Föreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler

Transkript

1 Föreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler Marina Axelson-Fisk 20 april, 2016

2 Idag: Diskreta stokastiska (random) variabler Frekvensfunktion och fördelningsfunktion Väntevärde Varians Några vanliga diskreta fördelningar

3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER

4 Stokastiska (random) variabler En stokastisk variabel är en funktion av utfallen i ett försök : R En stokastisk variabel antar värden enligt sannolikheter i en sannolikhetsfördelning. En diskret stokastisk variabel kan anta högst uppräkneligt många värden. En kontinuerlig stokastisk variabel tar värden i ett intervall på R.

5 Frekvensfunktion Låt vara en diskret stokastisk variabel som kan anta värden,,,. Frekvensfunktionen (prob mass function) definieras som = ( = ) där 0 och =1

6 Fördelningsfunktion Fördelningsfunktionen (cumulative distribution function) definieras som = = ( ) F(x) 1 Det gäller att 0 1 ( ) (monotont växande) x

7 VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS

8 Väntevärde Väntevärdet motsvarar det sanna medelvärdet av den stokastiska variabeln. Väntevärdet (expected value) av en diskret stokastisk variable definieras som = = ( )

9 Variansen Variansen av en stokastisk variabel är ett mått på hur mycket den varierar kring sitt väntevärde. Variansen för en diskret stokastisk variabel definieras som = = = ( ) Standardavvikelsen (standard deviation) är =

10 Väntevärde av en funktion Väntevärdet av en funktion h av en diskret stokastisk variabel h = h ( )

11 DISKRETA FÖRDELNINGAR

12 Viktiga diskreta fördelningar Binomialfördelningen Negativ binomialfördelning Geometrisk fördelning Hypergeometrisk fördelning Poisson-fördelning

13 Likformig (uniform) fördelning Den enklaste stokastiska variabeln är den som har samma sannolikhet för alla tänkbara värden. Om {,,, } gäller = = = 1 Om, +1,, blir väntevärde och varians = + 2 och =

14 Bernoulli-försök Vi utför ett försök som har två möjliga utfall: försöket lyckas eller misslyckas och = lyckas =1 misslyckas

15 Bernoulli-fördelning är en Bernoullivariabel med parameter om 1 om försöket lyckas = 0 om försöket misslyckas och = =1 =1 ( =0). Frekvensfunktion, väntevärde, varians om =1 = 1 om =0 = = (1 )

16 Binomialfördelning Vi utför Bernoulli-försök och låter =antal lyckade försök av och = (lyckas). Då är binomialfördelad med parametrar och, dvs Bin,. Frekvensfunktion, väntevärde, varians = 1 =, = (1 )

17 Geometrisk fördelning Vi utför ett antal Bernoulli-försök och låter =antal försök till och med första lyckade Då är geometriskt fördelad med parameter, dvs Geo( ) Frekvensfunktion, väntevärde, varians = 1 =1/ =(1 )/

18 Negativ binomialfördelning Generalisering av geometriska fördelningen där =antal försök till lyckats NBin(, ) Frekvensfunktion, väntevärde, varians = = / = (1 )/

19 Hypergeometrisk fördelning Antag att bland objekt klassas som lyckade och som misslyckade. Vi drar av de objekten slumpmässigt =antal lyckade objekt bland Då är HGeo(,, ) =, =, = 1 1 för =

20 Summering diskreta fördelningar Bernoulli: du utför ett försök som kan lyckas eller misslyckas med sannolikheter och 1, respektive. Binomial: du utför Bernoulli-försök och räknar antal lyckade. Geometrisk: du utför Bernoulli-försök och räknar antal försök till och med första lyckade. Negativ binomial: du utför Bernoulli-försök och räknar antal försök till och med 1lyckade. Hypergeometrisk: av objekt där klassas som lyckade drar du objekt utan återläggning och räknar antal lyckade.