Oberoende stokastiska variabler
|
|
- Bernt Eriksson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen ω (ξ(ω), η(ω)). Denna funktion kallas en tvådimensionell stokastisk variabel. Beteckna dess värdemängd med Ω (ξ,η). Då gäller Ω (ξ,η) Ω ξ Ω η. Låt (x, y) Ω (ξ,η). Då är mängden {ω : ξ(ω) = x, η(ω) = y} en händelse, dvs en delmängd till Ω. Definition 6. Funktionen f : Ω ξ Ω η [, ] : P(ξ = x, η = y), (x, y) Ω (ξ,η), f(x, y) =, i övrigt benämns frekvensfunktionen för den tvådimensionella stokastiska variabeln (ξ, η). Observera att vi definierat frekvensfunktionen i hela mängden Ω ξ Ω η. (I fallet Ω (ξ,η) Ω ξ Ω η innebär denna definition att sannolikheten är noll för den händelse att (ξ, η) antar ett värde i Ω ξ Ω η Ω (ξ,η).) Det är klart att en frekvensfunktion f uppfyller (i) f(x, y) för varje (x, y) Ω ξ Ω η, (ii) x Ω ξ y Ω η f(x, y) =. Vi kan bestämma frekvensfunktionerna f(ξ) och f(η) för ξ resp. η utgående från funktionen f på följande sätt: Låt x Ω ξ. Då gäller {ξ = x} = y Ω η {ξ = x, η = y}. 53
2 Följaktligen På samma sätt ( ) f ξ (x) = P(ξ = x) = P {ξ = x, η = y} y Ω η = y Ω η P(ξ = x, η = y) = y Ω η f(x, y). f η (x) = P(η = y) = x Ω ξ f(x, y). Funktionerna f ξ och f η kallas, i detta sammanhang, de marginala frekvensfunktionerna för variabeln (ξ, η). Omvändningen till det ovan sagda behöver ej gälla, dvs om vi känner till funktionerna f ξ och f η, så kan vi inte i allmänhet konstruera funktionen f. Vi har ändå följande viktiga specialfall Definition 6. Två stokastiska variabler ξ och η säges vara oberoende om f(x, y) = f ξ (x)f η (y), för varje (x, y) Ω ξ Ω η, där f, f ξ och f η är frekvensfunktionerna för (ξ, η), ξ resp. η. Vi har Sats 6.3 Låt ξ och η vara oberoende samt A och B delmängder till Ω ξ resp. Ω η. Då är händelserna {ξ A} och {η B} oberoende. Bevis Betrakta P ( {ξ A} {η B} ) = P ( (ξ, η) A B ) = f(x, y) = (x,y) A B f(x, y) = x A y B = f ξ (x) f η (y) = P(ξ A) P(η B). x A y B 5
3 Anmärkning 6. Allt ovanstående kan lätt generaliseras till det n-dimensionella fallet. T.ex. är ξ,..., ξ n oberoende, om f(x, x,..., x n ) = f ξ (x ) f ξ (x )...f ξn (x n ), där (x, x,..., x n ) Xi= n Ω ξ i samt f och f ξi (i =,,..., n) är frekvensfunktionerna för (ξ, ξ,..., ξ n ) resp. ξ i (i =,,..., n). Exempel 6.5 Betrakta en urna som innehåller fyra kulor numrerade,,3,. Vi drar två kulor ur urnan utan återläggning. Låt ξ vara siffran på den första dragna kulan och η siffran på den andra dragna kulan. Vi har Ω ξ = {,, 3, } och Ω η = {,, 3, }. Vidare η : y ξ : x 3 3 f ξ 3 f η Således är ξ och η beroende, ty t.ex. f(, ) = = f ξ()f η (). Antag nu att vi drar de två kulorna med återläggning. Då gäller Således är ξ och η oberoende. η : y ξ : x f η 3 f ξ Vi skall nu betrakta tvådimensionella stokastiska variabler som har en täthet. Låt ξ och η vara stokastiska variabler med värdemängderna Ω ξ = (a, b ) resp. Ω η = (a, b ). Den tvådimensionella variabeln (ξ, η) har då en värdemängd Ω (ξ,η) som är en delmängd till Ω ξ Ω η. 55
4 Antag att det existerar en funktion f sådan att P ( (ξ, η) A ) = A f(x, y)dxdy, där A är en mängd i Ω ξ Ω η som är en union av ett ändligt (eller högst numrerbart) antal rektanglar R i ur Ω ξ Ω η, dvs A = n i= R i (eller A = i= R i). Funktionen f kallas frekvensfunktionen för (ξ, η) och den uppfyller (i) f(x, y) för (x, y) Ω ξ Ω η (ii) Ω ξ Ω η f(x, y)dxdy = b a b a f(x, y)dxdy =. Exempel 6.6 Låt Ω ξ = Ω η = [, ). A = i= R i Ω η R 5 R R n R R R 3 R 6 Ω ξ Utgående från frekvensfunktionen för (ξ, η) kan vi bestämma frekvensfunktionerna för ξ och η. Vi har f ξ (x) = f η (y) = b a b a f(x, y)dy, f(x, y)dx. 56
5 Definition 6.7 Två stokastiska variabler ξ och η säges vara oberoende om f(x, y) = f ξ (x) f η (y), för varje (x, y) Ω ξ Ω η. Anmärkning 6.8 Se Anmärkning 6.. Exempel 6.9 Låt (ξ, η) ha frekvensfunktionen Vi bestämmer konstanten c: f(x, y) = c e αx βy, x, y, α >, β >. Vidare c f(x, y) dxdy = e αx dx e βy dy = f ξ (x) = αβ f η (y) = αβ c αβ c e αx βy dxdy = = c = αβ e αx βy dy = αe αx, e αx βy dx = βe αy. Följaktligen f(x, y) = f ξ (x) f η (y) och variablerna ξ och η är således oberoende. Nedan ges ett antal satser om tvådimensionella stokastiska variabler. Sats 6. Låt ξ och η vara oberoende stokastiska variabler samt g och h reellvärda funktioner med Ω ξ resp. Ω η som definitionsmängder. a) Om Ω är ändligt (eller högst numrerbart), så är även variablerna g(ξ) och h(η) oberoende. b) Om ξ och η har tätheter samt g och h är kontinuerliga, så är även variablerna g(ξ) och h(η) oberoende. Sats 6. Låt (ξ, η) vara en tvådimensionell stokastisk variabel med frekvensfunktionen f. Om väntevärdet för den sammansatta stokastiska variabeln ϕ(ξ, η) existerar, så gäller E ( ϕ(ξ, η) ) = x Ω ξ Ω ξ y Ω η ϕ(x, y) f(x, y) Ω η (x, y) f(x, y) dxdy. I det fall då Ω är högst numrerbart kan denna sats bevisas på samma sätt som Sats.. 57
6 Sats 6. a) E(ξ + η) = E(ξ) + E(η). b) Om ξ och η är oberoende, så är E(ξη) = E(ξ) E(η). Bevis a) Betrakta det fall då Ω är högst numrerbart. Det andra fallet bevisas analogt. E(ξ + η) = (x + y) f(x, y) x Ω ξ y Ω η = xf(x, y) + yf(x, y) x Ω ξ y Ω η x Ω ξ y Ω η = x f(x, y) + y f(x, y) x Ω ξ y Ω η y Ω η x Ω ξ = xf ξ (x, y) + yf η (x, y) = E(ξ) + E(η) x Ω ξ y Ω η b) Betrakta det fall då (ξ, η) har tätheten f. Det andra fallet bevisas analogt. Sätt Ω ξ = (a, b ) och Ω η = (a, b ). E(ξη) = = b b a b a a xf ξ (x) dx = E(ξ) E(η). xy f(x, y) dxdy b a yf η (y) dy (ty ξ och η är oberoende) Sats 6.3 V(ξ + η) = V(ξ) + V(η) + Kov(ξ, η), där Kov(ξ, η) = E{ ( ξ E(ξ) )( η E(η) ) }. Bevis V(ξ + η) = E{ ( ξ + η ( E(ξ) + E(η) )) } = E{ ( ξ E(ξ) + η E(η) ) } = E{ ( ξ E(ξ) ) } + E{ ( η E(η) ) } + E{ ( ξ E(ξ) )( η E(η) ) } = V(ξ) + V(η) + Kov(ξ, η). 58
7 Sats 6. Om ξ och η är oberoende så är V(ξ + η) = V(ξ) + V(η). Bevis Betrakta Kov(ξ, η) = E{ ( ξ E(ξ) )( η E(η) ) } = E(ξη) = E(ξ) E(η) = enligt Sats 6. b). Påståendet följer nu ur Sats 6.3. Anmärkning 6.5 Dessa satser kan lätt generaliseras till det n-dimensionella fallet. Låt t.ex. ξ, ξ,..., ξ n vara n stycken stokastiska variabler. Då gäller Om ξ,..., ξ n är oberoende, så är E(ξ ξ n ) = E(ξ ) E(ξ n ) n n n V(ξ ξ n ) = V(ξ i ) + Kov(ξ i, ξ j ). i= i= j= i j E(ξ... ξ n ) = E(ξ )E(ξ )... E(ξ n ) V(ξ ξ n ) = V(ξ ) V(ξ n ). Exempel 6.6 Låt ξ och η vara oberoende med väntevärdena E(ξ) och E(η) samt varianserna V(ξ) och V(η). Bilda ζ = ξ η. Vi har E(ζ) = E(ξ η) = E(ξ) E(η), V(ζ) = V(ξ η) = V(ξ) + V( η) ty enligt Sats 6. är även ξ och η oberoende. Följaktligen V(ζ) = V(ξ) + ( ) V(η) = V(ξ) + V(η). Exempel 6.7 Vid kast med två symmetriska tärningar betraktas tärningarnas värden som stokastiska variabler. Vi har E(ξ, ξ ) = x Ω ξ = = xy f(x, y) x Ω η 6 6 ( i j ty f(x, y) = ) i= j= 6 i i= =, 5 6 j= j =
8 Å andra sidan är ξ och ξ oberoende och således E(ξ, ξ ) = E(ξ )E(ξ ) = =, 5, (Se Exempel.9). Vidare V(ξ, ξ ) = E ( (ξ, ξ ) ) ( E(ξ, ξ ) ) = E(ξ ) E(ξ ) ( E(ξ ) ) ( E(ξ ) ). Enligt Exempel.5 Följaktligen V(ξ ) = 6 = 35, E(ξ ) = E(ξ ) = V(ξ ) + ( E(ξ ) ) = 35 + = 8 V(ξ, ξ ) = 8 8 Betrakta nu variabeln η = ξ ξ. Då är ( 7 ) ( ) 7 8. ( ) 7 ( ) E(η) = E(ξ ) E ξ ty ξ och ξ är oberoende, ( ) E ξ = 6 i= i 6 = 7 E(η) = 3, 5, 83, 9, 83 Det är klart att ζ = ξ ξ och η = ξ ξ inte är oberoende. Vi har E(ζη) = E(ξ ) = 8 E(ζ) E(η) 7, 5. 5, 7, 6
9 Exempel 6.8 Vi bestämmer kovariansen för variablerna ξ och η i Exempel 6.5 då dragningen sker utan återläggning. Kov(ξ, η) = E ( (ξ E(ξ))(η E(η)) ) = E(ξη) E(ξ) E(η). E(ξ) = 5, E(η) = 5 E(ξ η ) = xy f(x, y) = y Ω η x Ω ξ = Kov(ξ, η) = 7 5 = 5. i i= j j= i j ( ( ) + ( ) + 3 ( + + ) + ( + + 3) ) = 7 Tjebysjevs olikhet och de stora talens lag Sats 6.9 (Tjebysjevs olikhet) Låt ξ vara en stokastisk variabel med väntevärde µ och varians σ. Då gäller för varje t > att P( ξ µ tσ) t. Bevis Vi bevisar satsen i det fall då ξ har en täthet f. Låt Ω ξ = (a, b) och betrakta σ = = b a (x µ) f(x) dx (x µ) f(x) dx, ty vi kan sätta f(x) för x < a och x > b. Låt t >. Då gäller σ = = µ tσ µ tσ (x µ) f(x) dx (x µ) f(x) dx + (x µ) f(x) dx + µ+tσ µ tσ µ+tσ (x µ) f(x) dx + (x µ) f(x) dx µ+tσ (x µ) f(x) dx, 6
10 ty µ+tσ µ tσ (x µ) f(x) dx >. Men µ tσ µ+tσ (x µ) f(x) dx (x µ) f(x) dx µ tσ (µ tσ µ) f(x) dx µ tσ = t σ f(x) dx, µ+tσ = t σ (µ + tσ µ) f(x) dx µ+tσ f(x) dx. Följaktligen ( µ tσ ) σ t σ f(x) dx + f(x) dx µ+tσ σ t σ ( P(ξ µ tσ) + P(ξ µ + tσ) ) σ t σ P( ξ µ tσ) P( ξ µ tσ) t. Observera att olikheten gäller för varje sannolikhetsfördelning, och är således vanligtvis mycket grov. (T.ex. då t = säger satsen endast att P( ξ µ σ) vilket är en trivialitet.) Sats 6. (De stora talens lag) Låt ξ, ξ,... vara oberoende stokastiska variabler med samma sannolikhetsfördelning (dvs de är identiskt fördelade) med väntevärdet µ och variansen σ. Låt ξ n = n n i= ξ i vara medelvärdet av de stokastiska variablerna. Då gäller för varje ε > att lim P( ξ n µ > ε) =. n Bevis Vi har E( ξ n ) = n n i= E(ξ i) = µ och V( ξ n ) = n n i= V(ξ i) = σ n, ty variablerna antas vara oberoende. Enligt Sats 6.9 gäller för varje t > att ( σ ) P ξ n µ > t n t. 6
11 σ Välj t så att t n = ε, dvs t = ε n. Följaktligen gäller för varje n σ P( ξ n µ ε) σ ε n. Men den högra sidan av denna olikhet går mot noll då n, dvs lim P( ξ σ n µ ε) lim n n ε n =. Exempel 6. Låt ξ, ξ,... vara oberoende och binomialfördelade med parametrarna n och p. Bestäm ett värde på m, så att sannolikheten att ξ m = m m i= ξ i avviker från np med mer än, är mindre än,5. Vi har E( ξ m ) = m m E(ξ i ) = np i= V( ξ m ) = m m V(ξ i ) = i= np( p) m. För varje t > gäller då ( P ξ m np > t ) np( p) m t. Välj t så att t =, 5, dvs t = 5 = 5. Då gäller P ( ξ m np 5 ) np( p) m, 5. Välj nu m så stort att np( p) 5 =, m np( p) = m m = np( p). T.ex. om n = och p = fås att m = 5. 63
12 Övningsuppgifter. Den tvådimensionella variabeln (ξ, η) har frekvensfunktionen f(x, y) = c(x+y), (x, y) {, } {, }. Bestäm konstanten c samt de endimensionella frekvensfunktionerna f ξ och f η. Är variablerna ξ och η oberoende?. Den tvådimensionella stokastiska variabeln (ξ, η) har följande fördelning y : 5 6 x: 3 Bestäm frekvensfunktionerna f ξ (x) och f η (y) för de endimensionella variablerna. Är ξ och η oberoende? Bestäm vidare frekvensfunktionerna för variablerna ζ = ξ η och ζ = ξ. 3. De stokastiska variablerna ξ och ξ har samma väntevärden och samma varianser. Variablerna är oberoende. Den stokastiska variabeln η = ξ + ξ har väntevärdet lika 3 med 6 och variansen. Bestäm E(ξ ) och V(ξ ).. ξ är en tvåpunktsfördelad variabel, som antar värdet med sannolikheten a och värdet med sannolikheten a. a) Bestäm E(ξ) och V(ξ). b) Gör två oberoende observationer på ξ och bestäm väntevärdet och variansen för dessa observationers summa. 5. För variablerna ξ och η gäller följande E(ξ) =, V(ξ) =, Kov(ξ, η) =, 3. E(η) =, V(η) =, 9 Sök väntevärdet för variabeln ζ = ξ + η ξη! 6. Ett försäkringsbolag tillämpar ett bonussystem med 3 klasser med nedan angiven rabatt på grundpremien: bonusklass 3 bonus (rabatt) % 35 % 7 % Första året betalar en ny försäkringstagare full premie ( mk). Ett skadefritt år medför för nästa år en uppflyttning till närmast högre bonusklass, dock högst till bonusklass 3. Ett icke skadefritt år medför att nästa års premie betalas enligt närmast 3 6
13 lägre bonusklass, dock lägst klass. Bestäm för en ny försäkringstagare väntevärdet för den sammanlagda premien under de första tre åren. De tre årens premier grundar sig på förhållandena under de två första åren, eftersom första årspremien är given. Vår försäkringstagare har sannolikheten 5 6 att köra skadefritt under ett år och vi förutsätter oberoende mellan åren. 7. En urna innehåller fem kulor markerade,, 3, och 5. Man tar med återläggning på måfå två kulor ur urnan. Låt ξ och η vara de därvid erhållna poängtalen för första resp. andra kulan. Definiera nya stokastiska variabler enligt ξ = ξ + η och ξ = max(ξ, η). Bestäm frekvensfunktionerna för ξ, ξ och (ξ, ξ ). Är variablerna oberoende? 8. Låt ξ och η vara två stokastiska variabler. Talet ρ = Kov(ξ,η) kallas korrelationsko- V(ξ)E(η) efficienten mellan variablerna ξ och η. Bestäm korrelationskoefficienten mellan ξ och ξ, där ξ betecknar utfallet vid kast med en symmetrisk tärning. 9. En stokastisk variabel ξ har frekvensfunktionen cx 3, för x, f(x) =, för övriga x. Bestäm konstanten c! Vad är sannolikheten att av två slumpmässiga oberoende observationer av variabeln båda är större än,5?. Den kontinuerliga stokastiska variabeln ξ är likformigt fördelad i intervallet (a, b) och har variansen 3 6. Bestäm variationsvidden för ξ, dvs beräkna avståndet mellan a och b.. Beräkna väntevärdet och variansen för summan av tio oberoende stokastiska variabler, som alla är likformigt fördelade i intervallet (, 3).. Bestäm k så att funktionen f(x, y) = k xy( y), (x, y) (, ) (, ) blir en frekvensfunktion för en tvådimensionell stokastisk variabel (ξ, η). Visa att variablerna ξ och η är oberoende. Beräkna sannolikheterna P(ξ > η) och P(η < ξ ). 3. En tvådimensionell stokastisk variabel (ξ, η) har frekvensfunktionen f(x, y) = x y, (x, y) (, ) (, ). Bestäm frekvensfunktionerna för ξ och η. Sätt ζ = ξη. Bestäm E(ζ)! 65
14 . Man väljer på måfå två punkter på en cirkels periferi. Vad är sannolikheten att deras avstånd är större än cirkelns radie? (Ledning: Välj först en punkt. Fördela sedan sannolikhetsmassan likformigt över cirkelns periferi.) 5. Låt ξ, ξ,... vara oberoende och a) Poissonfördelade b) exponentialfördelade. Bestäm med hjälp av Tjebysjevs olikhet ett tal n så att sannolikheten att ξ n = n n i= ξ i avviker från E( ξ n ) med mer än, är mindre än,5. 6. Låt ξ vara en normalfördelad stokastisk variabel med parametrarna µ och σ. Uppskatta med Tjebysjevs olikhet sannolikheten att ξ avviker från µ med mer än, 96 σ. Vad är den exakta sannolikheten? 66
4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merKap 3: Diskreta fördelningar
Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärd funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 31.01.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 31.01.2012 1 / 30 Flerdimensionella
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs merTentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2
Tentamen den april 7 i Statistik och sannolikhetslära för BI Uppgift : Låt händelserna A, B, C och D vara händelser i samband med ett försök. a) Anta att P(A)., P(A B)., P(A B).6. Beräkna sannolikheten
Läs merStokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen
Stokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen Denna föreläsning kommer mest att vara en repetition av stoff från grundkursen. Längden på detta dokument kan tyckas vara oproportionerligt
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merTentamen LMA 200 Matematisk statistik,
Tentamen LMA Matematisk statistik, Tentamen består av åtta uppgifter motsvarande totalt poäng. Det krävs minst poäng för betyg, minst poäng för 4 och minst 4 poäng för. Examinator: Ulla Blomqvist, ankn
Läs merTentamen LMA 200 Matematisk statistik,
Tentamen LMA 00 Matematisk statistik, 0 Tentamen består av åtta uppgifter motsvarande totalt 50 poäng. Det krävs minst 0 poäng för betyg, minst 0 poäng för 4 och minst 40 för 5. Examinator: Ulla Blomqvist,
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merVäntevärde och varians
TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som
Läs merMatematisk statistik, LMA 200, för DAI och EI den 25 aug 2011
Matematisk statistik, LMA, för DAI och EI den 5 aug Tentamen består av åtta uppgifter om totalt 5 poäng. Det krävs minst poäng för betyg, minst poäng för och minst för 5. Examinator: Ulla Blomqvist Hjälpmedel:
Läs merVeckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U.
Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U. Poissonfördelningen: ξ är Po(λ) λ = genomsnittligt antal händelser i ett intervall. Sannolikhet: P(ξ = ) = e λ λ! Väntevärde: E(ξ) = λ Varians:
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, De stora talens lag Jan Grandell & Timo Koski 04.02.2016 Jan Grandell & Timo
Läs merSannolikhetsbegreppet
Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34
Läs merJörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 8 Binomial-, hypergeometrisk- och Poissonfördelning Exakta egenskaper Approximativa egenskaper Jörgen Säve-Söderbergh Binomialfördelningen
Läs mer1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning
Föreläsning III. Diskret (Sannolikhets-)fördelning Med diskret menas i matematik, att något antar ett ändligt antal värden eller uppräkneligt oändligt med värden e.vis {, 2, 3,...}. Med fördelning menas
Läs merKompendium om flerdimensionella fördelningar för kursen S0008M Sannolikhetslära och statistik
Adam Jonsson och Jesper Martinsson Kompendium om flerdimensionella fördelningar för kursen S0008M Sannolikhetslära och statistik TVM-Matematik, Luleå Tekniska Universitet 8 mars 2016 Kompendiet avser
Läs merVeckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.
Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna
Läs mer6. Flerdimensionella stokastiska variabler
6 Flerdimensionella stokastiska variabler 61 Simultana fördelningar Den simultana fördelningsfunktionen av X och Y, vilka som helst två stokastiska variabler, definieras F(a,b) = F X,Y (a,b) = P(X a,y
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
max/min Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 5 Johan Lindström 25 september 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 1/25 max/min Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merStokastiska signaler. Mediesignaler
Stokastiska signaler Mediesignaler Stokastiska variabler En slumpvariabel är en funktion eller en regel som tilldelar ett nummer till varje resultatet av ett experiment Symbol som representerar resultatet
Läs merStat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT
Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT Jointly distributed Joint probability function Marginal probability function Conditional probability function Independence
Läs merStokastiska Processer
Kapitel 3 Stokastiska Processer Karakteristisk funktion: Den karakteristiska funktionen φ ξ : R n C för en R n -värd s.v. definieras för t R n. φ ξ (t) = E{e iπ(t ξ +...+t nξ n) } = E{e iπtt ξ } Den karakteristiska
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 06 FACIT: Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 07-0-04 kl..0-.0 Examinator
Läs merUppgift 2) Datum: 23 okt TENTAMEN I MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, kurskod 6H3000
Datum: okt TENTAMEN I MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, kurskod 6H Moment: TEN ( Matematisk Statistik ) Lärare: Armin Halilovic Skrivtid: 8:5-:5 Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merStokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Läs mer1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning
Föreläsning III. Diskret (Sannolikhets-fördelning Med diskret menas i matematik, att något antar ett ändligt antal värden eller uppräkneligt oändligt med värden e.vis {, 2, 3,...}. Med fördelning menas
Läs merExempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor
Kontinuerliga stokastiska variabler Exempel En stokastisk variabel är kontinuerlig om den kan anta vilka värden som helst i ett intervall, men sannolikheten för varje enskilt utfall är noll: P(X = x) =.
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer Anna Lindgren 27+28 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 1/21 sum/max/min V.v./var Summa av
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler Jörgen Säve-Söderbergh Stokastisk variabel Singla en slant två gånger. Ω = {Kr Kr, Kr Kl, Kl Kr, Kl Kl}
Läs merTentamen LMA 200 Matematisk statistik, data/elektro
Tentamen LMA 00 Matematisk statistik, data/elektro 039 Tentamen består av åtta uppgiter motsvarande totalt 50 poäng. Det krävs minst 0 poäng ör betyg 3, minst 30 poäng ör 4 och minst 40 ör 5. Examinator:
Läs merKap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen
Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag Jörgen Säve-Söderbergh Väntevärde för en funktion av en stokastisk variabel Om
Läs merFöreläsning 6, Matematisk statistik Π + E
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.
Läs merTMS136. Föreläsning 5
TMS136 Föreläsning 5 Två eller flera stokastiska variabler I många situationer är det av intresse att betrakta fler än en s.v. åt gången Speciellt gör man det i statistik där man nästan alltid jobbar med
Läs merFöreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler
Föreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler Marina Axelson-Fisk 20 april, 2016 Idag: Diskreta stokastiska (random) variabler Frekvensfunktion och fördelningsfunktion Väntevärde Varians Några
Läs merKovarians och kriging
Kovarians och kriging Bengt Ringnér November 2, 2007 Inledning Detta är föreläsningsmanus på lantmätarprogrammet vid LTH. 2 Kovarianser Sedan tidigare har vi, för oberoende X och Y, att VX + Y ) = VX)
Läs merNågra extra övningsuppgifter i Statistisk teori
Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,
Läs merBetingad sannolikhet och oberoende händelser
Kapitel 5 Betingad sannolikhet och oberoende händelser Betrakta ett försök med ett ändligt utfallsrum Ω och en händelse A vid detta försök. Definitionsmässigt gäller att A Ω och försökets utfall ligger
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 6 Johan Lindström oktober 8 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Summa
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merStokastiska variabler
Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs mer1 Föreläsning IV; Stokastisk variabel
1 FÖRELÄSNING IV; STOKASTISK VARIABEL 1 Föreläsning IV; Stoastis variabel Vi har tidigare srivit P (1, 2, 3, 4, 5) = P (C) för sannoliheten för att få 1, 2, 3, 4 eller 5 vid ett tärningsast. Vi sall använda
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 7 / TEN 8 maj 18, klockan 8.-1. Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 79-687 Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk statistik
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 6 MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. Tatjana Pavlenko 12 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merTentamen i matematisk statistik för BI2 den 16 januari 2009
Tentamen i matematisk statistik för BI den 6 januari 9 Uppgift : Ett graviditetstest att använda i hemmet är inte helt tillförlitligt. Ett speciellt test visar positivt resultat för kvinnor, som inte är
Läs merTentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.
Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tid: Måndagen den 2015-06-01, 8.30-12.30. Examinator och Jour: Olle Nerman, tel. 7723565, rum 3056, MV, Chalmers. Hjälpmedel: Valfri
Läs merTAMS79: Föreläsning 4 Flerdimensionella stokastiska variabler
TAMS79: Föreläsning 4 Flerdimensionella stokastiska variabler Johan Thim (johan.thim@liu.se) 1 november 18 Vi fokuserar på två-dimensionella variabler. Det är steget från en dimension till två som är det
Läs merTENTAMEN MÅNDAGEN DEN 22 OKTOBER 2012 KL a) Bestäm P(ingen av händelserna inträffar). b) Bestäm P(exakt två av händelserna inträffar).
Tekniska högskolan i Linköping Matematiska institutionen Matematisk statistik,jan Olheim MATEMATIK:Statistik 9MA31 STN, 9MA37 STN TENTAMEN MÅNDAGEN DEN OKTOBER 01 KL 14.00-18.00. Hjälpmedel:Formler och
Läs merTentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Poäng totalt för del 1: 25 (12 uppgifter) Tentamensdatum 2012-12-19 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson
Läs merTMS136. Föreläsning 5
TMS136 Föreläsning 5 Två eller flera stokastiska variabler I många situationer är det av intresse att betrakta fler än en s.v. åt gången Speciellt gör man det i statistik där man nästan alltid jobbar med
Läs merMatematisk statistik TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS63 Tentamen 8-8- Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof Elias,
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA STATISTIK VARIABLER. Tatjana Pavlenko. 8 september 2017
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 5 FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 8 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av de viktiga begreppen diskret/kontinuerlig
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 79 / TEN 1 augusti 14, klockan 8.00-12.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 28-1474) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs mer2 x dx = [ x ] 1 = 1 ( 1 (1 0.9) ) 100 = /
Föreläsning 5: Matstat AK för I, HT-8 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR I HT-8 FÖRELÄSNING 5: KAPITEL 4.6 7: SUMMOR, MAXIMA OCH ANDRA FUNKTIONER AV S.V. KAPITEL 5. : VÄNTEVÄRDEN, LÄGES- OCH SPRIDNINGSMÅTT EXEMPEL
Läs merKonvergens och Kontinuitet
Kapitel 7 Konvergens och Kontinuitet Gränsvärdesbegreppet är väldigt centralt inom matematik. Som du förhoppningsvis kommer ihåg från matematisk analys så definieras tex derivatan av en funktion f : R
Läs merVåra vanligaste fördelningar
Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver
Läs merFöreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden
Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik Π + E
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 25 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 1/16 Repetition Summor max/min
Läs merLösningsförslag till Tillämpad matematisk statistik LMA521, Tentamen
Lösningsförslag till Tillämpad matematisk statistik LMA21, Tentamen 201801 Betygsgränser: för betyg krävs minst 20 poäng, för betyg 4 krävs minst 0 poäng, för betyg krävs minst 40 poäng. 1. Vid en kvalitetskontroll
Läs merUppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer
Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F5: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 15 / TEN 1
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 5 / TEN januari 08, klockan 4.00-8.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 0709-6087) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merFöreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2
Föreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2 Kasper K. S. Andersen 4 oktober 208 Jämförelse av två väntevärden Ofte vil man jämföra två eller fler) produkter, behandlingar, processer etc. med varandra.
Läs merTentamen i Dataanalys och statistik för I den 28 okt 2015
Tentamen i Dataanalys och statistik för I den 8 okt Tentamen består av åtta uppgifter om totalt poäng. Det krävs minst poäng för betyg, minst poäng för och minst för. Eaminator: Ulla lomqvist Hjälpmedel:
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 23 mars, 2018 PLAN FÖR DAGENSFÖRELÄSNING Repetition av betingade sannolikheter, användbara satser
Läs merDemonstration av laboration 2, SF1901
KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs mer1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,
1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori, LMA201, LMA521 1.1 Mängd (Kapitel 1) En (oordnad) mängd A är en uppsättning av element. En sådan mängd kan innehålla ändligt eller oändlligt
Läs merÖvningstentamen 3. Uppgift 5: Anta att ξ är en kontinuerlig stokastisk variabel med följande frekvensfunktion: f(x) = 0
Övningstentamen Uppgift 1: Bill och Georg har gått till puben tillsammans. De beslutar sig för att spela dart (vilket betyder kasta pil mot en tavla). Sedan gammalt vet de att Bill träffar tavlan med sannolikheten.7
Läs merTentamen MVE302 Sannolikhet och statistik
Tentamen MVE32 Sannolikhet och statistik 219-6-5 kl. 8:3-12:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Oskar Allerbo, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merKapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,
Läs merLärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015
Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Johan Jonasson Februari 2016 Följande begrepp och metoder ska behärskas väl, kunna förklaras och tillämpas. Direkta bevis av satser från kursen kommer inte på
Läs merÖvningstentamen 2 Uppgift 1: Uppgift 2: Uppgift 3: Uppgift 4: Uppgift 5: Uppgift 6: i ord
Övningstentamen Uppgift : I en kvalitetskontroll är det fyra olika fel A, B, C och D som kan förekomma oberoende av varandra där P(A) 0.03, P(B) 0.05, P(C) 0.07 och P(D) 0.. a. Beräkna sannolikheten att
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 augusti 218, klockan 8.-12. Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merFöreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer
Föreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer Stas Volkov 2017-09-26 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z = X + Y p Z (k)
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs mer