2MA105 Algebraiska strukturer I. Per-Anders Svensson

Transkript

1 2MA105 Algebraiska strukturer I Per-Anders Svensson Föreläsning 4

2 Innehåll Bijektiva avbildningar en repetition Permutationsgrupper Permutationer skrivna som produkter av cykler Jämna och udda permutationer Något om symmetrigrupper 25 november (20)

3 Bijektiva avbildningar en repetition Vi ger en kort repetition av vad som menas med att en avbildning är injektiv, surjektiv respektive bijektiv. Definition (Injektiv avbildning) Låt A och B vara mängder och f : A B en avbildning från A till B. Vi säger då att f är injektiv, om det för varje a 1, a 2 A gäller att a 1 a 1 = f (a 1 ) f (a 2 ). (1) I informella ordalag: En avbildning är injektiv, om olika indata ger olika utdata. Ett ekvivalent villkor till (1), som ofta är enklare att använda sig av när man vill bevisa att en avbildning är injektiv, är närhelst a 1, a 2 A f (a 1 ) = f (a 2 ) = a 1 = a 2 Vi kan också säga att f : A B är injektiv, om det för varje b B finns högst ett a A som uppfyller f (a) = b. 25 november (20)

4 Om A och B är mängder och f : A B en avbildning, så kallas A definitionsmängd och B målmängd. Mängden im f = f (A) = {f (a) a A}, som är en delmängd av målmängden B, kallas värdemängden till f, eller bilden av A genom f. Definition (Surjektiv avbildning) Låt A och B vara mängder och f : A B en avbildning från A till B. Vi säger då att f är surjektiv, om im f = B. För en surjektiv avbildning sammanfaller värdemängden med målmängden. Om f : A B är surjektiv, så finns det för varje b B minst ett a A som uppfyller f (a) = b. 25 november (20)

5 Definition (Bijektiv avbildning) Låt A och B vara mängder och f : A B en avbildning från A till B. Vi säger då att f är bijektiv, om f är injektiv och surjektiv på samma gång. Vi erinrar oss om att Om f : A B är injektiv, så finns det för varje b B högst ett a A som uppfyller f (a) = b, och Om f : A B är surjektiv, så finns det för varje b B minst ett a A som uppfyller f (a) = b. Alltså är f : A B bijektiv, om det för varje för varje b B finns exakt ett a A som uppfyller f (a) = b. Om f : A B är bijektiv, så betyder det bl.a. att om en av mängderna A och B är ändlig, så måste den andra också vara det, och A = B. Vi kommer att intressera oss speciellt bijektiva avbildningar i det fall då A = B = X är en och samma mängd. 25 november (20)

6 Permutationsgrupper Definition (Permutation) Låt X vara en mängd. Med en permutation av X avses en bijektiv avbildning σ : X X. Vi kommer utgå från att X är ändlig. En permutation av X = {a 1, a 2,..., a m } tecknas på matrisform enligt a1 a σ = 2... a m. σ(a 1 ) σ(a 2 )... σ(a m ) Eftersom σ är bijektiv, är varje element i X bilden av exakt ett element i X genom σ. Därmed förekommer varje element i X exakt en gång i den andra raden av matrisen ovan. Exempel Antag att X = {1, 2, 3} och att σ : X X uppfyller σ(1) = 1, σ(2) = 3 och σ(3) = 2. Då är σ en permutation av X och vi skriver σ = november (20)

7 Definition (Produkt av permutationer) Låt ρ och σ vara permutationer av X. Då definieras produkten ρσ av ρ och σ som den sammansatta avbildningen ρ σ. För varje x X gäller alltså ρσ(x) = ρ σ(x) = ρ(σ(x)). Exempel 4 Om ρ = och σ = , så blir ρσ(1) = ρ(σ(1)) = ρ(3) = 2 ρσ(2) = ρ(σ(2)) = ρ(2) = 3 ρσ(3) = ρ(σ(3)) = ρ(4) = 1 ρσ(4) = ρ(σ(4)) = ρ(1) = 4. Alltså är ρσ = Vad är σρ? 25 november (20)

8 Exempel Produkten σ 1 σ 2 σ 3, där 4 σ 1 =, σ 4 2 = ( ) och σ 3 = är lika med = , Observera att i en produkt av permutationer läser vi från höger till vänster. Anmärkning Eftersom vi beräknade en produkt av tre permutationer ovan, borde vi egentligen först ha försäkrat oss om att multiplikation av permutationer är en associativ kompositionsregel, i och med att σ 1 σ 2 σ 3 inte bara kan tolkas som σ 1 (σ 2 σ 3 ), utan också som (σ 1 σ 2 )σ 3. Om multiplikation av permutationer inte är associativ, kan dessa tolkningar mycket väl ge olika resultat. Men i själva verket är multiplikation av permutationer associativ, som vi snart ska se. 25 november (20)

9 Låt X vara en mängd. Bilda mängden S X av alla permutationer av X. Då är multiplikation av permutationer en kompositionsregel på S X, ty produkten av två permutationer är en permutation (sammansättningen av två bijektiva avbildningar är en bijektiv avbildning). Sammansättningar av avbildningar är associativ, och alltså är multiplikation av permutationer en associativ kompositionsregel. Identitetsavbildningen på X (d.v.s. den avbildning ε: X X som uppfyller ε(x) = x för alla x X ) är en permutation av X. Denna är ett neutralt element med avseende på permutationsmultiplikation: σε = εσ = σ för alla σ S X. Eftersom varje permutation av X är en bijektiv avbildning, har den en invers som också är en bijektiv avbildning (d.v.s. en permutation). Vi konstaterar att S X utgör en grupp under multiplikation av permutationer. Definition (Permutationsgrupp) En grupp kallas för en permutationsgrupp, om alla dess element är permutationer av en mängd X, och om gruppens kompositionsregel är multiplikation av permutationer. 25 november (20)

10 Exempel 4 Betrakta permutationerna ρ = och σ = från ett tidigare exempel. Deras inverser ges av ρ 1 4 = respektive σ 1 = ( ) Definition (Symmetriska gruppen) Den symmetriska gruppen för n element definieras som permutationsgruppen S X i fallet då X = {1, 2,..., n}. Denna betecknas S n. Sats Ordningen av S n är n!, d.v.s. S n = n!. 25 november (20)

11 Exempel Gruppen S 3 är av ordning 3! = 6. Elementen i S 3 är ε = ρ 2 = ρ 3 = µ = µ 2 = µ = Här är ε neutralt element, ρ 2 och ρ 3 varandras inverser, medan µ 1, µ 2 och µ 3 var och en är lika med sin egen invers. 25 november (20)

12 Permutationer skrivna som produkter av cykler Definition (Cykel) Vi säger att en permutation σ S X är en cykel av längd k, om det finns k olika element a 1, a 2,..., a k X sådana att σ(a 1 ) = a 2 σ(a 2 ) = a 3 σ(a k 1 ) = a k σ(a k ) = a 1, medan σ(b) = b för övriga x X. Vi skriver detta som σ = ( a 1 a 2... a k ). En cykel av längd k kallas även för en k-cykel.. 25 november (20)

13 Exempel Permutationen σ = är en 4-cykel; vi kan skriva Permutationen ρ = ( ) σ = ( ). ( ) är dock inte en cykel, men däremot en produkt ρ = ( ) ( 1 3 ). två cykler av längd 4 respektive 2. Dessa cykler är disjunkta, d.v.s. inget element ingår i båda cyklerna. 25 november (20)

14 Sats Varje permutation i S n kan skrivas som en produkt av parvis disjunkta cykler. Exempel Nedan visas två permutationer i S 8. Skriv var och en av dessa som en produkt av disjunkta cykler = ( ) ( 2 6 ) ( 4 5 ) = november (20)

15 Jämna och udda permutationer Definition (Transposition) En cykel ( a b ) av längd 2 kallas för en transposition. Sats Varje permutation i S n, där n 2, kan skrivas som en produkt av transpositioner. Bevis. Eftersom varje permutation i S n kan skrivas som en produkt av (disjunkta) cykler, räcker det att visa att varje cykel kan skrivas som en produkt av transpositioner. Att detta är möjligt följer av ( a1 a 2... a n ) = ( a1 a n ) ( a1 a n 1 )... ( a1 a 3 ) ( a1 a 2 ). Sats Det är inte möjligt att skriva en permutation både som en produkt av ett jämnt antal transpositioner och som en produkt av ett udda antal transpositioner. 25 november (20)

16 Definition (Jämn respektive udda permutation) En permutation σ S n, där n 2, kallas jämn eller udda, beroende på om den kan skrivas som ett jämnt eller udda antal transpositioner. Exempel 4 5 Avgör om permutationerna ρ = och σ = är jämna eller udda. 5 4 Lösning. Vi skriver först var och en av permutationerna som en produkt av disjunkta cykler, och därefter varje sådan cykel som en produkt av transpositioner: 4 5 ρ = = ( ) = ( 1 2 ) ( 1 5 ) ( 1 4 ) och σ = = ( ) ( 2 4 ) = ( 1 3 ) ( 1 5 ) ( 2 4 ). 5 4 Vi ser att både ρ och σ är udda. 25 november (20)

17 Sats Låt A n vara mängden av alla jämna permutationer i S n, där n 2. Då är A n en undergrupp av ordning n!/2 i S n. Vi bevisar först att A n S n : Stabilitet Antag att ρ och σ är jämna permutationer. Då kan både ρ och σ skrivas som en produkt av ett jämnt antal transpositioner, säg 2s respektive 2t stycken. Men då kommer ρσ att kunna skrivas som en produkt av 2(s + t) transpositioner ett jämnt tal. Neutralt element Klart, ty ε = ( 1 2 ) ( 1 2 ). Invers Om σ = τ 1 τ 2... τ 2m är jämn, så är även σ 1 = τ2m 1 τ 2m τ 1 1 detta. Därmed är A n S n. 25 november (20)

18 För att visa att A n = n!/2 låter vi B n vara mängden av alla udda permutationer i S n. Då är givetvis A n B n = och A n B n = S n, så A n + B n = S n = n!. Låt τ vara en transposition och definiera en avbildning f : A n B n enligt f (σ) = τσ för varje σ A n. Då gäller att f är injektiv, ty f (σ 1 ) = f (σ 2 ) τσ 1 = τσ 2 σ 1 = σ 2, där sista implikationen följer av vänstra annulleringslagen. f är surjektiv, ty om ρ B n är udda så måste τρ A n vara jämn (eftersom τ är en transposition) och f (τρ) = τ 2 ρ = ρ, där sista likheten beror på att τ 2 = ε för alla transpositioner. Alltså är f bijektiv, och då måste A n = B n. Eftersom A n + B n = n! följer att A n = n!/2. Definition (Alternerande gruppen) Gruppen A n i satsen ovan kallas för den alternerande gruppen för n element. 25 november (20)

19 Exempel I ett tidigare exempel stiftade vi bekantskap med den symmetriska gruppen S 3, bestående av permutationerna ε = ρ 2 = ρ 3 = µ 1 = µ 2 = Vi har att A 3 = {ε, ρ 2, ρ 3 }. µ 3 = november (20)

20 Något om symmetrigrupper Låt X vara en mängd av punkter i planet eller rummet, och antag att vi känner till avståndet d(x, y) mellan varje par av punkter x, y X. En permutation σ S X kallas för en symmetri till X, om d(σ(x), σ(y)) = d(x, y) för alla x, y X. Om vi alltså kastar om punkterna i X med hjälp av σ, så kommer inga inbördes avstånd mellan olika par av punkter i X att ändras. Det visar sig att mängden D X av alla symmetrier till X bildar en undergrupp i S X, den s.k. symmetrigruppen till X. I det fall då punkterna i X utgörs av hörnen i en regelbunden n-hörning, så erhåller vi den dihedrala gruppen D n. Man kan visa att för n 3 så är D n en icke-abelsk grupp av ordning 2n. 25 november (20)