STABILITET FÖR ICKE-LINJÄRA SYSTEM

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "STABILITET FÖR ICKE-LINJÄRA SYSTEM"

Britta Hedlund
för 7 år sedan
Visningar:

1 Armin Halilovic: ETRA ÖVNINGAR SF1676 Stabilitet för icke linära sstem Sida 1 av 8 STABILITET FÖR ICE-LINJÄRA SYSTEM Linarisering och lokal stabilitet Låt d d ss 1 vara ett autonomt icke-linärt sstem där t och t är obekanta funktioner ritiska punkter till ss 1 bestämmer vi genom att lösa 0 0 ss A Det kan hända att vi får ingen ändligt många eller oändligt många kritiska punkter För att bestämma stabilitet för en kritisk punkt approimerar vi ss 1 i närheten av punkten med ett linärt sstem med konstanta koefficienter A eller A A där A sk Jacobis matris eller acobimatris Därmed matrisen A bestämmer stabilitet för kritiska punkten Förklaring: Enligt Talors formel tillämpad kring punkten har vi Notera att 0 och =0 eftersom är en kritisk punkt Därmed kan vi approimera ss 1 med d d eller A

2 Armin Halilovic: ETRA ÖVNINGAR SF1676 Stabilitet för icke linära sstem Sida av Sammanfattning: Bestämning av kritiska punkter till d d ss 1 och deras stabilitet kan vi utföra på fölande steg: Steg 1 Bestäm kritiska punkter genom att lösa 0 0 ss A Steg Bestäm Jacobis matris i punkten A Steg För vare kritisk punkt bestämmer vi matrisen A dvs vi substituerar i A Därefter bestämmer vi tp av punkten med hälp av metod1 egenvärden eller metod och

3 Armin Halilovic: ETRA ÖVNINGAR SF1676 Stabilitet för icke linära sstem Som hälp att komma ihåg allaa möliga fall som kan förekomma kan man använda fölande figur från ZillWrites bok: å grund av approimationer kan vi inte avgöra gränsfall i vårr anals Därför frågetecken på gränslinerna i ovanstående figur För att analsera sådana fall använder a man andra metoder t e rita riktnings eller försök eakt lösaa sstemet Uppgift 1 Bestäm alla kritiska punkter och deras tp för fölande autonoma sstem d d Lösning: Steg 1 Vi bestämmer kritiska punkter genom att lösa 0 0 Sida av 8

4 Armin Halilovic: ETRA ÖVNINGAR SF1676 Stabilitet för icke linära sstem Substitutionen Eftersom i första ekvation ger har vi två kritiska punkter 1 1 och 1 Steg Vi bestämmer Jacobimatrisen i punkten A * 1 Steg För vare kritisk punkt bestämmer vi matrisen A dvs vi substituerar i A och med hälp av matrisen A tp av punkten 1 För 1 1 har vi från * 4 A Vi beräknar det A och tracea Eftersom är 1en sadelpunkt och därmed en instabil punkt För 1 har vi från * 4 A Vi beräknar det A och tracea Vi har och 6 Därmed är en stabil nod Svar: 1 1 är en sadelpunkt 1 är en stabil nod Sida 4 av 8

5 Armin Halilovic: ETRA ÖVNINGAR SF1676 Stabilitet för icke linära sstem Uppgift Bestäm alla kritiska punkter och deras tp för fölande autonoma sstem d d Lösning: Steg 1 Vi bestämmer kritiska punkter genom att lösa 0 0 Från andra ekvationen har vi i Om har vi från första ekvationen 0 som gör 1 och 1 Eftersom har vi 11 1 och ii Om har vi från första ekvationen 0 som gör 1 och 1 Eftersom har vi 1 1 och 4 Steg Vi bestämmer Jacobimatrisen i punkten A Steg För vare kritisk punkt bestämmer vi matrisen A dvs vi substituerar i A 1 För 11 1 har vi A Eftersom och 5 är 1en stabil nod Sida 5 av 8

6 Armin Halilovic: ETRA ÖVNINGAR SF1676 Stabilitet för icke linära sstem För har vi 4 A 4 4 Eftersom 4 0 Därmed är en sadelpunkt och därmed en instabil punkt För 1 1 har vi A 1 1 Eftersom 0 Därmed är en sadelpunkt och därmed en instabil punkt 4 För har vi 4 4 A Eftersom och 1är 4 en instabil spiralpunkt Svar: 11 1 är en stabil nod är en sadelpunkt och därmed en instabil punkt 1 1 är också en sadelpunkt och därmed en instabil punkt 4 är en instabil spiralpunkt Sida 6 av 8

7 Armin Halilovic: ETRA ÖVNINGAR SF1676 Stabilitet för icke linära sstem =============================================== Linarisering av en autonom DE Linarisering kan vi använda på en autonom första ordningens DE av en obekant funktion =t Vi kan analsera stabilitet för g i en kritisk punkt 1 med hälp av teckentabell som vi gorde tidigare i kursen Men vi kan också i några fall om g 1 0 använda linarisering och bestämma stabilitet med hälp av g 1 Runt punkten 1 gäller approimationen g g och därmed g * Genom att analsera tecken för med hälp av * drar vi fölande slutsats: a Om g 1 0 då är 1 en asmptotisk stabil kritisk punkt b Om g 1 0 då är 1 en instabil kritisk punkt c Om g 1 0 måste vi undersöka tecken av g i närheten av punkten 1 Anmärkning:Beteckning Tidigare har vi oftast betraktat en autonom DE av första ordningen g med en obekant funktion = Lösning Uppgift Jämför med stencilen om autonoma DE Vi betraktar fölande autonoma DE a Bestäm kritiska punkter b Bestäm om möligt punkternas stabilitet med hälp av g c Rita ett fasporträtt till DE och klassificera kritiska punkter med hälp av tecken för och ekvationens fasporträtt som vi gorde tidigare i kursen Lösning: a ritiska punkter är lösningar till = Detta ger två kritiska punkter och b Beteckna g Då är g b1 För kritiska punkten har vi g 1 0 Därmed är en instabil kritisk punkt Sida 7 av 8

8 Armin Halilovic: ETRA ÖVNINGAR SF1676 Stabilitet för icke linära sstem b För har vi g 0 Båda fall stabil och instabil kan förekomma i detta fall För att bestämma stabilitet måste vi undersöka tecken för g som vi ger i c-delen c Först bestämmer vi tecken för dvs för uttrcket teckentabell: med hälp av en Med hälp av derivatans tecken ritar vi fasporträtt Därmed har vi fölande svar: 1 är en instabil kritisk punkt samma resultat som i b-delen och att är också en instabil kritisk punkt semistabil Sida 8 av 8

Relevanta dokument

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system