En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan finnas endast om mängderna har samma antal element.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan finnas endast om mängderna har samma antal element."

Simon Lundström
för 6 år sedan
Visningar:

1 Inversa unktion BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION Allmän terminologi I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en unktion : A B Vi har otast krav att varje element x i A har precis en bild (x) i B och att varje element i B har precis en original i A Sådana avbildningar kallar vi bijektioner En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan innas endast om mängderna har samma antal element Om det inns en bijektion mellan två mängder A, B (ändliga eller oändliga) säger vi att de har lika kardinalitet ( kardinaltal) DEFINITION 1 Låt vara en unktion rån mängden A till B dvs : A B Vi säger att är en bijektiv unktion (eller en bijektion) om öljande gäller: 1 Funktionens deinitionsmängd D är lika med A Ekvationen ( x) = y, ör varje y B, har precis en lösning x A Anmärkning: En bijektiv unktion har inversen - 1 som deinieras enligt öljande: För en given y inns det precis ett x sådant att ( x) = y och därör kan vi deiniera ( y) = x 1 av 8

2 Inversa unktion Exempel 1 ( Diskret matematik) A och B är mängder med ändligt många element) Bestäm vilka av öljande avbildningar är bijektioner: iii) A B iv) A 4 4 B 4 1 b a 1 A B c b a Svar i) Nej, element 4 i mängden A har ingen bild ii) Nej, element d i mängden B har ingen original iii) Nej, element b har två original-element och iv) Ja, varje element i A har exakt en bild och varje element i B har exakt en original av 8

3 Inversa unktion DEFINITION 1 INJEKTION Funktionen : A B kallas injektiv om ekvationen ( x) = y, ör varje y B, har högst en lösning x A ( D v s ingen eller en lösning x A) SURJEKTION Funktionen : A B kallas surjektiv om ekvationen ( x) = y ör varje y B, har minst en lösning x A Från deinitionen ramgår öljande: 1 En unktion är injektiv om och endast om olika original har olika bilder dvs x 1 ( 1 x x x ) ( ) En unktion är surjektiv om och endast om gäller V = B En unktion är bijektiv om och endast om den är både surjektiv och injektiv och deinitionsmängd D är lika med A Exempel Bestäm vilken/vilka av öljande avbildningar är en surjektion, injektion, bijektion Svar: i) 1 är varken injektiv eller surjektiv ii) är injektiv men inte surjektiv iii) är surjektiv men inte injektiv iv) 4 är både injektiv och surjektiv och därmed bijektiv ================================= av 8

4 Inversa unktion INVERSA FUNKTIONER I ANALYSEN När vi betraktar unktioner i envariabel- eller lervariabelanalys har vi avbildningar rån R n till R m En unktion deinieras med hjälp av en regel ( en ekvation ) och unktionens deinitionsmängd Om deinitionsmängd saknas då menas den största möjliga deinitionsmängden I vår kurs betraktar vi reellvärda och vektorvärda unktioner av en eller lera variabler som till exempel 1 z = ( x, y) = x + y + xy, en reell unktion av två variabler r ( t) = ( t, t + 1, t + t), en vektorunktion av tre variabler r F ( x, y) = ( x + x + x + y), en vektorunktion av två variabler som vi kan också deiniera med tre skalära ekvationer u = x + y v = x + y w = x + y Frågan om inversunktion i analysen är lite örenklad (om vi jämör med ovanstående deinitionen i allmän matematik) och reduceras till rågan om det inns bijektion mellan unktionens deinitionsmängd D och värdemängd V dvs om unktionen : D V har inversen Alltså rågan är om ekvationen ( x) = y, ör varje y V, har precis en lösning x D DEFINITION : Låt vara en unktion rån R n till R p med deinitionsmängden D och värdemängden V Vi säger att unktionen är inverterbar om ekvationen, med avseende på, har precis en lösning ör varje givet Genom tillordningen deinieras en unktion rån till Denna unktion kallas inversen till och betecknas 4 av 8

5 Inversa unktion Enligt deinitionen: ( x) = y ( y) = x dessutom D V = V = D, och Anmärkning Etersom vi tar y rån värdemängden, en lösning dvs y, har ekvationen ( x) = y minst : D V är surjektion Kvar står att kontrollera om unktionen är injektiv d v s ( x) = y att kontrollera om det inns högst en lösning till V Exempel (en reell unktion av en variabel) Funktionen ( x) = x +, x avbildar intervall D= [, ] på värdemängden V a) Rita graen och bestäm värdemängden V b) Är avbildning : D V bijektiv? c) Är unktionen inverterbar? d) Bestäm om g ( x) = x +, med deinitionsmängden D = [0, ] är inverterbar ( Vi behåller samma ormel men ändrar deinitionsmängden till D = [0, ] ) Lösning: a) Värdemängden till är V=[, 6] b) Vi ser på graen att det inns punkter y ( t ex y=5) sådana att ekvationen ( x) = y har två lösningar som båda ligger i D= [ 1, ] c) Funktionen är inte bijektiv och därmed INTE inverterbar 5 av 8

6 Inversa unktion d) y = x + x = y x = ± y Formellt har vi ått två lösningar men endast en lösning x = + y ligger i deinitionsområdet D = [0, ] Funktionen g : D g V är inverterbar etersom, g ör varje har ekvationen g ( x) = y precis en lösning i deinitionsmängden D = [0, ] ( y) = + y (där y ligger i V g = [, 6] ) Exempel (En vektorvärd unktion av tre variabel ) Funktionen F( x, = ( x + y + z, y + z, 4 kan också anges med tre skalära ekvationer u = x + y + z, v = y + z, w = 4z a) Är unktionen inverterbar? b) Bestäm inversen i sådant all Lösning: Funktionen är deinierad ör alla ( R x, Låt Y = ( u, vara godtyckligt men ixt vektor Vi undersöker hur många lösningar på X har ekvationen F( X ) = Y där X = ( x, och Y = ( u, Vi löser ekvivalenta systemet med avseende på x, z : x + y + z = u y + z = 4 z = v w 6 av 8

7 Inversa unktion Alla tre variabler x, z är ledande som medör att systemet med linjära ekvationer har precis en lösning Vi kan även lösa systemet Från den sista ekvationen har vi z = w / 4, rån andra y = v w / 4 och till slut rån örsta har vi x = u v Lösning: x = u v, y = v w / 4, z = w / 4 Alltså, ör varje Y = ( u, rån värdemängden har vi exakt en lösning X = ( x, Därmed är F( x, = ( x + y + z, y + z, 4 en inverterbar unktion Inversen 1 F :V D ges av F ( Y ) = ( u v w / 4, w / 4) Uppgit 1 (En vektorvärd unktion av tre variabel) Låt F ( x, = ( x, z ) Undersök om unktionen är inverterbar och bestäm inversen i sådant all Lösning Låt D och V beteckna unktionens deinitionsmängd resp värdemängd Först måste vi bestämma unktionens deinitionsmängd D etersom den är inte given i uppgiten: På grund av rotuttryck, måste y och z vara 0 ; x kan vara vilket som helst reellt tal, därör D = {( x, R : y 0, z 0} Vi betecknar koordinater i F med u, w och dessutom X = ( x, och Y = ( u, Nu undersöker vi hur många lösningar till F(X)=Y ligger i D (Funktionen F: D V är inverterbar om precis en lösning ligger i deinitionsmängden D ) Vi löser systemet x = u y = v z = w : Från örsta ekvationen har vi x = ± u, y = v och z = w Alltså ör varje Y = (u, i värdemängden V har ekvationen 7 av 8

8 Inversa unktion F(X)=Y två lösningar X= ( x, = ( ± u, v, w ), som båda ligger i D och därör är unktionen INTE inverterbar Uppgit (Endast en örändring i deinitionsmängden i jämörelse med öregående uppgiten ) Vi betraktar unktionen F ( x, = ( x, z ), med deinitionsmängden D = DF = {( x, R : x 0, y 0, z 0} Undersök om unktionen är inverterbar och bestäm inversen i sådant all Lösning Deinitionsmängden D är given Vi undersöker hur många lösningar till Vi betecknar koordinater i F med u, w och X = ( x, och Y = ( u, Nu undersöker vi hur många lösningar till ekvationen F(X)=Y ligger i D ör en vektor ( punkt, trippel) Y = ( u, som vi tar rån värdemängden V Vi löser systemet x = u y = v z = w : ( Lägg märke till att u, w 0 ) Från örsta ekvationen har vi ormellt två lösningar x = ± u, y = v och z = w men den här gången endast en av dem x = + u, y = v och z = w ligger i D Därmed är unktionen inverterbar och har inversen F ( Y ) = ( u, v, w ) 1 F :V D, där 8 av 8

Relevanta dokument

Sådana avbildningar kallar vi bijektioner mellan A och B (eller från A till B).

Sådana avbildningar kallar vi bijektioner mellan A och B (eller från A till B). BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION Allmän terminologi. I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en funktion f : A B. Vi har oftast krav