Väntevärde och varians
|
|
- Anna-Karin Öberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TNG6 F Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som kan säljas för fullt pris 595 kr. Dock finns det 15% chans att fel uppstår som gör att spelet säljs till det reducerade priset 44 kr. Dessutom finns det 5% chans att spelet pga fel kasseras till kostnad av 18 kr. För att kunna säga något om vinsten per spel resonerar gruppen som man gjorde i kursen TNG6. Lösning: Antag att man tillverkar N spel, där N 1 av dem säljes till ett fullt pris, N 2 säljes till ett reducerat pris och N 3 kasseras, så att N = N 1 + N 2 + N 3. Den totala vinsten blir Vinsten per spel blir 595N N 2 18N N N 2 18N 3 N För ett stort antal tillverkade spel bör = 595 N 1 N + 44N 2 N 18N 3 N. Då blir vinsten per spel approximativt N 1 N.8, N 2 N.15, N 3 N = 533. Vi har räknat ut en förväntad vinst per spel. Vi kan också resonera så här. Låt X = vinsten per spel. Då är X en diskret s.v. som antar värdena x = 18, 44, 595 och har sannolikhetsfunktionen P (X = 18) =.5, P (X = 44) =.15, P (X = 595) =.8. Den förväntade vinsten per spel är då E(X) = 18 P (X = 18) + 44 P (X = 44) P (X = 595) = 533. Vi kallar E(X) för väntevärdet för den s.v. X och gör följande definition. 1
2 5.1. Väntevärde Definition 5.2. Väntevärdet för den s.v. X definieras av x p X (x) diskret s.v., x E(X) = x f X (x) dx kontinuerlig. s.v. Andra beteckningar är µ eller µ X. Tolkning: Väntevärdet är ett lägesmått som anger var sannolikhetsmassan ligger i genomsnitt. T.ex har vi i envariabelanalysen visat att E(X) är x-koordinaten för tyngdpunkten för den plana ytan under grafen till y = f(x). Exempel 5.3. Bestäm väntevärdet till den diskreta s.v. X som har sannolikhetsfunktionen p X (k) =.5, k = 1, 2,..., 8 p X (9) =.6 p X (k) = för övrigt Lösning: Det följer att E(X) = 9 kp X (k) = ( ) = 7.2 k=1 I det exemplet ser vi att väntevärdet 7.2 är ett bättre lägesmått på sannolikhetsmassan än medianen 5. (Medianen är 5 eftersom det finns lika många tal till höger som till vänster om just talet 5.) 2
3 Exempel 5.4. Bestäm väntevärdet till en exponentialfördelad s.v. X med täthetsfunktionen f X (x) = 1 µ e x/µ, x. Beräkna också medianen för X. I figuren nedan är µ = 2 och medianen
4 Nästa sats visar hur man beräknar väntevärdet för funktioner av s.v. Sats 5.5. Låt Y = g(x). Då är g(x) p X (x) x E(Y ) = g(x)f X (x) dx diskret s.v., kontinuerlig. s.v. Låt Z = g(x, Y ). Då är E(Z) = g(x, y) p XY (x, y) x y g(x, y)f XY (x, y) dxdy diskret s.v., kontinuerlig. s.v. Exempel 5.6. Antag att f X,Y (x, y) = 2, då < y < x < 1. Bestäm E(X 2 Y ). Lösning: 5.2. Varians Vi använder Sats 5.5 till att definiera ett spridningsmått. Definition 5.7. Låt X vara en s.v. 1. Variansen, V (X), är ett mått på hur utspridd sannolikhetsmassan är för den s.v. X och definieras via V (X) = E((X µ) 2 ). 2. Standardavvikelsen definieras via D(X) = V (X). Standardavvikelsen betecknas också σ eller σ X. 4
5 I figuren ser vi hur sannolikhetsmassan är utspridd för olika värden på variansen. Grafen med högsta toppen har σ =.25, grafen med näst högsta topp har σ = 1 och grafen med lägsta topp har σ = 2. Ofta är det enklast att beräkna variansen enligt nästa sats. Sats 5.8. Steiners sats. V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. Bevis: Enligt Definition 5.7, så är V (X) = E((X µ) 2 )) = Eftersom E(X 2 ) = så följer att = x 2 f X (x) dx 2µ (x µ) 2 f X (x) dx x 2 f X (x) dx, µ = E(X) = xf X (x) dx + µ 2 f X (x) dx xf X (x) dx och V (X) = E(X 2 ) 2µ 2 + µ 2 = E(X 2 ) µ 2 = E(X 2 ) (E(X)) 2. x 2 f X (x) dx = 1, Exempel 5.9. Experiment visar att en kontinuerlig s.v. X kan ha en linjär täthetsfunktion f X (x). Man vet också att X har väntevärdet E(X) = 7/ Bestäm konstanterna a och b så att f X (x) = { ax + b, < x < 1 annars blir en täthetsfunktion. 2. Bestäm variansen V (X). 3. Bestäm sannolikheten för att X >.1 givet att X <.5, dvs P (X >.1 X <.5). Lösning: : 5
6 1. f X måste uppfylla samt 1 = 7 12 = E(X) = f X (x) dx = Detta ger att a = 1 och b = 1/2. 2. Variansen ges av xf X (x) dx = V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = (ax + b) dx = a/2 + b x 2( x x(ax + b) dx = a 3 + b 2. ) ( 7 ) 2 11 dx = P (X >.1 X <.5) = P (.1 < x <.5) P (X <.5) =.5.1 (x + 1/2) dx.5 (x + 1/2) dx =.85. Exempel 5.1. Beräkna variansen för 1. s.v. X Exp(µ). 2. s.v. Y 2 då Y Re(, 1) 6
7 5.3. Räknelagar för väntevärde Följande räknelagar för väntevärde gäller. Sats Låt X och Y vara s.v. Då är 1. E(aX + b) = ae(x) + b (E är linjär!) 2. E(aX + by ) = ae(x) + be(y ) 3. Om X och Y är oberoende så E(XY ) = E(X) E(Y ). Bevis: 1. Vi har att E(aX + b) = 2. Eftersom f X (x) = E(aX + by ) = (ax + b)f X (x) dx = a = a = a f XY (x, y) dy och f Y (y) = xf X (x) dx + b f X (x) dx = ae(x) + b. (ax + by)f XY (x, y) dxdy ( ) x f XY (x, y) dy dx + b xf X (x) dx + b = ae(x) + be(y ) 3. Om X och Y är oberoende så E(XY ) = = xyf XY (x, y) dxdy = xf X (x) dx = E(X)E(Y ) yf X (x) dy yf Y (y) dy f XY (x, y) dx, så får vi att ( ) y f XY (x, y) dx dy xyf X (x)f Y (y) dxdy 7
8 5.4. Räknelagar för variansen Ett beroendemått mellan X och Y är kovariansen. Definition Kovariansen C(X, Y ) definieras via C(X, Y ) = E(X Y ) E(X) E(Y ). Om C(X, Y ) = säger vi att X och Y är okorrelerade. Anmärkning Av definitionen av kovariansen följer att om X och Y är oberoende, så är C(X, Y ) =. Följande räknelagar för variansen gäller. Sats Det gäller att 1. V (ax + b) = a 2 V (X) 2. V (ax + by ) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ) + 2abC(X, Y ). 3. Om X och Y är oberoende, så är (a) V (ax + by ) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ). (b) σ ax+by = a 2 σx 2 + b2 σy 2. Bevis: 1. Steiners sats V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 ger att V (ax + b) = E((aX + b) 2 ) (E(aX + b)) 2 = E(a 2 X 2 + 2abX + b 2 ) (E(aX + b)) 2 Eftersom E är linjär och E(b) = b (ty b ej s.v.), så fås V (ax + b) = a 2 E(X 2 ) + 2abE(X) + E(b 2 ) (ae(x) + b) 2 = a 2 E(X 2 ) + 2abE(X) + b 2 a 2 (E(X)) 2 2abE(X) b 2 = a 2 (E(X 2 ) E(X)) 2 ) = a 2 V (X). 2. Enligt 1) ovan så V (ax + by ) = E((aX + by ) 2 ) (E(aX + by )) 2 = a 2 E(X 2 ) + 2abE(XY ) + b 2 E(Y 2 ) (ae(x) + be(y )) 2 = a 2 E(X 2 ) + 2abE(XY ) + b 2 E(Y 2 ) a 2 (E(X)) 2 2abE(X)E(Y ) b 2 (E(Y )) 2 = a 2 [E(X 2 ) (E(X)) 2 ] + b 2 [E(Y 2 ) (E(Y )) 2 ] + 2ab[E(XY ) E(X)E(Y )] = a 2 V (X) + b 2 V (Y ) + 2abC(X, Y ). 3a. Om X och Y är oberoende, så är C(X, Y ) = och därmed följer ur 2) att V (ax + by ) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ) + 2abC(X, Y ) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ). 8
9 3b. Eftersom D 2 (X) = V (X), D 2 (Y ) = V (Y ) och D 2 (ax + by ) = V (ax + by ), så följer ur 3a) att D 2 (ax + by ) = V (ax + by ) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ) = a 2 D 2 (X) + b 2 D 2 (Y ). Exempel Antag att E(X) = 2, E(X 2 ) = 5, E(Y ) = 1 och V (Y ) = 3, där X och Y är oberoende s.v. Beräkna E(XY ), E(X 2 Y 2 ) samt D(6X 7Y ). Lösning: Eftersom X och Y är oberoende s.v., så E(XY ) = E(X)E(Y ) = 2 1 = 2. Vidare, eftersom V (Y ) = E(Y 2 ) (E(Y )) 2, dvs E(Y 2 ) = V (Y ) + (E(Y )) 2 = = 4, så följer att E(X 2 Y 2 ) = E(X 2 )E(Y 2 ) = 2 4 = 8. Eftersom V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = = 1, så D 2 (6X 7Y ) = V (6X 7Y ) = V (6X +( 7)Y ) = 6 2 V (X)+( 7) 2 V (Y ) = = 183. Alltså så är D(6X 7Y ) = Exempel Låt X 1 och X 2 vara oberoende s.v. med samma sannolikhetsfunktion p X () = 1 4, p X(1) = 1 2 och p X(2) = 1. Bestäm sannolikhetsfunktion, väntevärde och 4 varians för summan Y = X 1 + X 2. Lösning: Den s.v. Y antar värdena k =, 1, 2, 3, Eftersom X 1 och X 2 är oberoende s.v., så ges sannolikhetsfunktionen för Y av p Y (y) = P (Y = k) = Detta ger för i+j=k p X1 X 2 (i, j) = k = : P (Y = ) = p X1 () p X2 () = 1 16 i+j=k p X1 (i)p X2 (j) = k p X1 (n)p X2 (n k) n= k = 1: P (Y = 1) = p X1 () p X2 (1) + p X1 (1) p X2 () = 1 4 k = 2: P (Y = 2) = p X1 () p X2 (2) + p X1 (1) p X2 (1) + p X1 (2) p X2 () = 3 8 k = 3: P (Y = 3) = p X1 (1) p X2 (2) + p X1 (2) p X2 (1) = 1 4 k = 4: P (Y = 4) = p X1 (2) p X2 (2) = En kontroll visar att p Y (k) = Väntevärdet för Y blir E(Y ) = k= k= 4 1 kp Y (k) = = 2. 9
10 3. Väntevärdet för X 1 är E(X 1 ) = 2 n= På samma sätt så är E(X 2 ) = 1. Detta ger att n p X1 (n) = = 1. E(Y ) = E(X 1 + X 2 ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) = Eftersom så är E(X 2 1) = 2 n= n 2 p X1 (n) = = 3 2 V (X 1 ) = E(X 2 1) (E(X 1 )) 2 = 1 2 På samma sätt följer att V (X 2 ) = 1. Därmed har vi att 2 V (Y ) = V (X 1 + X 2 ) = V (1 X X 2 ) = 1 2 V (X 1 ) V (X 2 ) = = 1. Exempel Låt (X, Y ) vara en kontinuerlig tvådimensionell s.v. Sätt { 8xy, < x < 1, < y < x, f XY (x, y) = annars. 1. Bestäm de marginella täthetsfunktionerna f X (x) resp. f Y (y). 2. Beräkna beroendemåttet kovariansen C(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). Lösning: Verifiera först att f XY f X (x) = f y (y) = Vidare gäller att är en täthetsfunktion. Det följer att f XY (x, y) dy = 8 f XY (x, y) dx = 8 y x xy dy = 4x 3, < x < 1, xy dx = 4y(1 y 2 ), < y < 1. och Dessutom är E(X) = E(Y ) = E(XY ) = xf XY (x, y) dydx = yf XY (x, y) dydx = xyf XY (x, y) dydx = 8 xf X (x) dx = 4 5 yf Y (y) dy = x x 2 y 2 dy =
11 så att kovariansen är C(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = Exempel Den simultana täthetsfunktionen för den s.v. (X, Y ) ges av { 2(x + y), < x < 1, < y < x f XY (x, y) = annars. 1. Bestäm V (X). 2. Bestäm täthetsfunktionen för s.v. Z = Y X. Lösning: a) Eftersom den marginella täthetsfunktionen ges av så är f X (x) = f XY (x, y) dxdy = 2 x V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 =.1. (x + y) dxdy = 3x 2, < x < 1, b) Fördelningsfunktionen ges av F Z (z) = P (Z < z) = 2 Därmed är täthetsfunktionen zx (x + y) dydx = 1 3 (2z + z2 ), < z < 1. f Z (z) = F Z(z) = 2 (1 + z), < z < 1. 3 Exempel Ett system utgörs av en parallellkoppling av n komponenter och fungerar så länge som minst en av komponenterna fungerar. Antag att komponenternas livslängder X j Exp(µ), j = 1, 2,..., n är oberoende s.v. 1. Låt X vara systemets livslängd. Bestäm täthetsfunktionen f X (x) för X. 2. Bestäm systemets förväntade livslängd då n = 2. Lösning: a) Om X j Exp(µ), så är täthetsfunktionen f Xj (x) = 1 µ e x/µ, x > och fördelningsfunktionen F Xj (x) = x f Xj (t) dt = 1 e x/µ x >. 11
12 Eftersom systemet fungerar så länge en komponent fungerar så är X = max{x 1, X 2..., X n }. Då X j är oberoende följer att X har fördelningsfunktionen F X (x) = P (X x) = P (X 1, X 2..., X n < x) = P (X 1 < x, X 2..., X n < x) = P (X 1 < x) P (X 2 < x) P (X n < x) = (1 e x/µ ) n. Därmed har X täthetsfunktionen f X (x) = F X(x) = n µ e x/µ (1 e x/µ ) n 1, x >. b) Om n = 2, så är E(X) = xf X (x) dx = 2 µ x(e x/µ e 2x/µ ) dx = 3 2 µ. Exempel 5.2. Den kontinuerliga s.v. X har täthetsfunktionen f X (x) = { 2xe x 2, x annars. Låt Y = X 4 och beräkna E(Y ); dels direkt och dels genom att först beräkna och använda täthetsfunktionen för Y. Exempel Bestäm väntevärdet för livslängden hos det seriekopplade systemet i Exempel 3.1 i FÖ3. (Jämför med Exempel 5.19 ovan). Exempel Den s.v. X är likformigt fördelad på ( 1, 1). Låt Y = e X och beräkna E(Y ); dels direkt och dels genom att först beräkna och använda täthetsfunktionen för Y. 12
13 5.5. Stora talens lag Nedan formulerar vi en viktig lag inom teorin för sannolikhetsläran. Lagen säger att det aritmetiska medelvärdet av flera oberoende s.v. med samma väntevärde µ liggar nära µ, bara antalet är tillräckligt stort. Sats Antag att X j, j = 1, 2,..., är oberoende s.v. sådana att E(X j ) = µ, j = 1, 2,.... Låt X n = 1 X k. n k=1 Då gäller för alla ε > att P (µ ε < X n < µ + ε) 1, n. För att bevisa satsen behöver man följande kända olikheter. Sats Antag X vara en s.v. med väntevärde µ och standardavvikelse σ >. Låt k >. Då gäller 1. Markovs olikhet: 2. Chebyshevs olikhet: P (X k) µ k. P ( X µ kσ) 1 k 2. 13
SF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 31.01.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 31.01.2012 1 / 30 Flerdimensionella
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merFöreläsning 6, Matematisk statistik Π + E
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, De stora talens lag Jan Grandell & Timo Koski 04.02.2016 Jan Grandell & Timo
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik Π + E
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 25 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 1/16 Repetition Summor max/min
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
max/min Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 5 Johan Lindström 25 september 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 1/25 max/min Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer Anna Lindgren 27+28 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 1/21 sum/max/min V.v./var Summa av
Läs merStokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Läs merFöreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden
Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 6 MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. Tatjana Pavlenko 12 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer
Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F5: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden Anna Lindgren 20+21 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådim. stokastisk
Läs merStokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merExempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor
Kontinuerliga stokastiska variabler Exempel En stokastisk variabel är kontinuerlig om den kan anta vilka värden som helst i ett intervall, men sannolikheten för varje enskilt utfall är noll: P(X = x) =.
Läs merFöreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer
Föreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer Stas Volkov 2017-09-26 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z = X + Y p Z (k)
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merSannolikhet och statistik XI
April 219 Betingade väntevärden. Vi ska säga att E[Y X = x] är väntevärdet av den sv som samma förd som Y givet X = x. Definition: Y diskret: E[Y X = x] = y k V Y y k p Y X (y k x), Y kont: E[Y X = x]
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs mer2 x dx = [ x ] 1 = 1 ( 1 (1 0.9) ) 100 = /
Föreläsning 5: Matstat AK för I, HT-8 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR I HT-8 FÖRELÄSNING 5: KAPITEL 4.6 7: SUMMOR, MAXIMA OCH ANDRA FUNKTIONER AV S.V. KAPITEL 5. : VÄNTEVÄRDEN, LÄGES- OCH SPRIDNINGSMÅTT EXEMPEL
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag Jörgen Säve-Söderbergh Väntevärde för en funktion av en stokastisk variabel Om
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 7 / TEN 8 maj 18, klockan 8.-1. Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 79-687 Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk statistik
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 6 Johan Lindström oktober 8 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Summa
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merFöreläsning 7: Stokastiska vektorer
Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Johan Thim johanthim@liuse oktober 8 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX = µ X, V X = σx, EY = µ Y samt V Y = σy Kovariansen CX, Y definieras
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.
Läs merSummor av slumpvariabler
1/18 Summor av slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 9/2 2011 2/18 Dagens föreläsning Parkeringsplatsproblemet Räkneregler för väntevärden Räkneregler
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 79 / TEN 1 augusti 14, klockan 8.00-12.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 28-1474) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA STATISTIK VARIABLER. Tatjana Pavlenko. 8 september 2017
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 5 FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 8 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av de viktiga begreppen diskret/kontinuerlig
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler Jörgen Säve-Söderbergh Stokastisk variabel Singla en slant två gånger. Ω = {Kr Kr, Kr Kl, Kl Kr, Kl Kl}
Läs merTAMS79: Föreläsning 4 Flerdimensionella stokastiska variabler
TAMS79: Föreläsning 4 Flerdimensionella stokastiska variabler Johan Thim (johan.thim@liu.se) 1 november 18 Vi fokuserar på två-dimensionella variabler. Det är steget från en dimension till två som är det
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 23 mars, 2018 PLAN FÖR DAGENSFÖRELÄSNING Repetition av betingade sannolikheter, användbara satser
Läs merStokastiska signaler. Mediesignaler
Stokastiska signaler Mediesignaler Stokastiska variabler En slumpvariabel är en funktion eller en regel som tilldelar ett nummer till varje resultatet av ett experiment Symbol som representerar resultatet
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler
Läs mer9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 augusti 218, klockan 8.-12. Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merOberoende stokastiska variabler
Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen
Läs merTAMS79: Matematisk statistik vt 2013
TAMS79: Matematisk statistik vt 3 Föreläsningsanteckningar Johan Thim, MAI.5. 5 3 3 TAMS79: Föreläsning Grundläggande begrepp Johan Thim 3 januari 3. Begrepp Ett slumpförsök är ett försök där resultatet
Läs merFINGERÖVNINGAR I SANNOLIKHETSTEORI MATEMATISK STATISTIK AK FÖR I. Oktober Matematikcentrum Matematisk statistik
FINGERÖVNINGAR I SANNOLIKHETSTEORI MATEMATISK STATISTIK AK FÖR I Oktober Matematikcentrum Matematisk statistik CENTRUM SCIENTIARUM MATHEMATICARUM LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK
Läs merF5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)
Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 2 augusti 217, klockan 8-12 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827 Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merF7 forts. Kap 6. Statistikens grunder, 15p dagtid. Stokastiska variabler. Stokastiska variabler. Lite repetition + lite utveckling av HT 2012.
F7 forts. Kap 6 Statistikens grunder, 15p dagtid HT 01 Lite repetition + lite utveckling av Stokastisk variabel Diskreta och kontinuerliga sv Frekvensfunktion (diskr.), Täthetsfunktion (kont.) Fördelningsfunktion
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 06 FACIT: Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 07-0-04 kl..0-.0 Examinator
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 216 FACIT: Matematik 3 för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik 3 för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 216-1-21 kl. 8.3-12.3
Läs merStat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT
Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT Jointly distributed Joint probability function Marginal probability function Conditional probability function Independence
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Väntevärde, varians, standardavvikelse, kvantiler Uwe Menzel, 28 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Väntevärdet X : diskret eller kontinuerlig slumpvariable
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Normalfördelning, Centrala gränsvärdessatsen, Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 06.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik
Läs merBengt Ringnér. September 20, Detta är föreläsningsmanus på lantmätarprogrammet LTH vecka 5 HT07.
Väntevärden Bengt Ringnér September 0, 007 1 Inledning Detta är föreläsningsmanus på lantmätarprogrammet LTH vecka 5 HT07. Väntevärden Låt X vara en stokastisk variabel som representerar ett slumpmässigt
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 3 Johan Lindström 4 september 7 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 /3 fördelningsplot log- Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merBengt Ringnér. October 30, 2006
Väntevärden Bengt Ringnér October 0, 2006 1 Inledning 2 Väntevärden Låt X vara en stokastisk variabel som representerar ett slumpmässigt försök, t ex att mäta en viss storhet. Antag att man kan göra, eller
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F6: Betingade fördelningar Exempel: Tillförlitlighet Styrkan hos en lina (wire) kan modelleras enligt en stokastisk variabel Y. En tänkbar modell för styrkan är Weibullfördelning. Den last som linan utsätts
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merTENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1 2012-10-03 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:
Läs merFöreläsning 8 för TNIU23 Integraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integraler och statistik Krzysztof Marciniak ITN, Campus Norrköping, krzma@itn.liu.se www.itn.liu.se/ krzma ver. - 9--6 Inledning - lite om statistik Statistik är en gren av tillämpad
Läs merTENTAMEN MÅNDAGEN DEN 22 OKTOBER 2012 KL a) Bestäm P(ingen av händelserna inträffar). b) Bestäm P(exakt två av händelserna inträffar).
Tekniska högskolan i Linköping Matematiska institutionen Matematisk statistik,jan Olheim MATEMATIK:Statistik 9MA31 STN, 9MA37 STN TENTAMEN MÅNDAGEN DEN OKTOBER 01 KL 14.00-18.00. Hjälpmedel:Formler och
Läs merUppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merSF1901: Övningshäfte
SF1901: Övningshäfte 24 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på
Läs merCentrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer
TNG006 F7 25-04-2016 Centrala gränsvärdessatsen (CGS. Approximationer 7.1. Centrala gränsvärdessatsen Vi formulerade i Sats 6.10 i FÖ6 en vitig egensap hos normalfördelningen som säger att en linjär ombination
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 4: Flerdim
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 4: Flerdim Johan Lindström 3+4 september 26 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim /5 Transformer Inversmetoden Transformation av stokastiska variabler
Läs merNågra extra övningsuppgifter i Statistisk teori
Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,
Läs merMatematisk statistik TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS63 Tentamen 8-8- Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof Elias,
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics
Läs merSannolikheter och kombinatorik
Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter
Läs merTvå parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 28-9-3 Normalfördelningen, X N(µ, σ) f(x) = e (x µ)2 2σ 2, < x < 2π σ.4 N(2,).35.3.25.2.5..5
Läs merTMS136. Föreläsning 5
TMS136 Föreläsning 5 Två eller flera stokastiska variabler I många situationer är det av intresse att betrakta fler än en s.v. åt gången Speciellt gör man det i statistik där man nästan alltid jobbar med
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merTMS136. Föreläsning 5
TMS136 Föreläsning 5 Två eller flera stokastiska variabler I många situationer är det av intresse att betrakta fler än en s.v. åt gången Speciellt gör man det i statistik där man nästan alltid jobbar med
Läs merTAMS79: Föreläsning 6. Normalfördelning
TAMS79: Föreläsning 6 Normalfördelningen Johan Thim (johan.thim@liu.se 3 november 018 Normalfördelning Definition. Låt µ R och > 0. Om X är en stokastisk variabel med täthetsfunktion f X ( = 1 ( ep ( µ,
Läs merTentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp
Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.
Läs merUppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SF905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E AUGSTI 204 KL 08.00 3.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och
Läs merFördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret stokastisk variabel.
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret
Läs merTAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära
TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen TAMS65 - Mål Kursens övergripande mål är att ge
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F3: Slumpvariaber och fördelningar Diskret Kontinuerlig Slumpvariabler Slumpvariabler = stokastiska variabler = random variables = s.v. Heter ofta X, Y, T. Diskreta kan anta ändligt eller uppräkneligt
Läs mer19.1 Funktioner av stokastiska variabler
9. Funktioner av stokastiska variabler 9.. Oberoende stokastiska variabler Som vi minns innebär P(A B) = P(A) P(B) att händelserna A och B är oberoende. Låt A vara händelsen att X < x och B vara händelsen
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merSimulering av elmarknader. EG2205 Föreläsning 11, vårterminen 2016 Mikael Amelin
Simulering av elmarknader EG2205 Föreläsning 11, vårterminen 2016 Mikael Amelin 1 Kursmål Tillämpa stokastisk produktionskostnadssimulering och Monte Carlo-simulering för att beräkna förväntad driftkostnad
Läs merhistogram över 1000 observerade väntetider minuter 0.06 f(x) täthetsfkn x väntetid
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 4, 28-3-27 EXEMPEL: buss. Från en busshållplats avgår en buss var 2 min (inga
Läs merFormler och tabeller till kursen MSG830
Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)
Läs merFöresläsningsanteckningar Sanno II
Föresläsningsanteckningar 1 Gammafunktionen I flera av våra vanliga sannolikhetsfördelningar ingår den s.k. gamma-funktionen. Γ(p) = 0 x p 1 e x dx vilken är definierad för alla reella p > 0. Vi ska här
Läs merFöreläsning 15: Försöksplanering och repetition
Föreläsning 15: Försöksplanering och repetition Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 19, 2015 Utfall och utfallsrum Slumpmässigt försök Man brukar säga att ett slumpmässigt försök
Läs merAntal ögon Vinst (kr) Detta leder till följande uttryck E(x) = x x p X(x) x f X(x)dx
8. Väntevärde Exempel. Banken ordnar ett tärningsspel där de spelande erlägger en insats på 5 kr/kast. Vinsten är beroende på hur många ögon tärningen visar: Antal ögon 3 4 5 6 Vinst (kr) 3 4 5 6 7 8 Hur
Läs merÖvning 1. Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen
Läs merMer om slumpvariabler
1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja
Läs mer