerteknik, ISY, Linköpings Universitet Olinjära sstem: Sperpositionsprincipen gäller inte. Lapnovfnktioner kan användas för att visa stabilitet. Linjäriserade sstemet i x o asmptotiskt stabilt olinjära sstemet asmptotiskt stabilt nära x o. Cirkelkriteriet generaliserar nqistkriteriet. glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 2 / 2 Föreläsning 9 glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 3 / 2 Inversa cirkelkriteriet Inför G = G +kg och f() = f()+k samt r =(k 2 k )/2. Lågförstärkningssatsen på G, f ger r < eller >r Cirkelkriteriet mer i detalj. Beskrivande fnktion. Definitionen av G ger /+k >r k r Avbildningen z /z överför inversa cirkelkriteriet till det vanliga.

2 glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 4 / 2 Cirkelkriteriet Linjärt sstem återkopplat med en statisk olinjäritet f(x) f() =, k f(x) x k 2 Stabilt om nqistkrvan till inte omcirklar eller går in i cirkeln. glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 5 / 2 Beskrivande fnktion När ppstår självsvängning i ett olinjärt sstem? Vilken amplitd och frekvens får den? Är den amplitdstabil? k k 2 Analsmetod: Beskriv en olinjäritet som en amplitdberoende förstärkning. glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 6 / 2 Ett enkelt återkopplat linjärt sstem glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 7 / 2 Ett enkelt återkopplat linjärt sstem 3 e K s(s +) t Instabilt!

3 glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 8 / 2 Ett enkelt återkopplat sstem med mättning glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 9 / 2 Ett enkelt återkopplat sstem med mättning Samma sstem, fast n med en mättning i loopen..5 e K s(s +) t Notera amplitd-stabiliteten! glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill / 2 Sinssignal genom statisk olinjäritet = C sin ωt f = f(c sin ωt) Forierserietveckla : = 2Ã(C)+ (Ãn(C) cos(nωt)+ B n (C)sin(nωt)) = A (C)+ n= A n (C)sin(nωt + φ n (C)) n= Definiera en beskrivande fnktion som = A (C)e iφ (C) C är förstärkning och arg fasförskjtning av grndtonen. glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill / 2 Sins genom olinjäritet följd av linjärt sstem = C sin ωt = A (C)+ f A n (C)sin(nωt + φ n (C)) n= = A (C) G() + A n (C) G(inω) Olin. ss. Lin. ss. där ψ(ω) = arg. n= Olin. ss. Lin. ss. sin(nωt + φ n (C) Olin. ss. + ψ(nω) ) Lin. ss.

4 glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill / 2 Sins genom olinjäritet följd av linjärt sstem f Antaganden: A =(gäller t.ex. om f dda fnktion). G(kiω) <<, k >, d.v.s. G brant LP filter. glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 2 / 2 Följ sinstermen rnt återkopplingen e f( ) Försmma allt annat än grndtonen: Då gäller där ψ(ω) = arg. A (C) sin(ωt + φ (C)+ψ(ω)) = C sin ωt = A (C)sin(ωt + φ (C)) = A (C) sin(ωt + φ (C)+ψ(ω)) e = glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 2 / 2 Följ sinstermen rnt återkopplingen glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 2 / 2 Följ sinstermen rnt återkopplingen f( ) f( ) e e Villkor för självsvängning: e =, d.v.s. e = A (C) sin(ωt + φ (C)+ψ(ω)+π) =C sin(ωt) = Amplitd lika: A (C) = C Fas lika sånär som på 2π: φ (C)+ψ(ω) =π + ν2π Eller mer kompakt (fas och amplitd i en ekvation) = eftersom = e iψ(ω). J.m.f. med att nqistkrvan passerar precis genom pnkten.

5 glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 3 / 2 Beskrivande fnktion: tolkning glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 4 / 2 Beskrivande fnktion: alternativ formlering Y f kan ekvivalent skrivas som Den beskrivande fnktionen ges alltså av = A (C)e iφ (C) C Tolkning: överföringsfnktionen för olinjäriteten för en stationär sins (grndtonen). Amplitdberoende förstärkning. Förstärkningen ges av och fasförskjtningen av arg. där a(c) = π b(c) = π = b(c)+ia(c) C 2π 2π f(c sin α)cosαdα f(c sin α)sinαdα d.v.s. de vanliga forierkoefficienterna tillhörande grndtonen (med periodtiden normerad till 2π). glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 5 / 2 Exempel: Idealt relä glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 6 / 2 Beskrivande fnktion: användning ger b(c) = π π f(e) = sin αdα + π { om e> om e< 2π π ( sin α)dα = 4, a(c) = π Är en approximativ metod, eftersom man gör antagandet att övertonerna inte påverkar. Beräkning av (approximativ) självsvängning görs i stegen. Beräkna givet olinjäriteten. 2. Lös antingen { A (C) = C φ (C)+ψ(ω) =π + ν2π vilket ger = 4 πc eller = Ekvationen kan lösas antingen algebraiskt eller grafiskt.

6 glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 7 / 2 Beräkning av självsvängning: Grafisk metod glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 8 / 2 Exempel: Idealt relä i slten loop, grafisk lösning Ekvationen kan också skrivas = = - Y f C=3 C=2 C= ω= Om / och nqistkrvan plottas i det komplexa talplanet är villkoret för självsvängning att krvorna skär varandra. Skärningspnkten ger ω och C för självsvängningen skär / då ω och C.6. glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 9 / 2 Amplitdstabilitet hos svängningar Vad händer om vi avviker något från den beräknade självsvängningen (störning etc.)? glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 9 / 2 Amplitdstabilitet hos svängningar Vad händer om vi avviker något från den beräknade självsvängningen (störning etc.)? Pnkten / kan tänkas motsvara pnkten i nqistkriteriet i linjära fallet. Pilens riktning anger hr värdet av / ändras då amplitden C ökar. Indikation på stabil (vänster) respektive instabil (höger) självsvängning.

7 glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 2 / 2 Amplitdstabilitet forts. glerteori 27, Föreläsning 9 Daniel Axehill 2 / 2 Några praktiska exempel Vad händer om och / ej skär varandra? Glapp: fordonsdrivlinor, växellådor i indstrirobotar... Mättning: överallt, blir speciellt problem om reglatorn trimmas hårt i förhållande till begränsningarna... osv... Indikation på tdöende (vänster) respektive obegränsat växande (höger) svängningar. Pnkten / kan tänkas motsvara pnkten i nqistkriteriet i linjära fallet. Daniel Axehill glerteori 27, Föreläsning 9 (ver..5).li.se