Oberoende stokastiska variabler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Oberoende stokastiska variabler"

Transkript

1 Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen ω (ξ(ω), η(ω)). Denna funktion kallas en tvådimensionell stokastisk variabel. Beteckna dess värdemängd med Ω (ξ,η). Då gäller Ω (ξ,η) Ω ξ Ω η. Låt (x, y) Ω (ξ,η). Då är mängden {ω : ξ(ω) = x, η(ω) = y} en händelse, dvs en delmängd till Ω. Definition 6. Funktionen f : Ω ξ Ω η [, ] : P(ξ = x, η = y), (x, y) Ω (ξ,η), f(x, y) =, i övrigt benämns frekvensfunktionen för den tvådimensionella stokastiska variabeln (ξ, η). Observera att vi definierat frekvensfunktionen i hela mängden Ω ξ Ω η. (I fallet Ω (ξ,η) Ω ξ Ω η innebär denna definition att sannolikheten är noll för den händelse att (ξ, η) antar ett värde i Ω ξ Ω η Ω (ξ,η).) Det är klart att en frekvensfunktion f uppfyller (i) f(x, y) för varje (x, y) Ω ξ Ω η, (ii) x Ω ξ y Ω η f(x, y) =. Vi kan bestämma frekvensfunktionerna f(ξ) och f(η) för ξ resp. η utgående från funktionen f på följande sätt: Låt x Ω ξ. Då gäller {ξ = x} = y Ω η {ξ = x, η = y}. 53

2 Följaktligen På samma sätt ( ) f ξ (x) = P(ξ = x) = P {ξ = x, η = y} y Ω η = y Ω η P(ξ = x, η = y) = y Ω η f(x, y). f η (x) = P(η = y) = x Ω ξ f(x, y). Funktionerna f ξ och f η kallas, i detta sammanhang, de marginala frekvensfunktionerna för variabeln (ξ, η). Omvändningen till det ovan sagda behöver ej gälla, dvs om vi känner till funktionerna f ξ och f η, så kan vi inte i allmänhet konstruera funktionen f. Vi har ändå följande viktiga specialfall Definition 6. Två stokastiska variabler ξ och η säges vara oberoende om f(x, y) = f ξ (x)f η (y), för varje (x, y) Ω ξ Ω η, där f, f ξ och f η är frekvensfunktionerna för (ξ, η), ξ resp. η. Vi har Sats 6.3 Låt ξ och η vara oberoende samt A och B delmängder till Ω ξ resp. Ω η. Då är händelserna {ξ A} och {η B} oberoende. Bevis Betrakta P ( {ξ A} {η B} ) = P ( (ξ, η) A B ) = f(x, y) = (x,y) A B f(x, y) = x A y B = f ξ (x) f η (y) = P(ξ A) P(η B). x A y B 5

3 Anmärkning 6. Allt ovanstående kan lätt generaliseras till det n-dimensionella fallet. T.ex. är ξ,..., ξ n oberoende, om f(x, x,..., x n ) = f ξ (x ) f ξ (x )...f ξn (x n ), där (x, x,..., x n ) Xi= n Ω ξ i samt f och f ξi (i =,,..., n) är frekvensfunktionerna för (ξ, ξ,..., ξ n ) resp. ξ i (i =,,..., n). Exempel 6.5 Betrakta en urna som innehåller fyra kulor numrerade,,3,. Vi drar två kulor ur urnan utan återläggning. Låt ξ vara siffran på den första dragna kulan och η siffran på den andra dragna kulan. Vi har Ω ξ = {,, 3, } och Ω η = {,, 3, }. Vidare η : y ξ : x 3 3 f ξ 3 f η Således är ξ och η beroende, ty t.ex. f(, ) = = f ξ()f η (). Antag nu att vi drar de två kulorna med återläggning. Då gäller Således är ξ och η oberoende. η : y ξ : x f η 3 f ξ Vi skall nu betrakta tvådimensionella stokastiska variabler som har en täthet. Låt ξ och η vara stokastiska variabler med värdemängderna Ω ξ = (a, b ) resp. Ω η = (a, b ). Den tvådimensionella variabeln (ξ, η) har då en värdemängd Ω (ξ,η) som är en delmängd till Ω ξ Ω η. 55

4 Antag att det existerar en funktion f sådan att P ( (ξ, η) A ) = A f(x, y)dxdy, där A är en mängd i Ω ξ Ω η som är en union av ett ändligt (eller högst numrerbart) antal rektanglar R i ur Ω ξ Ω η, dvs A = n i= R i (eller A = i= R i). Funktionen f kallas frekvensfunktionen för (ξ, η) och den uppfyller (i) f(x, y) för (x, y) Ω ξ Ω η (ii) Ω ξ Ω η f(x, y)dxdy = b a b a f(x, y)dxdy =. Exempel 6.6 Låt Ω ξ = Ω η = [, ). A = i= R i Ω η R 5 R R n R R R 3 R 6 Ω ξ Utgående från frekvensfunktionen för (ξ, η) kan vi bestämma frekvensfunktionerna för ξ och η. Vi har f ξ (x) = f η (y) = b a b a f(x, y)dy, f(x, y)dx. 56

5 Definition 6.7 Två stokastiska variabler ξ och η säges vara oberoende om f(x, y) = f ξ (x) f η (y), för varje (x, y) Ω ξ Ω η. Anmärkning 6.8 Se Anmärkning 6.. Exempel 6.9 Låt (ξ, η) ha frekvensfunktionen Vi bestämmer konstanten c: f(x, y) = c e αx βy, x, y, α >, β >. Vidare c f(x, y) dxdy = e αx dx e βy dy = f ξ (x) = αβ f η (y) = αβ c αβ c e αx βy dxdy = = c = αβ e αx βy dy = αe αx, e αx βy dx = βe αy. Följaktligen f(x, y) = f ξ (x) f η (y) och variablerna ξ och η är således oberoende. Nedan ges ett antal satser om tvådimensionella stokastiska variabler. Sats 6. Låt ξ och η vara oberoende stokastiska variabler samt g och h reellvärda funktioner med Ω ξ resp. Ω η som definitionsmängder. a) Om Ω är ändligt (eller högst numrerbart), så är även variablerna g(ξ) och h(η) oberoende. b) Om ξ och η har tätheter samt g och h är kontinuerliga, så är även variablerna g(ξ) och h(η) oberoende. Sats 6. Låt (ξ, η) vara en tvådimensionell stokastisk variabel med frekvensfunktionen f. Om väntevärdet för den sammansatta stokastiska variabeln ϕ(ξ, η) existerar, så gäller E ( ϕ(ξ, η) ) = x Ω ξ Ω ξ y Ω η ϕ(x, y) f(x, y) Ω η (x, y) f(x, y) dxdy. I det fall då Ω är högst numrerbart kan denna sats bevisas på samma sätt som Sats.. 57

6 Sats 6. a) E(ξ + η) = E(ξ) + E(η). b) Om ξ och η är oberoende, så är E(ξη) = E(ξ) E(η). Bevis a) Betrakta det fall då Ω är högst numrerbart. Det andra fallet bevisas analogt. E(ξ + η) = (x + y) f(x, y) x Ω ξ y Ω η = xf(x, y) + yf(x, y) x Ω ξ y Ω η x Ω ξ y Ω η = x f(x, y) + y f(x, y) x Ω ξ y Ω η y Ω η x Ω ξ = xf ξ (x, y) + yf η (x, y) = E(ξ) + E(η) x Ω ξ y Ω η b) Betrakta det fall då (ξ, η) har tätheten f. Det andra fallet bevisas analogt. Sätt Ω ξ = (a, b ) och Ω η = (a, b ). E(ξη) = = b b a b a a xf ξ (x) dx = E(ξ) E(η). xy f(x, y) dxdy b a yf η (y) dy (ty ξ och η är oberoende) Sats 6.3 V(ξ + η) = V(ξ) + V(η) + Kov(ξ, η), där Kov(ξ, η) = E{ ( ξ E(ξ) )( η E(η) ) }. Bevis V(ξ + η) = E{ ( ξ + η ( E(ξ) + E(η) )) } = E{ ( ξ E(ξ) + η E(η) ) } = E{ ( ξ E(ξ) ) } + E{ ( η E(η) ) } + E{ ( ξ E(ξ) )( η E(η) ) } = V(ξ) + V(η) + Kov(ξ, η). 58

7 Sats 6. Om ξ och η är oberoende så är V(ξ + η) = V(ξ) + V(η). Bevis Betrakta Kov(ξ, η) = E{ ( ξ E(ξ) )( η E(η) ) } = E(ξη) = E(ξ) E(η) = enligt Sats 6. b). Påståendet följer nu ur Sats 6.3. Anmärkning 6.5 Dessa satser kan lätt generaliseras till det n-dimensionella fallet. Låt t.ex. ξ, ξ,..., ξ n vara n stycken stokastiska variabler. Då gäller Om ξ,..., ξ n är oberoende, så är E(ξ ξ n ) = E(ξ ) E(ξ n ) n n n V(ξ ξ n ) = V(ξ i ) + Kov(ξ i, ξ j ). i= i= j= i j E(ξ... ξ n ) = E(ξ )E(ξ )... E(ξ n ) V(ξ ξ n ) = V(ξ ) V(ξ n ). Exempel 6.6 Låt ξ och η vara oberoende med väntevärdena E(ξ) och E(η) samt varianserna V(ξ) och V(η). Bilda ζ = ξ η. Vi har E(ζ) = E(ξ η) = E(ξ) E(η), V(ζ) = V(ξ η) = V(ξ) + V( η) ty enligt Sats 6. är även ξ och η oberoende. Följaktligen V(ζ) = V(ξ) + ( ) V(η) = V(ξ) + V(η). Exempel 6.7 Vid kast med två symmetriska tärningar betraktas tärningarnas värden som stokastiska variabler. Vi har E(ξ, ξ ) = x Ω ξ = = xy f(x, y) x Ω η 6 6 ( i j ty f(x, y) = ) i= j= 6 i i= =, 5 6 j= j =

8 Å andra sidan är ξ och ξ oberoende och således E(ξ, ξ ) = E(ξ )E(ξ ) = =, 5, (Se Exempel.9). Vidare V(ξ, ξ ) = E ( (ξ, ξ ) ) ( E(ξ, ξ ) ) = E(ξ ) E(ξ ) ( E(ξ ) ) ( E(ξ ) ). Enligt Exempel.5 Följaktligen V(ξ ) = 6 = 35, E(ξ ) = E(ξ ) = V(ξ ) + ( E(ξ ) ) = 35 + = 8 V(ξ, ξ ) = 8 8 Betrakta nu variabeln η = ξ ξ. Då är ( 7 ) ( ) 7 8. ( ) 7 ( ) E(η) = E(ξ ) E ξ ty ξ och ξ är oberoende, ( ) E ξ = 6 i= i 6 = 7 E(η) = 3, 5, 83, 9, 83 Det är klart att ζ = ξ ξ och η = ξ ξ inte är oberoende. Vi har E(ζη) = E(ξ ) = 8 E(ζ) E(η) 7, 5. 5, 7, 6

9 Exempel 6.8 Vi bestämmer kovariansen för variablerna ξ och η i Exempel 6.5 då dragningen sker utan återläggning. Kov(ξ, η) = E ( (ξ E(ξ))(η E(η)) ) = E(ξη) E(ξ) E(η). E(ξ) = 5, E(η) = 5 E(ξ η ) = xy f(x, y) = y Ω η x Ω ξ = Kov(ξ, η) = 7 5 = 5. i i= j j= i j ( ( ) + ( ) + 3 ( + + ) + ( + + 3) ) = 7 Tjebysjevs olikhet och de stora talens lag Sats 6.9 (Tjebysjevs olikhet) Låt ξ vara en stokastisk variabel med väntevärde µ och varians σ. Då gäller för varje t > att P( ξ µ tσ) t. Bevis Vi bevisar satsen i det fall då ξ har en täthet f. Låt Ω ξ = (a, b) och betrakta σ = = b a (x µ) f(x) dx (x µ) f(x) dx, ty vi kan sätta f(x) för x < a och x > b. Låt t >. Då gäller σ = = µ tσ µ tσ (x µ) f(x) dx (x µ) f(x) dx + (x µ) f(x) dx + µ+tσ µ tσ µ+tσ (x µ) f(x) dx + (x µ) f(x) dx µ+tσ (x µ) f(x) dx, 6

10 ty µ+tσ µ tσ (x µ) f(x) dx >. Men µ tσ µ+tσ (x µ) f(x) dx (x µ) f(x) dx µ tσ (µ tσ µ) f(x) dx µ tσ = t σ f(x) dx, µ+tσ = t σ (µ + tσ µ) f(x) dx µ+tσ f(x) dx. Följaktligen ( µ tσ ) σ t σ f(x) dx + f(x) dx µ+tσ σ t σ ( P(ξ µ tσ) + P(ξ µ + tσ) ) σ t σ P( ξ µ tσ) P( ξ µ tσ) t. Observera att olikheten gäller för varje sannolikhetsfördelning, och är således vanligtvis mycket grov. (T.ex. då t = säger satsen endast att P( ξ µ σ) vilket är en trivialitet.) Sats 6. (De stora talens lag) Låt ξ, ξ,... vara oberoende stokastiska variabler med samma sannolikhetsfördelning (dvs de är identiskt fördelade) med väntevärdet µ och variansen σ. Låt ξ n = n n i= ξ i vara medelvärdet av de stokastiska variablerna. Då gäller för varje ε > att lim P( ξ n µ > ε) =. n Bevis Vi har E( ξ n ) = n n i= E(ξ i) = µ och V( ξ n ) = n n i= V(ξ i) = σ n, ty variablerna antas vara oberoende. Enligt Sats 6.9 gäller för varje t > att ( σ ) P ξ n µ > t n t. 6

11 σ Välj t så att t n = ε, dvs t = ε n. Följaktligen gäller för varje n σ P( ξ n µ ε) σ ε n. Men den högra sidan av denna olikhet går mot noll då n, dvs lim P( ξ σ n µ ε) lim n n ε n =. Exempel 6. Låt ξ, ξ,... vara oberoende och binomialfördelade med parametrarna n och p. Bestäm ett värde på m, så att sannolikheten att ξ m = m m i= ξ i avviker från np med mer än, är mindre än,5. Vi har E( ξ m ) = m m E(ξ i ) = np i= V( ξ m ) = m m V(ξ i ) = i= np( p) m. För varje t > gäller då ( P ξ m np > t ) np( p) m t. Välj t så att t =, 5, dvs t = 5 = 5. Då gäller P ( ξ m np 5 ) np( p) m, 5. Välj nu m så stort att np( p) 5 =, m np( p) = m m = np( p). T.ex. om n = och p = fås att m = 5. 63

12 Övningsuppgifter. Den tvådimensionella variabeln (ξ, η) har frekvensfunktionen f(x, y) = c(x+y), (x, y) {, } {, }. Bestäm konstanten c samt de endimensionella frekvensfunktionerna f ξ och f η. Är variablerna ξ och η oberoende?. Den tvådimensionella stokastiska variabeln (ξ, η) har följande fördelning y : 5 6 x: 3 Bestäm frekvensfunktionerna f ξ (x) och f η (y) för de endimensionella variablerna. Är ξ och η oberoende? Bestäm vidare frekvensfunktionerna för variablerna ζ = ξ η och ζ = ξ. 3. De stokastiska variablerna ξ och ξ har samma väntevärden och samma varianser. Variablerna är oberoende. Den stokastiska variabeln η = ξ + ξ har väntevärdet lika 3 med 6 och variansen. Bestäm E(ξ ) och V(ξ ).. ξ är en tvåpunktsfördelad variabel, som antar värdet med sannolikheten a och värdet med sannolikheten a. a) Bestäm E(ξ) och V(ξ). b) Gör två oberoende observationer på ξ och bestäm väntevärdet och variansen för dessa observationers summa. 5. För variablerna ξ och η gäller följande E(ξ) =, V(ξ) =, Kov(ξ, η) =, 3. E(η) =, V(η) =, 9 Sök väntevärdet för variabeln ζ = ξ + η ξη! 6. Ett försäkringsbolag tillämpar ett bonussystem med 3 klasser med nedan angiven rabatt på grundpremien: bonusklass 3 bonus (rabatt) % 35 % 7 % Första året betalar en ny försäkringstagare full premie ( mk). Ett skadefritt år medför för nästa år en uppflyttning till närmast högre bonusklass, dock högst till bonusklass 3. Ett icke skadefritt år medför att nästa års premie betalas enligt närmast 3 6

13 lägre bonusklass, dock lägst klass. Bestäm för en ny försäkringstagare väntevärdet för den sammanlagda premien under de första tre åren. De tre årens premier grundar sig på förhållandena under de två första åren, eftersom första årspremien är given. Vår försäkringstagare har sannolikheten 5 6 att köra skadefritt under ett år och vi förutsätter oberoende mellan åren. 7. En urna innehåller fem kulor markerade,, 3, och 5. Man tar med återläggning på måfå två kulor ur urnan. Låt ξ och η vara de därvid erhållna poängtalen för första resp. andra kulan. Definiera nya stokastiska variabler enligt ξ = ξ + η och ξ = max(ξ, η). Bestäm frekvensfunktionerna för ξ, ξ och (ξ, ξ ). Är variablerna oberoende? 8. Låt ξ och η vara två stokastiska variabler. Talet ρ = Kov(ξ,η) kallas korrelationsko- V(ξ)E(η) efficienten mellan variablerna ξ och η. Bestäm korrelationskoefficienten mellan ξ och ξ, där ξ betecknar utfallet vid kast med en symmetrisk tärning. 9. En stokastisk variabel ξ har frekvensfunktionen cx 3, för x, f(x) =, för övriga x. Bestäm konstanten c! Vad är sannolikheten att av två slumpmässiga oberoende observationer av variabeln båda är större än,5?. Den kontinuerliga stokastiska variabeln ξ är likformigt fördelad i intervallet (a, b) och har variansen 3 6. Bestäm variationsvidden för ξ, dvs beräkna avståndet mellan a och b.. Beräkna väntevärdet och variansen för summan av tio oberoende stokastiska variabler, som alla är likformigt fördelade i intervallet (, 3).. Bestäm k så att funktionen f(x, y) = k xy( y), (x, y) (, ) (, ) blir en frekvensfunktion för en tvådimensionell stokastisk variabel (ξ, η). Visa att variablerna ξ och η är oberoende. Beräkna sannolikheterna P(ξ > η) och P(η < ξ ). 3. En tvådimensionell stokastisk variabel (ξ, η) har frekvensfunktionen f(x, y) = x y, (x, y) (, ) (, ). Bestäm frekvensfunktionerna för ξ och η. Sätt ζ = ξη. Bestäm E(ζ)! 65

14 . Man väljer på måfå två punkter på en cirkels periferi. Vad är sannolikheten att deras avstånd är större än cirkelns radie? (Ledning: Välj först en punkt. Fördela sedan sannolikhetsmassan likformigt över cirkelns periferi.) 5. Låt ξ, ξ,... vara oberoende och a) Poissonfördelade b) exponentialfördelade. Bestäm med hjälp av Tjebysjevs olikhet ett tal n så att sannolikheten att ξ n = n n i= ξ i avviker från E( ξ n ) med mer än, är mindre än,5. 6. Låt ξ vara en normalfördelad stokastisk variabel med parametrarna µ och σ. Uppskatta med Tjebysjevs olikhet sannolikheten att ξ avviker från µ med mer än, 96 σ. Vad är den exakta sannolikheten? 66

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2 Tentamen den april 7 i Statistik och sannolikhetslära för BI Uppgift : Låt händelserna A, B, C och D vara händelser i samband med ett försök. a) Anta att P(A)., P(A B)., P(A B).6. Beräkna sannolikheten

Läs mer

Sannolikhetsbegreppet

Sannolikhetsbegreppet Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34

Läs mer

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik, data/elektro

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik, data/elektro Tentamen LMA 00 Matematisk statistik, data/elektro 039 Tentamen består av åtta uppgiter motsvarande totalt 50 poäng. Det krävs minst 0 poäng ör betyg 3, minst 30 poäng ör 4 och minst 40 ör 5. Examinator:

Läs mer

Betingad sannolikhet och oberoende händelser

Betingad sannolikhet och oberoende händelser Kapitel 5 Betingad sannolikhet och oberoende händelser Betrakta ett försök med ett ändligt utfallsrum Ω och en händelse A vid detta försök. Definitionsmässigt gäller att A Ω och försökets utfall ligger

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik för BI2 den 16 januari 2009

Tentamen i matematisk statistik för BI2 den 16 januari 2009 Tentamen i matematisk statistik för BI den 6 januari 9 Uppgift : Ett graviditetstest att använda i hemmet är inte helt tillförlitligt. Ett speciellt test visar positivt resultat för kvinnor, som inte är

Läs mer

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Poäng totalt för del 1: 25 (12 uppgifter) Tentamensdatum 2012-12-19 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson

Läs mer

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tid: Måndagen den 2015-06-01, 8.30-12.30. Examinator och Jour: Olle Nerman, tel. 7723565, rum 3056, MV, Chalmers. Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

Övningstentamen 2 Uppgift 1: Uppgift 2: Uppgift 3: Uppgift 4: Uppgift 5: Uppgift 6: i ord

Övningstentamen 2 Uppgift 1: Uppgift 2: Uppgift 3: Uppgift 4: Uppgift 5: Uppgift 6: i ord Övningstentamen Uppgift : I en kvalitetskontroll är det fyra olika fel A, B, C och D som kan förekomma oberoende av varandra där P(A) 0.03, P(B) 0.05, P(C) 0.07 och P(D) 0.. a. Beräkna sannolikheten att

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 79 / TEN 1 augusti 14, klockan 8.00-12.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 28-1474) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

Övningstentamen 3. Uppgift 5: Anta att ξ är en kontinuerlig stokastisk variabel med följande frekvensfunktion: f(x) = 0

Övningstentamen 3. Uppgift 5: Anta att ξ är en kontinuerlig stokastisk variabel med följande frekvensfunktion: f(x) = 0 Övningstentamen Uppgift 1: Bill och Georg har gått till puben tillsammans. De beslutar sig för att spela dart (vilket betyder kasta pil mot en tavla). Sedan gammalt vet de att Bill träffar tavlan med sannolikheten.7

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Övningstentamen i matematisk statistik

Övningstentamen i matematisk statistik Övningstentamen i matematisk statistik Uppgift : Från ett register över manliga patienter med diabetes fick man följande statistik i procent: Lindrigt fall Allvarligt fall Patientens Någon förälder med

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 24 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

4. Stokastiska variabler

4. Stokastiska variabler 4. Stokastiska variabler En stokastisk variabel (s.v.) är en funktion som definieras i utfallsrummet. Varje stokastisk variabel har en viss sannolikhetsstruktur. Ex: Man kastar två tärningar. Låt X = summan

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-08-31 Tid:

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2016-01-15 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 15.00 20.00 Lärare: A Jonsson, J Martinsson,

Läs mer

Uppgift 3: Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen 0 10 f(x) =

Uppgift 3: Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen 0 10 f(x) = Tentamen i Matematisk statistik för DAI och EI den 3 mars. Tid: kl 4. - 8. Hjälpmedel: Chalmersgodkänd ( typgodkänd ) räknedosa, Tabell- och formelsamling, Håkan Blomqvist, Matematisk statistik, Ulla Dahlbom,

Läs mer

Sannolikheter och kombinatorik

Sannolikheter och kombinatorik Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter

Läs mer

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Hjälpmedel: Valfri räknare, egenhändigt handskriven formelsamling (4 A4-sidor på 2 blad) och till skrivningen medhörande tabeller. Onsdagen

Läs mer

1 10 e 1 10 x dx = 0.08 1 e 1 10 T = 0.08. p = P(ξ < 3) = 1 e 1 10 3 0.259. P(η 2) = 1 P(η = 0) P(η = 1) = 1 (1 p) 7 7p(1 p) 6 0.

1 10 e 1 10 x dx = 0.08 1 e 1 10 T = 0.08. p = P(ξ < 3) = 1 e 1 10 3 0.259. P(η 2) = 1 P(η = 0) P(η = 1) = 1 (1 p) 7 7p(1 p) 6 0. Tentamen TMSB18 Matematisk statistik IL 091015 Tid: 08.00-13.00 Telefon: 036-10160 (Abrahamsson, Examinator: F Abrahamsson 1. Livslängden för en viss tvättmaskin är exponentialfördelad med en genomsnittlig

Läs mer

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = 1 0.34. ξ = 2ξ 1 3ξ 2

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = 1 0.34. ξ = 2ξ 1 3ξ 2 Lösningsförslag TMSB18 Matematisk statistik IL 101015 Tid: 12.00-17.00 Telefon: 101620, Examinator: F Abrahamsson 1. Varje dag levereras en last med 100 maskindetaljer till ett företag. Man tar då ett

Läs mer

4.2.1 Binomialfördelning

4.2.1 Binomialfördelning Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? 4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten

Läs mer

Övningstentamen 1. c) Beräkna sannolikheten att exakt en av A eller B inträffar (6 poäng)

Övningstentamen 1. c) Beräkna sannolikheten att exakt en av A eller B inträffar (6 poäng) Övningstentamen Uppgift : Vid ett experiment kan en händelse A, en händelse B eller både A och B inträffa. I en serie om 00 försök har man sammanställt följande statistik: i 90 fall har minst en av A eller

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2014-06-05 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Jesper

Läs mer

TAMS79: Matematisk statistik vt 2013

TAMS79: Matematisk statistik vt 2013 TAMS79: Matematisk statistik vt 3 Föreläsningsanteckningar Johan Thim, MAI.5. 5 3 3 TAMS79: Föreläsning Grundläggande begrepp Johan Thim 3 januari 3. Begrepp Ett slumpförsök är ett försök där resultatet

Läs mer

Övningstentamen i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120)

Övningstentamen i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120) Övningstentamen i kursen Statistik sannolikhetslära (LMA0). Beräkna ( ) 04.. Malin har precis yttat, ska skruva ihop sitt rektangulära skrivbord igen. Bordet har ett ben i varje hörn, har två långsidor

Läs mer

5 Kontinuerliga stokastiska variabler

5 Kontinuerliga stokastiska variabler 5 Kontinuerliga stokastiska variabler Ex: X är livslängden av en glödlampa. Utfallsrummet är S = x : x 0}. X kan anta överuppräkneligt oändligt många olika värden. X är en kontinuerlig stokastisk variabel.

Läs mer

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8. Skattning av µ och Students T-fördelning Om σ är känd, kan man använda statistikan X µ σ/ n för att hitta konfidensintervall för µ. Om σ inte

Läs mer

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett

Läs mer

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.

Läs mer

Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)

Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005) Repetition och förberedelse Sannolikhet och sta.s.k (1MS005) Formellsamling och teori Nästa varje ekva.on som vi använder under kursen finns I samlingen. Tricket i examen är hica räc metod/fördelning.ll

Läs mer

Kapitel 10 Hypotesprövning

Kapitel 10 Hypotesprövning Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 10 Hypotesprövning 1 Vad innebär hypotesprövning? Statistisk inferens kan utföras genom att ställa upp hypoteser angående en eller flera av populationens parametrar.

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-05-29 Tid:

Läs mer

Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14

Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 7 Mars 2014 Disposition r Kondensintervall och hypotestest Kondensintervall Statistika Z (eller T) har fördelning F (Z en funktion av ˆθ och θ) q 1 α/2

Läs mer

Övningstentamen i matematisk statistik för kemi

Övningstentamen i matematisk statistik för kemi Övningstentamen i matematisk statistik för kemi Uppgift 1: Bill och Georg har gått till puben tillsammans. De beslutar sig för att spela dart (vilket betyder kasta pil mot en tavla). Sedan gammalt vet

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad

Läs mer

Extrauppgifter i matematisk statistik

Extrauppgifter i matematisk statistik Extrauppgifter i matematisk statistik BT 2014 1. Mängden A är dubbelt så sannolik som B. Hur förhåller sig P(A B) till P(B A)? 2. Två händelser A och B har sannolikheter skilda från noll. (a) A och B är

Läs mer

Bengt Ringnér. October 30, 2006

Bengt Ringnér. October 30, 2006 Väntevärden Bengt Ringnér October 0, 2006 1 Inledning 2 Väntevärden Låt X vara en stokastisk variabel som representerar ett slumpmässigt försök, t ex att mäta en viss storhet. Antag att man kan göra, eller

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Lösningsförslag till valda uppgifter i SANNOLIKHETSTEORI och STATISTIKTEORI med TILLÄMPNINGAR av Blom, Enger, Englund, Grandell & Holst.

Lösningsförslag till valda uppgifter i SANNOLIKHETSTEORI och STATISTIKTEORI med TILLÄMPNINGAR av Blom, Enger, Englund, Grandell & Holst. Lösningsförslag till valda uppgifter i SANNOLIKHETSTEORI och STATISTIKTEORI med TILLÄMPNINGAR av Blom, Enger, Englund, Grandell & Holst. Version 8 februari 5 Fel i lösningarna mottages tacksamt till mattsson@math.kth.se.

Läs mer

Statistisk analys av komplexa data

Statistisk analys av komplexa data Statistisk analys av komplexa data Trunkerade data och Tobitregression Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 10, 2015 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Trunkerade data

Läs mer

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Stokastisk geometri Lennart Råde Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Inledning. I geometrin studerar man geometriska objekt och deras inbördes relationer. Exempel på geometriska objekt

Läs mer

Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering

Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 2 Matematisk statistik AK för Π och E, FMS012, HT14/VT15 Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här laborationen

Läs mer

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.

Läs mer

Matematikuppgifter del II, FYTA11

Matematikuppgifter del II, FYTA11 Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. Lös uppgift 10.1 i boken. 52. Lös uppgift 10.2 i boken. 53. Lös uppgift 10.3 i boken. 54. Lös uppgift 10.4 i boken. 55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk

Läs mer

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.

Läs mer

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6):

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6): EM-fotboll 2012 några grafer Sport är en verksamhet som genererar mängder av numerisk information som följs med stort intresse EM i fotboll är inget undantag och detta dokument visar några grafer med kommentarer

Läs mer

Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.''

Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Hjälpmedel:'Valfri'räknare,'egenhändigt'handskriven'formelsamling'(4''A4Esidor'på'2'blad)' och'till'skrivningen'medhörande'tabeller.''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

Läs mer

Vidare får vi S 10 = 8,0 10 4 = 76, Och då är 76

Vidare får vi S 10 = 8,0 10 4 = 76, Och då är 76 Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 38 Övningsprov.. i) P(:a äss och :a äss och 3:e äss och 4:e äss ) P(:a äss) P(:a äss :a äss) P(3:e äss :a och :a äss) antal P(4:a äss :a

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler

Läs mer

Extrauppgifter - Statistik

Extrauppgifter - Statistik Extrauppgifter - Statistik Uppgifter 1. Den stokastiska variabeln Y t 10 ). Bestäm c så att P ( c < Y < c) = 2. Vid tillverkning av en viss sorts färg tillsätts färgpigmentet med hjälp av en doseringsapparat,

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p

Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p LGR00 6 juni, 200 kl. 9.00 1.00 Kursansvarig: Eric Järpe Maxpoäng: 0 Betygsgränser: 12p: G, 21p: VG Hjälpmedel: Miniräknare samt tabell- och formelsamling

Läs mer

STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA

STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 12 December Linda Wänström (Linköpings universitet) LONGITUDINELLA DATA 12 December 1 / 12 Explorativ Faktoranalys

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

Hur måttsätta osäkerheter?

Hur måttsätta osäkerheter? Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för

Läs mer

MATEMATIK 5 veckotimmar

MATEMATIK 5 veckotimmar EUROPEISK STUDENTEXAMEN 2010 MATEMATIK 5 veckotimmar DATUM : 4 Juni 2010 SKRIVNINGSTID : 4 timmar (240 minuter) TILLÅTNA HJÄLPMEDEL : Skolans formelsamling Icke-programmerbar, icke-grafritande räknedosa

Läs mer

Tentamen i Statistik, STG A01 och STG A06 (13,5 hp) Torsdag 5 juni 2008, Kl

Tentamen i Statistik, STG A01 och STG A06 (13,5 hp) Torsdag 5 juni 2008, Kl Karlstads Universitet Avdelningen för Nationalekonomi och Statistik Tentamen i Statistik, STG A0 och STG A06 (3,5 hp) Torsdag 5 juni 008, Kl 4.00-9.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema

Läs mer

- Kalkylator - MAOLs tabeller - handskriven minneslapp max storlek A5 som inlämnas med tentamenssvaret

- Kalkylator - MAOLs tabeller - handskriven minneslapp max storlek A5 som inlämnas med tentamenssvaret EKONOMISK MATEMATIK OCH STATISTIK Statistik 23.10.2000 Motivera dina svar! Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: - Kalkylator - MAOLs tabeller - handskriven minneslapp max storlek A5 som inlämnas med tentamenssvaret

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Blandade problem från elektro- och datateknik

Blandade problem från elektro- och datateknik Blandade problem från elektro- och datateknik Sannolikhetsteori (Kapitel 1-10) E1. En viss typ av elektroniska komponenter anses ha exponentialfördelade livslängder. Efter 3000 timmar brukar 90 % av komponenterna

Läs mer

händelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar.

händelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar. Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. 1 Grundläggande begrepp 1.01 När vi singlar slant eller kastar tärning

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM KH/CW/SS Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, /5 01, 9-14 Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras

Läs mer

Kvantitativ strategi Univariat analys 2. Wieland Wermke

Kvantitativ strategi Univariat analys 2. Wieland Wermke + Kvantitativ strategi Univariat analys 2 Wieland Wermke + Sammanfattande mått: centralmått n Beroende på skalnivån finns det olika mått, som betecknar variablernas fördelning n Typvärde eller modalvärde

Läs mer

avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.

avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Ordlista 1 1 Analysens grunder avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M i ett metriskt rum har Bolzano- Weierstrass-egenskapen

Läs mer

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-20 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

Sannolikhetslära. 19 februari 2009. Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott?

Sannolikhetslära. 19 februari 2009. Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott? Sannolikhetslära 19 februari 009 Vad är en sannolikhet? I vardagen: Vad är sannolikheten att vinna om jag köper en lott? Borde jag ta paraply med mig till jobbet idag? Vad är sannolikheten att det kommer

Läs mer

Kursombud sökes! Kursens syfte är att ge en introduktion till metoder för att förutsäga realtidsegenskaper hos betjäningssystem, i synnerhet för data- och telekommunikationssystem. Såväl enkla betjäningssystem,

Läs mer

Lipschitz-kontinuitet

Lipschitz-kontinuitet Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger

Läs mer

Stokastiska processer

Stokastiska processer Stokastiska processer Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet Dessa förläsningsanteckningar kommer att behandla diskreta

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Sannolikhetsteori ör MN1 ht 2004 2004-09 - 07 Bengt Rosén Stokastiska variabler Deinition av stokastisk variabel Den matematiska beskrivningen av ett slumörsök är ett ar (Ω, P( )), där utallsrummet Ω är

Läs mer

7.5 Experiment with a single factor having more than two levels

7.5 Experiment with a single factor having more than two levels Exempel: Antag att vi vill jämföra dragstyrkan i en syntetisk fiber som blandats ut med bomull. Man vet att inblandningen påverkar dragstyrkan och att en inblandning mellan 10% och 40% är bra. För att

Läs mer

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

Statistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov

Statistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov OSÄKERHET Sannolikhetslära: Om det i ett område finns 32 % med universitetsexamen, vad är sannolikheten att ett stickprov kommer att innehålla 31-33 % med universitetsexamen? Om medelåldern i en population

Läs mer

Kort om mätosäkerhet

Kort om mätosäkerhet Kort om mätosäkerhet Henrik Åkerstedt 14 oktober 2014 Introduktion När man gör en mätning, oavsett hur noggrann man är, så får man inte exakt rätt värde. Alla mätningar har en viss osäkerhet. Detta kan

Läs mer

Föreläsning 4, Matematisk statistik för M

Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Erik Lindström 1 april 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 1/19 Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: Ett slumpmässigt försök med

Läs mer

Övningstentamen 2 5.44 5.39 5.41 5.35 5.41 5.46 5.40 5.37 5.39 5.43

Övningstentamen 2 5.44 5.39 5.41 5.35 5.41 5.46 5.40 5.37 5.39 5.43 Övningstentamen Uppgift 1: Företaget Holly Suger Co tillverkar sockerbitar. Med hjälp av kvalitetskontrollerna upptäcker man att 1% av sockerbitarna är defekta. Anta att man väljer ut 3 sockerbitar från

Läs mer

Lösningsförslag till Problem i kapitel 7 i Mobil Radiokommunikation

Lösningsförslag till Problem i kapitel 7 i Mobil Radiokommunikation Lösningsförslag till Problem i kapitel 7 i Mobil adiokommunikation 7. 7. Två lognormalt fördelade stokastiska variabler X och Y med log-standardavvikelserna σ logx och σ logy. Att den stokastiska variabeln

Läs mer

Spridningsdiagram (scatterplot) Fler exempel. Korrelation (forts.) Korrelation. Enkel linjär regression. Enkel linjär regression (forts.

Spridningsdiagram (scatterplot) Fler exempel. Korrelation (forts.) Korrelation. Enkel linjär regression. Enkel linjär regression (forts. Spridningsdiagram (scatterplot) En scatterplot som visar par av observationer: reklamkostnader på -aeln and försäljning på -aeln ScatterplotofAdvertising Ependitures ()andsales () 4 Fler eempel Notera:

Läs mer

= 0.044±

= 0.044± Lösningsförslag TMSB18 Matematisk statistik IL 100815 Tid: 12.00-17.00 Telefon: 0707-463397, Examinator: F Abrahamsson 1. Om ett visst företags inkomster en månad är fördelade enligt N(7000, 300) och samma

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 april 2004, klockan 08.15-13.15

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 april 2004, klockan 08.15-13.15 Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 6 april 004, klockan 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad

Läs mer

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek. PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och

Läs mer

Kolmogorovs Axiomsystem Kolmogorovs Axiomsystem Varje händelse A tilldelas ett tal : slh att A inträar Sannolikheten måste uppfylla vissa krav: Kolmog

Kolmogorovs Axiomsystem Kolmogorovs Axiomsystem Varje händelse A tilldelas ett tal : slh att A inträar Sannolikheten måste uppfylla vissa krav: Kolmog Slumpvariabel (Stokastisk variabel) Resultat av ett slumpförsök - utgången kann inte kontrolleras Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder VT 2009 Resultatet kan inte förutspås, men vi vet

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

(x) = F X. och kvantiler

(x) = F X. och kvantiler Föreläsning 5: Matstat AK för M, HT-8 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR M HT-8 FÖRELÄSNING 5: KAPITEL 6: NORMALFÖRDELNINGEN EXEMPEL FORTKÖRARE Man har mätt hastigheten på 8 bilar som passerade en korsning i

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 Gripenberg I1. Vi antar att antalet telefonsamtal som kommer till ett servicenummer under en tidsperiod med längden

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 5 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9

ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9 ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 9 STOKASTISKA VARIABLER 1. Ange om följande stokastiska variabler är diskreta eller kontinuerliga: a. X = En slumpmässigt utvald person ur populationen är arbetslös, där x antar

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer