Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

Transkript

1 Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18

2 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning CGS Kovarians Stora talens lag C(X, Y) = E{[X E(X)][Y E(Y)]} = E(XY) E(X)E(Y) Korrellationskoefficient, ρ, ρ X,Y ρ X,Y = C(X, Y) D(X)D(Y) Räkneregler ( ) E ai X i + b = a i E(X i ) + b C i V (ax + b) = a 2 V(X) a i X i, b j Y j = a i b j C(X i, Y j ) j i j ( ) V a i X i = a 2 i V(X i) + 2 a i a j C(X i, X j ) i i i<j }{{} = om okorrelerade Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 2/18

3 Kovarians Stora talens lag Stora talens lag Om X 1, X 2,..., X n är oberoende och likafördelade med E(X i ) = μ så gäller för alla ε >. P( X n μ > ε), n Det vill säga medelvärdet konvergerar i sannolikhet mot väntevärdet då n växer mot oändligheten! Gauss approximationsformler i en variabel Y = g(x). Taylorutveckla funktionen g kring μ = E(X) E(Y) g(e(x)) V(Y) g [E(X)] 2 V(X) g(x) g(μ) + (X μ)g (μ) = Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 3/18

4 N(, 1) N(μ, σ) Linjärkombination Standardiserad normalfördelning X N(, 1), E(X) =, V(X) = 1, x α λ α f X (x) = 1 2π e x2 /2 φ(x), x R F X (x) = x Φ(x) räknas ut numeriskt eller tabell (1). φ(t) dt Φ(x), x R.4 Täthetsfunktion för N(,1) Fördelningsfunktion för N(,1) 1 φ(x).2 Φ(x) Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 4/18

5 N(, 1) N(μ, σ) Linjärkombination Allmän normalfördelning Sats 6.1 Om X N(μ, σ), E(X) = μ, V(X) = σ 2 så är X μ σ N(, 1) f X (x) = 1 2πσ e (x μ)2 /2σ 2, x R F X (x) = x x α = μ + σλ α f X (t) dt = Φ( x μ σ ), x R Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 5/18

6 N(, 1) N(μ, σ) Linjärkombination Täthetsfunktioner för några normalfördelningar.5 µ = 4.15 σ = 2 f X (x) σ = 1 f X (x) µ = µ = 1 σ = x x Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 6/18

7 N(, 1) N(μ, σ) Linjärkombination Exempel Om X N(, 1), beräkna: 1. P(X 1) 2. P(X > 1) 3. P(X > 1.96) 4. P( 1 X 1.96) 5. x.25 Om Y N(2, 5), beräkna: 1. P(Y 7) 2. P(Y > 3) 3. P(Y > 11.8) 4. P( 3 X 11.8) 5. y.25 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 7/18

8 N(, 1) N(μ, σ) Linjärkombination Linjärkombinationer av normalfördelningar Linjärkombinationer av simultant normalfördelade s.v. är normalfördelade. n Om X i N(μ i, σ i ) och Y = a i X i gäller i=1 Y N(E(Y), D(Y)) n Y N a i μ i, n i=1 i=1 a 2 i σ2 i om alla X i är oberoende av varandra. (Lägg annars till kovarianserna i variansen.) Exempel: Beräkna P(3X 1 X 2 > 2) om X i N(2, 1) och oberoende samt om C(X 1, X 2 ) =.5. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 8/18

9 Centrala gränsvärdessatsen CGS Låt X 1, X 2,..., X n vara oberoende stokastiska variabler med samma fördelning och E(X i ) = μ, V(X i ) = σ 2 (ändliga). Då gäller att: ( n i=1 P X ) i nμ σ a Φ(a) då n för alla a n Observera att bråket i sannolikheten hela tiden har väntevärde noll och varians ett. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 9/18

10 Tillämpning av Centrala gränsvärdessatsen Summa av oberoende likafördelade s.v. är ungefär normalfördelad om antalet termer är tillräckligt stort. Med E(X i ) = μ, V(X i ) = σ 2 fås n 1. Om Y = X i gäller i=1 Y N(nμ, σ n) 2. Om X n = 1 n n X i gäller i=1 X n N(μ, σ n ) Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18

11 Äpplen Tag 25 äpplen från ett äppelträd. Låt X i vara vikten av äpple nr i. Vad är slh att den sammanlagda vikten överstiger 3 15 g om E(X i ) = 12 g och V(X i ) = 4 g 2? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 11/18

12 Hur snabbt konvergerar medelvärdet i stora talens lag? Histogram för X n μ σ/ n, X i Exp(1) med μ = σ = 1..5 n=1.4.2 n= n= n= n= n= Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 12/18

13 Summa av tärningar.2 p X (k) Antal tärningar k Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 13/18

14 Exempel: Sten, sax och påse Per och Lisa spelar sten, sax och påse. Vinnaren får en krona av förloraren, vid oavgjort händer inget. Antag att det är samma sannolikhet för vinst, oavgjort och förlust. a) Bestäm fördelningen för Lisas vinst i en spelomgång. b) Beräkna väntevärde och varians för Lisas vinst i en spelomgång. c) Vad är sannolikheten att Lisa totalt vunnit minst 5 kr efter 5 spelomgångar?.8.6 Sannolikhetsfunktion Normalapproximation Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 14/18

15 CGS och Gaussapproximation (Delta metoden) E(X i ) = μ V(X i ) = σ 2, X 1, X 2,..., X n oberoende likafördelade. Vi har att n (g( Xn ) g(μ)) g (μ) n( X n μ) = σ g (μ) X n μ σ/ n }{{} CGS ger N(,1) N(, σ g (μ) ). Vilket ger att g( X n ) N(g(μ), g (μ) σ n ). Det här är användbart i statistiken sedan! Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 15/18

16 Exempel: Mätning av tyngdacceleration Tyngdaccelerationen, g, mäts genom att tiden, t, det tar för en kula att, från stillastående, falla s = 1 m mäts. Från fysiken vet vi att: s = gt2 2 g = 2s 2s t 2 t = g Anta att varje mätning, T i, är oberoende och rektangelfördelade kring det rätta värdet med en osäkerhet på ±.5 s. Bestäm variansen av G = 2s efter n oberoende mätningar. T 2 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 16/18

17 Exempel: Mätning av tyngdacceleration Anna Lindgren FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 17/18

18 Medelvärde av 1 mätningar Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 18/18