1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.

Transkript

1 Ordlista för Funktionalanalys 1 (28 augusti 2002) 1 Analysens grunder avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M i ett metriskt rum har Bolzano-Weierstrass-egenskapen om varje (oändlig) följd av punkter i M har en konvergent delföljd. För delmängder av R n är detta ekvivalent med att mängden är begränsad (B-W sats). bijektiv (bijective) En funktion f : X Y sägs vara bijektiv om den är injektiv och surjektiv. Detta är samma sak som att f har en (tvåsidig) invers f 1 : Y X. En annan benämning för samma sak är enentydig funktion. bild (image) Om f : X Y är en funktion och A en delmängd av X, så kallas mängden f(a) = {f(x) x A} Y för bilden av A under f. delföljd (subsequence) Om x = x n är en följd så erhålls en delföljd y n till x genom att en del element i x stryks, medan de andra står kvar i samma ordning. Formellt är det frågan om en sammansatt funktion. Om n : N N är en strängt växande funktion (speciellt en följd med heltalsvärden) och x : N M en följd, så är den sammansatta funktionen y = x n en delföljd till x, och varje delföljd erhålls på detta sätt. Mer konkret, om 0 n 0 < n 1 < n 2 < n 3 <... så ges delföljden y av y 0 = x n0, y 1 = x n1, y 2 = x n2, y 3 = x n3.... funktion (function) För att fullständigt specificera en funktion behövs två uppgifter; en tillordningsregel x f(x) samt en definitionsmängd (domain) D f som anger vilka x som kommer i fråga i regeln. En mer abstrakt definition av en funktion f : X Y är att f är en delmängd av X Y, sådan att varje x X förekommer i precis ett par (x, y) f. följd (sequence) En följd av element i en mängd M är detsamma som en funktion från de hela talen Z eller ett delintervall I av Z till M. Det vanligaste fallet är att I = N. Värdena av en följd x skrivs vanligen

2 1 ANALYSENS GRUNDER 2 som x n (i stället för x(n)), där n är heltal. En följd x : N M beskrivs ofta genom sina värden som x 0, x 1, x 2,..., x n,..., eller motsvarande för andra intervall. Vi använder beteckningen x n för följder. Värdena till följden, försedda med ordningsnummer, kallas ofta för följdens element. Om I är ett ändligt intervall så talar man om en ändlig följd, annars om en oändlig följd. föreningsmängd (union) Om A och B är två mängder, så kallas mängden A B = {x x A eller x B} för föreningsmängden av A och B. Om A k, k I är en familj av mängder, indicerad av I så kallas mängden = {x x tillhör A k för (minst) ett k} k I för föreningsmängden (unionen) av familjen A k. injektiv (injective) En funktion f : X Y sägs vara injektiv om inget värde antas flera gånger, dvs om f(x) = f(y) medför att x = y. invers bild (inverse image) Om f : X Y är en funktion och B en delmängd av Y, så kallas mängden för inversa bilden av B under f. f 1 (B) = {x f(x) B} X Heine-Borel-egenskapen En delmängd M till ett (metriskt) rum har Heine- Borel-egenskapen om varje övertäckning till M av öppna mängder innehåller ändligt många mängder som också övertäcker M. För delmängder av R n är detta ekvivalent med att M är sluten och begränsad (H-Bs sats). kompakt (compact) Ett (metriskt) rum sägs vara kompakt om det har Heine-Borel-egenskapen. För metriska rum är detta ekvivalent med att hela rummet har Bolzano-Weierstrass-egenskapen. mängdbyggarsymbol Om E(x) är en egenskap, som objekt x kan ha eller inte ha, så betecknas med {x E(x) är sann} mängden av x som har egenskapen E.

3 2 NORMER OCH APPROXIMATION 3 produktmängd (product set) Om X och Y är mängder, så består produktmängden X Y av av alla ordnade par, där det första elementet tillhör X och det andra Y : X Y = {(x, y) x X, y Y } snittmängd (intersection) Om A och B är två mängder, så kallas mängden A B = {x x A och x B} för snittet (eller snittmängden) av A och B. Om A k, k I är en familj av mängder, indicerad av I så kallas mängden = {x x tillhör A k för alla k i I} k I för snittet (eller snittmängden) av familjen A k. surjektiv (surjective) En funktion f : X Y sägs vara surjektiv om värdemängden för f är hela Y, dvs om för varje y Y finns minst ett x sådant att f(x) = y. uppräknelig En mängd M sägs vara uppräknelig om det finns en bijektion N M från de naturliga talen till mängden. Mer konkret, det finns en följd x k, k = 0, 1, 2,... av element i M sådan att varje element i M uppträder precis en gång i följden. värdemängd (range) Värdemängden V f av en funktion f : X Y är den delmängd till Y som består av alla värden till f: V f = {f(x) x X}. 2 Normer och approximation Banachrum (Banach space) Ett Banachrum är ett fullständigt normerat rum. Cauchyföljd (Cauchy sequence) En följd x k av element i ett metriskt rum kallas för en Cauchyföljd om till varje ɛ > 0 finns ett N så att d(x m, x n ) < ɛ om m, n N. Alternativt om d(x m, x n ) 0 då min(m, n).

4 2 NORMER OCH APPROXIMATION 4 ekvivalens av normer (equivalence of norms) Två normer N 1 och N 2 på samma vektorrum sägs vara ekvivalenta om det finns tal a, b > 0 så att a N 1(x) N 2 (x) b för alla x. fullständighet (completeness) Ett metriskt rum sägs vara fullständigt om varje Cauchyföljd är konvergent. lineärt funktionsrum (linear function space) Ett lineärt rum kallas för ett lineärt funktionsrum om dess element är (skalär- eller vektorvärda) funktioner definierade på en mängd M, och addition och multiplikation med skalär sker punktvis, dvs f +g och cf definieras genom (f +g)(x) = f(x) + g(x) och (cf)(x) = cf(x). gränsvärde av följd (limit of sequence) En (oändlig) följd x n i ett metriskt rum X sägs ha gränsvärdet x om lim n d(x n, x) = 0. (Ändliga följder anses inte ha något gränsvärde). hopningspunkt (limit point) Låt S vara en delmängd av ett metriskt rum. En punkt x sägs vara en hopningspunkt till S om det finns en följd x k av punkter, alla skilda från x, i S sådan att x k x då k. infimum (infimum) största undre begränsning (analogt med supremum = minsta övre begränsning). Betecknas med inf. inre punkt (inner point) Punkten x sägs vara en inre punkt till mängden M, om M är en omgivning till x. klot (ball) Om a är en punkt i ett metriskt rum, kallas mängden B(a, r) = {x d(x, a) r} för det slutna klotet med medelpunkt a och radie r. Det öppna klotet definieras på motsvarande sätt med sträng olikhet <. konvergens av följd (convergence of sequence) En följd x = x n av element i ett metriskt rum sägs vara konvergent om den har ett gränsvärde. konvergens av serie (convergence of series) En serie k=0 x k i ett normerat rum sägs vara konvergent med summa s om delsummorna s n = n k=0 x k har gränsvärdet s då n. metrik (metric) Låt X vara en mängd. En reellvärd funktion d : (x, y) d(x, y) på X X sägs vara en metrik på X om den uppfyller följande villkor:

5 2 NORMER OCH APPROXIMATION 5 1. (positivitet) d(x, y) 0 för alla x, y och d(x, y) = 0 då och endast då x = y. 2. (symmetri) d(x, y) = d(y, x) för alla x, y. 3. (triangelolikheten) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) för alla x, y, z X. metriskt rum (metric space) Ett metriskt rum är en mängd försedd med en metrik. norm (norm) En reellvärd funktion x N(x) på ett lineärt rum V (reellt eller komplext) kallas för en norm om den uppfyller följande tre villkor: 1. (homogenitet) N(cx) = c N(x) för alla skalärer c och alla x V. 2. (triangelolikheten) N(x + y) N(x) + N(y) för alla x, y V. 3. (strikt positiv) N(x) 0 för alla x och N(x) = 0 endast om x = 0. Normer betecknas ofta med x. normerat rum (normed space) Ett lineärt rum V försett med en norm kallas för ett normerat rum. Det förses med metriken d(x, y) = x y. omgivning (neighbourhood) Låt X vara ett metriskt rum, och M en delmängd av X. M sägs vara en omgivning till punkten x, om det finns ett ɛ > 0 sådant att varje punkt y med avstånd < ɛ till x ligger i M. randpunkt (boundary point) Punkten x sägs vara en randpunkt till mängden M, om godtyckligt nära x finns både punkter i M och punkter utanför M. rum (space) En mängd försedd med någon matematisk struktur (algebraisk, topologisk eller geometrisk) kallas ofta för ett rum. sluten mängd (closed set) En mängd är sluten om dess komplement är en öppen mängd. Alternativt: den innehåller alla sina randpunkter. slutet hölje (closure) Låt M vara en delmängd av ett metriskt rum X. Med det slutna höljet M av M menas den minsta slutna mängd i X som innehåller M. Den kan också karakteriseras som mängden av inre punkter och randpunkter till M, eller (specifikt för metriska rum) mängden av hopningspunkter till M.

6 3 FUNKTIONSRUM OCH OPERATORER 6 supremum av funktion (supremum of a function) Låt f är en reellvärd och uppåt begränsad funktion. Talet M sägs vara supremum av f på mängden X ( ) om (i) f(x) M för alla x i X och (ii) M är det minsta talet med denna egenskap: För varje tal m < M så finns ett x X sådant att f(x) > m. Det är en grundläggande egenskap hos de reella talen att supremum alltid existerar och är entydigt bestämt. För funktioner som inte är uppåt begränsade säger man ofta att supremum är +. Den vanligaste beteckningen för supremum av en funktion är sup X f(x). supremum av mängd (supremum of a set) Låt X vara en uppåt begränsad mängd av reella tal. Talet M kallas för supremum av X om varje x X är M och M är det minsta talet med denna egenskap. Den vanligaste beteckningen är sup X. täthet (density) Låt M och N vara delmängder till ett metriskt rum. Om M N så sägs M vara tät i N. Detta kan också uttryckas så att varje punkt i N är gränsvärde av en följd av punkter i M. yttre punkt (outer point) Låt M vara en delmängd av ett metriskt rum X. Punkten x sägs vara en yttre punkt till mängden M, om dess komplement i X, M, är en en omgivning till x. öppen mängd En mängd är öppen om den är en omgivning till alla sina punkter. Alternativt: den innehåller ingen av sina randpunkter. övre begränsning (upper bound) Talet M sägs vara en övre begränsning till funktionen f på mängden X om f(x) M för alla x X. 3 Funktionsrum och operatorer funktional (functional) En skalärvärd funktion på ett funktionsrum kallas ofta för en funktional. lineär integraloperator (linear integral operator) Låt I vara en mängd över vilken man kan integrera. En operator T, verkande på funktioner på I, av formen T x(t) = k(t, u)x(u)du I där k är en given funktion, kallas för en lineär integraloperator med kärna k(x, y).

7 4 KOMPAKTHET 7 kontraktion (contraction) En avbildning f (från ett metriskt rum till sig själv) kallas för en kontraktion med kontraktionskonstant r (0 r < 1) om d(f(x), f(y)) rd(x, y) för alla x, y. likformig kontinuitet (uniform continuity) En funktion f sägs vara likformigt kontinuerlig i X om till varje ɛ > 0 finns ett δ > 0 sådant att d(f(x), f(x)) < ɛ för alla x, y i X sådana att d(x, y) < δ. lineärt funktionsrum (linear function space) Ett lineärt rum där elementen är funktioner (skalär- eller vektorvärda) och där addition och multiplikation med skalär sker punktvis, dvs (f + g)(x) = f(x) + g(x), (cf)(x) = cf(x), kallas för ett lineärt funktionsrum. lipschitzavbildning (Lipschitz map) En funktion f sägs vara en Lipschitzavbildning om det finns ett tal L sådant att för alla x, y. f(x) f(y) L x y operator (operator) En funktion vars definitionsmängd och värdemängd är funktionsrum kallas ofta för en operator. Ibland är uttrycket nästan synonymt med funktion. 4 Kompakthet begränsad mängd (bounded set) En delmängd M av ett normerat rum sägs vara begränsad om den är innehållen i något klot, dvs om det finns ett R så att x R för alla x M. ekvikontinuerlig funktionsfamilj En familj F av funktioner sägs vara ekvikontinuerlig på en mängd I, om till varje ɛ > 0 finns ett δ > 0 så att d(f(x), f(y)) < ɛ för alla f F och alla x, y I sådana att d(x, y) < δ. följdkompakt mängd (sequentially compact set) En mängd M sägs vara följdkompakt om varje följd x n av element i M har en delföljd x nk som konvergerar mot ett element i M då k. För delmängder av metriska rum är detta det samma som kompakt.

8 4 KOMPAKTHET 8 kompakt mängd (compact set) En delmängd M av ett metriskt rum sägs vara kompakt om den har följande egenskap: låt O α, α A vara en övertäckning av M med öppna mängder. Då finns en ändlig del O α1,..., O αn som också är en övertäckning av M. kontinuitet (continuity) En funktion f : X Y mellan metriska rum X och Y sägs vara kontinuerlig om för varje öppen mängd O i Y den inversa bilden f 1 (O) är öppen i X. Detta villkor är ekvivalent med att f är kontinuerlig i varje punkt x i X. kontinuitet i punkt (continuity at a point) En funktion f : X Y mellan metriska rum X och Y sägs vara kontinuerlig i punkten x X om inversa bilden av varje omgivning U till f(x) är en omgivning f 1 (U) till x. I ɛ δ-språk: till varje ɛ > 0 finns ett δ > 0 sådant att d(f(x), f(y)) < ɛ för varje y sådant att d(x, y) < δ. konvex mängd (convex set) En delmängd M i ett vektorrum sägs vara konvex om den har följande egenskap: om x och y tillhör M så tillhör (1 t)x + ty för alla t med 0 t 1. likformigt begränsad funktionsfamilj (uniformly bounded family of functions) En familj F av funktioner sägs vara likformigt begränsad om det finns en konstant M sådan att sup x f(x) M för alla f M. likformig kontinuitet (uniform continuity) En funktion f : X Y mellan metriska rum X och Y sägs vara likformigt kontinuerlig om till varje ɛ > 0 finns ett δ > 0 sådant att d(f(x), f(y)) < ɛ för alla x och y sådana att d(x, y) < δ. relativt kompakt En delmängd N av ett metriskt rum M kallas för relativt kompakt om varje följd i N har en delföljd som konvergerar i M. Detta är ekvivalent med att det slutna höljdet av M kompakt. övertäckning (covering) En familj U α, α A av mängder sägs vara en övertäckning av en mängd M om M α A u α.