Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U.

Transkript

1 Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U. Poissonfördelningen: ξ är Po(λ) λ = genomsnittligt antal händelser i ett intervall. Sannolikhet: P(ξ = ) = e λ λ! Väntevärde: E(ξ) = λ Varians: Var(ξ) = λ Eempel: Antal båtar som anlägger i en hamn under ett dygn. Övningar att räkna: 3.4, I en s.k. Poissonprocess med intensiteten c är antalet bilar som kommer i ett intervall av längden t Po(ct) och antalet bilar i disjunkta intervall oberoende. Intervallen mellan ankomsterna är eponentialfördelade. (Vi kommer till denna fördelning i kap.4). Summan av två variabler som är oberoende och Poissonfördelade med parametrarna λ1 resp. λ är Po(λ1+λ) 3. Lägg märke till villkoren vid approimationerna mellan de olika fördelningarna sid 89. Väntevärdet bibehålls dock alltid. Övningar att räkna: 3.5, 3.6 Hyp(N, n, p) n>10 n n < p+ 0.1 <0.1 N N n>10 p<0.1 Bin(n, p) Po( λ )

2 Gammalt tentamenstal (Maskin 09087): I en vägkorsning kan antal bilar som passerar antas vara Poissonfördelat med en genomsnittlig passeringsfrekvens av 5 bilar på 15 minuter. Vad är sannolikheten att det kommer minst bilar till korsningen under en 5-minuters period? (3 poäng) Kapitel 4 i Matematisk statistik, Dahlbom U. Nya begrepp: Kontinuerlig stokastisk variabel, frekvensfunktion f(), fördelningsfunktion F(), väntevärde, varians, fraktiler, standardfördelningarna rektangel- och eponentialfördelningen, normalfördelningen, fraktiler. Övningar att räkna: 4.1(inte e-uppgiften), , 4.6a, 4.10, 4.18, 4.19, 4.1, , 4.1, , 4.18, 4.6 Snabbrepetition: 1. Fördelningen för en s.v. kan anges genom att man anger frekvensfunktionen eller fördelningsfunktionen eller genom att man helt enkelt säger att eempelvis ξ är eponentialfördelad.. Allmänt för kontinuerliga fördelningar: Två villkor skall vara uppfyllda för att f() skall vara en frekvensfunktion: 1) f() 0 ) f ()d=1 Fördelningsfunktion: F() = P(ξ ) = f (t)dt P(ξ > ) = P(a < ξ b) = b a f (t)dt = 1 F() f ()d = F(b) F(a) Väntevärde: E(ξ) = f() d Varians: Var(ξ) = f() d [ E( ξ)] Om ξ är en kontinuerlig stokastisk variabel med frekvensfunktionen f(), då gäller för varje reellvärd funktion g att E[g(ξ)] = g() f() d

3 3. För en kontinuerlig stokastisk variabel ξ gäller alltid P ( ξ = a) = 0. Se sid. 101 Gammalt tentamenstal: (Ekonomi och produktion/maskin 11114): En dator uppgraderas med ett nytt operativsystem. Ändringen av tiden, i sekunder, att koppla upp sig mot Internet kan beskrivas av nedanstående frekvensfunktion: f() = c e c < 0 1 a) Bestäm konstanten c. b) Bestäm fördelningsfunktionen c) Vad är sannolikheten att uppkopplingstiden med hjälp av den nya systemet förändras med minst en halv sekund? (8 poäng) Gammalt tentamenstal: (Data/elektro 10310): En kontinuerlig stokastisk variabel ξ har frekvensfunktionen f() = a a för < 0 för 0 < för < 4 annars a) Bestäm konstanten a. b) Beräkna den stokastiska variabelns väntevärde. 4. Rektangelfördelning: ξ är R(a, b) 1 a < < b Frekvensfunktion: f() = b a för övrigt 0 a a Fördelningsfunktion: F() = a < < b b a 1 b a + b Väntevärde: E(ξ) = (b a) Varians: Var(ξ) = 1

4 5. Eponentialfördelning: ξ är Ep(λ) λ λ e 0 Frekvensfunktion: f() = < 0 0 < 0 Fördelningsfunktion: F() = λ 1 e Väntevärde: E(ξ) = Varians: Var(ξ) = λ λ 6. I en Poissonprocess där det inträffar händelser i tiden (e. vis. bilar anländer) är tidsintervallen mellan händelserna oberoende och eponentialfördelade. Gammalt tentamenstal: (Bygg 9910): En utrustning består av tre delar, vars livslängder mätt i år, är eponentialfördelade med parametrarna λ1=0.5, λ=0.5 och λ3=1. Alla tre delarna, som fungerar oberoende av varandra, måste fungera för att hela systemet skall fungera. Vad är sannolikheten att systemet fungerar efter 0.5 år? Gammalt tentamenstal (Kemi 04116): Till en telefonväel kommer det i genomsnitt 30 samtal per timme. Anta att antalet telefonsamtal är Poissonfördelat. a) Vad är sannolikheten att det inte kommer något samtal under en 3-minuters period? b) Vad är sannolikheten att det kommer fler än samtal under en 5 minuters period? c) Anta att ett samtal just har kommit in till telefonväeln. Beräkna sannolikheten att det tar längre tid än minuter innan nästa samtal kommer. (7 poäng) 6. Normalfördelningen: ξ är N(µ, ) Fördelningsfunktion för den normerade normalfördelningen: Φ(z) = Φ( Väntevärde: E(ξ) = µ Varians: Var(ξ) = µ ) ξ µ ξ µ Med vanliga beteckningar gäller alltid: E = 0 samt Var = 1. ξ µ kallas den normerade eller den standardiserade variabeln. Om dessutom ξ ξ µ är N(µ, ) så är normalfördelad; N(0, 1). Gammalt tentamenstal (Bygg 9910): En maskin fyller burkar med soppa. Av erfarenhet vet man att vikten varierar från burk till burk. Antag att vikten kan betraktas som en normalfördelad variabel med standardavvikelsen 0 gram. Vilket medelvärde m bör man inrikta sig på om i det långa loppet 99% av burkarna skall väga minst 740 g.

5 Kapitel 5 i Matematisk statistik, Dahlbom U. Nya begrepp: Oberoende stokastiska variabler, blandade fördelningar. Övningar att räkna: , 5.13, 5.15 Snabbrepetition: 1. Väntevärdesregler: E(η) = E(a + bξ) = a + be(ξ) E(η) = E(ξ1 + ξ) = E(ξ1) + E(ξ). Variansregler: Var(η) = Var(a + bξ) = b Var(ξ) Var(η) = Var(ξ1 + ξ) = Var(ξ1) + Var(ξ) 3. Observera att Var[ξ1 - ξ] = Var[ξ1] + V[ξ] om variablerna är oberoende 4. Att oberoendet är viktigt i formlerna för variansen ser man av följande eempel: Anta att vi kastar en tärning 0 gånger. Låt ξ1 vara antalet ggr vi får en sea och ξ antalet gånger vi ej får det, d.v.s. ξ1 och ξ är beroende. Då är alltid ξ1+ξ = 0 och Var[ξ1 + ξ] = 0. Observera att ξ1 och ξ är binomialfördelade och Var(ξ1) = np1 (1-p1) = 0 = och Var(ξ) = np (1-p) = 0 = d.v.s. 50 Var(ξ ) + Var(ξ) = 9 Gammalt tentamenstal (V 10113): Ett bageri bakar ett bröd som säljs för 0 kr styck om det säljs samma dag som det bakas. Säljs brödet dagen efter det bakats sätts priset till 8 kr. Tillverkningskostnaden är 15 kr styck och i genomsnitt säljs 80% av bröden samma dag som de bakas medan resten säljs dagen efter. a) Beräkna bageriets genomsnittliga vinst per bröd. b) Man planerar en kampanj för att sälja mer bröd. Priset sänks till 18 kr och man hoppas på att sälja i genomsnitt 90% av bröden samma dag som de bakas. Även nu säljs dagsgammalt bröd till 8 kr. Hur mycket måste efterfrågan öka för att kampanjen skall löna sig? (8 poäng)