Y=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Y=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN."

Johan Jonsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Tangentplan Linjära approimationer TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vara en dierentierbar unktion i punkten a b Då är N a b a b en normalvektor normalriktning till tan i punkten a b a b Vektorn N är orienterad uppåt etersom z-koordinaten är Vektorn N a b a b är en tans normalvektor orienterad nedåt etersom z-koordinaten är - N Ykonstant V konstant V Kort örklaring: Om r t t t z t en kurva i R 3 då är T t t z t kurvans tangentvektor se en lektion om kurvor på parameterorm av

2 Tangentplan Linjära approimationer En punkt på tan z har koordinater Om vi väljer konstant b och varierar endast år vi kurvan r b b som ligger på tan och som har tangent vektorn r ' ' b Kurvans tangentvektor i punkten P blir därör V r ' a ' a b V På samma sätt visar vi att ' a b är en tangentvektor i punkten P till kurvan r a a Härav är N V i j k som deinieras av konstanta ' a b a ' V b vad skulle visas EXEMPEL : Om z 5 då är En normalvektor i punkten P 7 blir då N TANGENTPLAN N normalvektor tangentplan P av

3 Tangentplan Linjära approimationer För tangentplanet i P har vi punktens koordinater a b c och en normalvektor N a b a b Därör ges tangentplanets ekvation i punkten P a b c på tan z där c a b av öljande ormel a b a a b b z c eller z c a b a a b b som ota skrivs på öljande orm: Tangentplanets ekvation i punkten P a b a b på tan z ges av z a b a b a a b b EXEMPEL : Om z då är Tangentplanets ekvation i punkten 4 blir då z 4 LINJÄRA APPROXIMATIONER Låt z vara en given ta med kontinuerliga partiella derivator i en öppen omgivning till punkten Låt vidare z * vara tangentplanets ekvation i punkten P Om en punkt i -planet ligger nära punkten då kan vi använda tangentplanets ekvation * ör att approimativt bestämma dvs unktionens värde i : ** 3 av

4 Tangentplan Linjära approimationer Vi kan också skriva ε *** där ε betecknar restterm dvs elet vid approimationen Uttrcket ** eller *** kallas ör linjär approimation eller linearisering linjärisering linjarisering av unktionen P Q R o o Andra skrivsätt: Om vi betecknar och kan vi skriva ε eller ε Anmärkning Approimationer av högre grad och mer om elet behandlar vi senare i kursen i samband med Talors ormel 4 av

5 Tangentplan Linjära approimationer DIFFERENTIAL Vi kan skriva ovanstående approimationsormel ör unktionen z på öljande sätt: F Om vi betecknar och d kan vi skriva d Uttrcket på högersidan i ormeln F d kallas dierential till unktionen z och betecknas dz eller d Kortare d Om är oberoende variabler betecknar vi d och d och d d d dierential i en allmän punkt På liknande sätt deinieras dierential av en unktion ed n variabler n d d d n d n Om är dierentierbar då d sin då är unktionens dierential EXEMPEL3: Om d cos d sin d DIFFERENTIERBARHET Om en unktion av en variabel harderivatan i en punkt a då är unktionen automatiskt kontinuerlig i denna punkt Detta egenskap gäller INTE ör unktioner av lera variabel Det inns unktioner t e med två var z som har partiella derivator i en punkt men som är INTE kontinuerliga i punkten 5 av

6 Tangentplan Linjära approimationer Ett eempel : Funktionen z om om är INTE kontinuerlig i punkten trots att båda derivator eisterar och som kan visas med hjälp av derivatans deinitionen I många satser inom lervariabelanals är kravet att en unktion z har partiella derivator otast ör svag Vi använder otast ett starkare antagande : att unktion är dierentierbar Begreppet dierentierbar deinierar vi nedan: DEFINITION: Låt z vara en unktion deinierad i en öppen mängd D som innehåller en punkt P Vi säger att unktionen är dierentierbar om öljande gäller h k h k h k ε h k där ε h k om h k På liknande sätt deinieras dierentierbarhet ör en unktion av n variabler För en unktion av en variabel är dierentierbarhet och deriverbarhet detsamma Följande sats är direkt öljd av deinitionen: SATS Om en unktion är dierentierbar i punkten P så är unktionen kontinuerlig i P Nedanstående sats hjälper oss att undersöka om en unktion är dierentierbar se kursboken ör bevis SATS Låt z vara en unktion deinierad i en öppen mängd D som innehåller en punkt P Om unktionen har partiella derivator i D som är kontinuerliga i punkten P så är unktionen dierentierbar i P EXEMPEL 4 Om e sin har partiella derivator e cos e sin som är kontinuerliga i varje punkt i R Därör är unktionen dierentierbar i hela R 3 Uppgit Bestäm en normalvektor till tan z i punkten P 4 6 av

7 Tangentplan Linjära approimationer Lösning: Vi beräknar partiella derivator i punkten P4: 3 3 och substituerar i ormel n N a b a b 3 Svar: N 3 Uppgit Bestäm alla punkter på tan parallell med räta linjen L: z 3z Lösning: Linjens riktningsvektor är v Partiella derivator: z där tans normalvektor är Ytans normalvektor i punkten z är nu N Vektorerna N och v är parallella om det inns k så att N k v som leder till tre skalära ekvationer: k ekv k ekv och k ekv 3 Enligt sista ekvationen har vi k som vi använder i örsta två ekv och år eller och och som visar att måste vara positiva och dessutom * 7 av

8 Tangentplan Linjära approimationer Härav och rån en av ovanstående ekvationer till e öljer: 3 ± 3 Etersom positiv har vi slutligen Från har vi att 3 3 z 3 Svar Normalen i punkten är parallell med linjen L Uppgit 3 Betrakta unktionen z ln 4 a Bestäm tangentplanets ekvation i punkten P b Beräkna approimativt Lösning: ln Tangentplanet har ekvation z dvs: z 4 tangentens ekvation eller kortare z 4 7 b Vi approimativt beräknar genom att substituera i tangentens ekvation Svar 9 Uppgit 4 Betrakta unktionen z r h 3 h ln h r 4 a Linearisera unktionen kring punkten r h b Beräkna approimativt 8 av

9 Tangentplan Linjära approimationer Lösning: 3 ln 3 hr 4 r 4 r h r 4 h h ln h r 4 h h r 4 r ln 8 8 Anmärkning: Om du tcker att det är enklare att hantera uttrck då kan du bta beteckning till z 3 ln 4 Vi substituerar beräknade värden i ormeln ör linearisering av unktionen z r h r h r h r h r r r h h ε r h h och år dvs: r h 3 4 r 8 h ε Med andra ord r h 3 4 r 8 h b Vi approimativt beräknar genom att substituera r h i r h 3 4 r 8 h Svar 4 6 Uppgit 5 Låt Π vara det tangentplan till tan z 4 som är parallell med planet 8 4 z 9 Låt A B och C vara skärningspunkter mellan tangentplanet Π och koordinatalarna Bestäm volmen av pramiden OABC där O betecknar origo Lösning: Först bestämmer vi den punkt i vilken tangentplanets normalvektor N är parallell med v 8 4 Vi beräknar 9 av

10 Tangentplan Linjära approimationer N 4 N och v är parallella om N k v dvs om 4 k 8 4 som ger 4 8k 4k k Härav k/ och z- 7 Tangentplanet I punkten P -7 är parallell med givna planet I punkten P gäller 4 4 och Därmed blir tangentplanets ekvation i punkten P - 7 z 7 4 z 4 eller Tangentplanet skär alarna i öljande punkter: z och därmed A z / och därmed B / z -/4 och därmed B-/4 Basen i pramiden är rätvinkliga triangeln OAB med arean areanoab 4 Volmen av pramiden Bastans area* höjden Svar: Volmen / 48 v e av

Relevanta dokument

x=konstant V 1 TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

x=konstant V 1 TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN. Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vaa en dieentieba unktion i punkten a b