Antal ögon Vinst (kr) Detta leder till följande uttryck E(x) = x x p X(x) x f X(x)dx

Transkript

1 8. Väntevärde Exempel. Banken ordnar ett tärningsspel där de spelande erlägger en insats på 5 kr/kast. Vinsten är beroende på hur många ögon tärningen visar: Antal ögon Vinst (kr) Hur går det i långa loppet för banken? Vilket är vinstens väntevärde. Eftersom tärningen är välgjord har varje elementarhändelse p = 6. Detta leder till följande uttryck E(x) = = Den utdelade vinsten efter varje kast är i långa loppet 5.5 kr. Eftersom banken endast får in 5 kr/kast blir vinsten.5 kr/kast. Vi råder banken att avsluta spelet. Definition. Väntevärdet för den SV X definieras av x x p X(x) E(X) = x f X(x)dx Exempel. Vid ett parkeringshus i staden betalas en fast avgift om kr vid varje parkeringstillfälle och dessutom en rörlig avgift på 5 kr/tim proportionell mot parkeringstidens längd. Den tid en kund har sin bil parkerad är en SV X med frekvensfunktionen f X (x) = e x. Låt Y vara den avgift kunden betalar. Beräkna E(Y). f Y (x) = + 5 e x dx Definitionen ger oss E(Y) = + 5 xe x,dx = 5 Det förväntade värdet en kund kommer att betala är 5 kr. Exempel 3. Parkeringshuset ändrade strategi genom att slopa den fasta avgiften och istället lät kunden betala kr/tim de första 3 timmarna och därefter fortsättningsvis 5 kr/tim. Tiden för parkeringen är som tidigare en SV med frekvensfunktionen f X (x) = e x. Låt Y vara den avgift kunden betalar. Beräkna E(Y). Håkan Strömberg KTH Syd

2 8.. VÄNTEVÄRDE Här måste vi dela upp E(Y) i två fall E(Y) = 3 xe x (x + 3)e x dx 97.5 Om detta inte kommer att leda till fler kunder är det en dåligt strategi i jämförelse med den tidigare! Exempel 4. I en affär kommer dagens första kund till X minuter efter öppningsdags. Man kan betrakta X som en SV med frekvensfunktionen f(x) X =.e.x Bestäm väntevärdet E(X) för när första kunden anländer. E(X) =.e.x dx = 5 Detta är alltså det aritmetiska medelvärdet av väntetiderna innan den första kunden anländer. För att bestämma medianen för X har vi att lösa ekvationen x.e.x dx = Lösningen x = 5ln 3.47 minuter betyder att det är lika vanligt att första kunden kommer före tiden 3.47 som efter Figur 8.: Frekvensfunktionen med väntevärde och median markerade Exempel 5. För att ge geometriska tolkningar av väntevärde och median för kontinuerliga SV, startar vi med { x x f X (x) = för övrigt Väntevärdet får vi genom Medianen genom att lösa ekvationen x x dx = 3 x.943 som ger x =. x dx = Håkan Strömberg KTH Syd

3 Figur 8.: Medianen delar triangelns area mitt itu. Väntevärdet anger den linje på vilken triangelns tyngdpunkt ligger Problem. Banken har numera övergått till ett annat spel... Insatsen är som förut 5 kr/spel. Spelaren får nu dra ett kort från en välblandad kortlek. Vad banken betalar ut beror på vilket kort man drar Kort Ess Kung Dam Knekt - Vinst (kr) 5 5? Bestäm utbetalningen för knekt för att spelet ska bli helt jämnt, det vill säga vinstens väntevärde är kr/spel. Exempel 6. Ett företag tillverkar glasspinnar som ska ha en viss längd, a cm, GB, som köper dessa pinnar tolererar pinnar i intervallet [a, a + ]. Vi antar här till att börja med a = 5, alltså pinnar i intervallet [4,6] cm är godkända. På godkänd pinne tjänar företaget öre. Är pinnen för kort, måste den kasseras med en förlust av 4 öre. För långa pinnar kan kapas, även om man då alltid lyckas att få till en godkänd pinne, blir vinsten, på grund av det extra arbetet, på den pinnen öre. En empirisk undersökning har visat att längden X hos en slumpmässigt vald pinne är en SV som approximativt har frekvensfunktionen f(x) = e x 5 < x < Hur mycket kommer företaget att tjäna på en slumpmässigt vald pinne? Om man tillverkar pinnar och det visar sig att n = 53 blev för korta n = 865 blev direkt godkända n 3 = 8 blev för långa kan man räkna ut att ( 4) =.653 vilket betyder att man i snitt tjänat.653 öre/pinne. Vi önskar i första hand ett C-program som kan simulera tillverkningen av ett antal pinnar. Frekvansfunktionen. Först studerar vi grafens utseende: Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 8.. VÄNTEVÄRDE Figur 8.3: en lite annorlunda frekensfunktion Vi tar reda på att f(x) = e x 5 int(exp(-*abs(x-a)),x=-infinity..infinity) Integralen är för godtyckliga värden a, då speciellt a = 5. I själva verket är det förstås, så att pinnarna inte kan bli <. Därför är f X (x) endast en approximativ frekvensfunktion (men den duger). f X (x) = e x 5 = e För att kunna simulera denna process krävs tillhörande slumptal, vars funktion vi får genom att invertera funktionen f(x) som vi får genom att lösa ekvationen solve(y=exp(-*abs(x-5)),x) Resultat x = 5 ± lny Från grafen ser vi att y <, därför låter vi datorn generera ett rektangulärt slumptal i intervallet [... ). Dessutom behöver vi ett slumptal, eller som avgör på vilken sida om x = 5 som gäller. Nu är vi klara för att skriva programmet: Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 double slump(void){ if(rand()%==) 3 return 5 log(rand()/((double)rand MAX+.))/.; 4 else 5 return 5+log(rand()/((double)RAND MAX+.))/.; 6 } 7 8 int main(void){ 9 double s; int i,tot=; srand(time()); for(i=;i<=;i++){ 3 s=slump(); 4 if(s<4) 5 tot =4; 6 else 7 if(s>=4 && s<=6) 8 tot++; 9 } printf("%8.3f\n",tot/.); } Kör vi detta program får vi ett svar runt.59. Kan vi lita på resultatet? Med följande tre integraler 4 ( 4)e x 5 dx + och vi har kommit fram till samma resultat på två sätt! 6 4 e x 5 dx + e x 5 dx Varians och standardavvikelse Definition. Låt X vara en diskret SV som antar värdena x,x,... och har väntevärdet E(X) = µ. Variansen för X definieras då Standaravvikelsen för X är V(X) = E((X µ) ) = n (x i µ) P(X = x i ) i= S(X) = V(X) Definition 3. Låt X vara en kontinuerlig SV med frekvensfunktionen f X (x) och väntevärdet E(X) = µ. Variansen för X definieras då Standaravvikelsen för X är Sats. V(X) = E((X µ) ) = S(X) = V(X) V(X) = E(X ) µ (x µ) f X (x)dx Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 8.. VÄNTEVÄRDE Exempel 7. Beräkna varians och standardavvikelse för SV X { f X (x) = 36x(6 x) x 6 för övrigt Lösning: Väntevärdet E(X) får vi genom 6 x x(6 x)dx = 3 36 Variansen blir då 6 (x 3) 36 x(6 x)dx = 9 5 Samma resultat hade vi kunnat få genom 6 x 36 x(6 x)dx 3 = 9 5 Problem. Bestäm konstanten C så att blir en frekvensfunktion f(x) = Cx för x 6 Problem 3. Bestäm alla reella tal a och b sådana att f(x) = a e x b e x för x Problem 4. Väntetiden X (enhet: minut) från öppningsdags till dess första kunden kommer in i en affär, är en SV med fördelningsfunktionen för { x < F X (x) = e.4x x Beräkna sannolikheten att första kunden dröjer a) högst 3 minuter b) minst 4 minuter c) mellan 3 och 4 minuter d) högst 3 eller minst 4 minuter e) precis.5 minuter. Problem 5. En person kastar en tärning och får beloppet krona om tärningen visar ett udda tal men beloppet om tärningen visar ett jämnt tal. Låt X beteckna hans vinst. Ange fördelningsfunktionen F X (x). Problem 6. En person kastar en tärning och håller på tills han för första gången får ett utfall som han fått förut. Låt X beteckna antalet kast han utför. Ange fördelningen för X. Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Problem 7. En person singlar slant med ett välbalanserat mynt tills han har fått vart och ett av de två tänkbara utfallen minst två gånger. Beräkna f X (x) där X betecknar antalet utförda kast. Problem 8. Man kastar en välbalanserad tärning en gång. Därefter singlar man slant med ett välbalanserat mynt lika många gånger som antalet ögon tärningen visade. Antalet krona i dessa (ev detta) kast blir en SV X. Beräkna sannolikhetsfunktionen för X. För vilket värde på x är f X (x) maximal? Problem 9. En SV X har fördelningsfunktionen { x < F X (x) = x x Beräkna dess frekvensfunktion och median. Problem. Till ett sammanträde infinner sig X personer. Här är X en SV som antar värdena P(X = 5) =,P(X = 6) =,P(X = 7) =,P(X = 8) = 3 5 Varje person hälsar på varje annan. Ange fördelningen för Y = antalet hälsningar. Problem. En dators livslängd (i månader) antas vara exponentialfördelad med parametern a = 8. Vad är sannolikheten att den håller i minst månader? Om den är hel efter 4 månader, vad är då den betingade sannolikheten att den håller ytterligare månader? Problem. Tiden X i minuter att betjäna en kund i en affär antas vara exponentialfördelad f X (x) = λe λx med parameter λ =. Beräkna a) P(X > 5) b) P(X > ) c) P(X < 8) Problem 3. För livslängden X (i timmar) för en viss typ av elektronrör gäller X Exp(.). Man har 6 sådana rör, som kan antas fungera oberoende av varandra, i en apparat. Låt Y vara antalet rör som fungerar efter timmar. Beräkna a) P(X > ) b) P(Y = 3) c) P(Y > 3) Problem 4. På en gatstump av längden 3 m parkeras slumpmässigt en bil av längden 5 m. Vad är sannolikheten att ytterligare en bil av samma längd får plats? Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 8.. VÄNTEVÄRDE Problem 5. Den stokastiska variabeln X N(, ). Beräkna a) P(X < ) b) P(X < ) c) P(X > 3) d) P(X > ) e) P( < X < ) f) P(X = ) Para ihop uttrycken med graferna nedan Problem 6. Den stokastiska variabeln X N(,) Bestäm talet a så att a) P(X > a) =. b) P(X > a) =.999 c) P( X < a) =.95 d) P(X > a) =.5 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Problem 7. Den stokastiska variabeln X N(, ). Bestäm a) P(X < 3) b) P(X > 4) c) P(X <.5) Problem 8. En maskin producerar metalltappar vars diameter måste understiga.5 tum för att vara användbara i produktionen. En statistisk undersökning har visat att tapparnas diameter kan betraktas som N(.49,.5)-fördelad. a) Hur stor del av de tillverkade tapparna är användbara i produktionen? b) Tapparna förpackas i lådor om 5 stycken. Vad är det förväntade antalet användbara tappar per låda? c) Vad är standardavvikelsen för antalet användbara tappar per låda? Svar. Ekvationen ger svaret x =, vilket betyder insatsen tillbaka. Svar. Vi har att lösa ekvationen I Maple skriver vi x 36 ( 5) + = c x dx = solve(int(c*x^,x=..6)=,c) och får resultatet 7. Svar 3. Först och främst måste ae x b e x dx = sedan ska gälla att ae x b e x då x solve(int(a*exp(-x)-b*exp(-*x),x=..infinity)=, b) ger b = (a ). När vi vet det kan vi skriva om det andra uttrycket ae x (a )e x = e x ( + a(e x )) Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 8.. VÄNTEVÄRDE Svar 4. Svar 5. Svar 6. a) e. b) e.6 c) e. e.6 d) e. + e.6 e) x < F X (x) = x x x P(X = x) Så här tänker man: säg att tre kast har gjorts utan att dubblett uppkommit. Sannolikheten att de tre första kasten inte givit någon dubblett Nästa kast har 3 chanser på 6 att ge dubblett. P(X = 4) = P(X = 5) = Svar 7. Efter 3 kast kan man ha kastat någon av dessa 8 serier: {KKK},{KKG},{KGK},{GKK},{KGG},{GKG},{GGK},{GGG} Sannolikheten att man nu ska få två av varje efter nästa kast är = 3 8 Sannolikheten P(X = 4) = 3 8. Hur många gynnsamma fall finns det för P(X = 5)? Först måste man ta reda på hur många, fyra kast långa, serier det finns, där inte både K och G har dubblerats. Dels finns det en serie med 4 G och dels en med 4 K. Dessutom finns 4 serier med K och 3 G och 4 serier med G och 3 K, totalt. Av dessa kan 8 komma att avbryta kastserien, var och en med sannolikheten. P(X = 5) = = 4 Kan vi nu direkt ställa upp uttrycket för P(X = 6)? P(X = 6) = = 5 3 Håkan Strömberg KTH Syd

11 och för P(X = x)? P(X = x) = Svar 8. Binomialfördelningen ger P(X = x) = x + (x ) x = x x ( n x )( ) x ( ) n x = ( n x )( n, som är vad tärningen visar, kan anta värdena,... 6 alla med sannolikheten 6. Sannolikheten för krona är summan av 6 sannolikheter ( ( P(X = ) = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( )( ) 4 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ) = På samma sätt kan vi nu räkna ut ( ( P(X = ) = ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( ) 3 + ( 4 )( ) 4 + ) n ( 5 ) ( ) 5 + ( 6 ) ( ) ) 6 = 8 Vi kan till slut skriva P(X = x) = 6 6 n= ( )( n x ) n x P(X = x) Svar 9. Med hjälp av Maple diff(-/x^,x); /x^3 int(/x^3,x =..infinity); Integreringen gör vi för att kontrollera att det vi fått verkligen är en frekvensfunktion. Vi ser ju direkt att f X (x) > då x Svar. Antalet hälsningar m då n personer träffas som i vårt fall ger m = n(n ) n m 5 8 P(Y = m) Håkan Strömberg KTH Syd

12 8.. VÄNTEVÄRDE Svar. Med Maple with(stats); -statevalf[cdf, exponential[/8, ]](); evalf(int((/8)*exp(-(/8)*x),x=..infinity)); Två möjligheter som är helt ekvivalenta. A = Att datorn håller i 4 månader. B = Att datorn håller i 4 månader. Eftersom P(A B) = P(A) P(A B) = P(A B) P(B) (-statevalf[cdf,exponential[/8, ]](4))/ (-statevalf[cdf,exponential[/8, ]](4)) Svar. Med Maple Alternativt int(.*exp(-.*x),x=5..infinity); int(.*exp(-.*x),x=..infinity); int(.*exp(-.*x),x=8..infinity); statevalf[cdf,exponential[., ]](5); statevalf[cdf,exponential[., ]](); statevalf[cdf,exponential[., ]](8); Svar 3. Med Maple int(.*exp(-.*x),x=..infinity); bin:=proc(n,p,x); return binomial(n,x)*p^x*(-p)^(n-x); end proc; evalf(bin(6,exp(-),3)); evalf(sum(bin(6,exp(-),x),x=..3)); Håkan Strömberg KTH Syd

13 När man bestämt P(X > ) = e använder man denna sannolikhet i Y som är binomialfördelad ( ) n P(Y = y) = e x ( e x ) n x y Svar 4. Genom figuren ser vi att den vänstra ändan av bilen måste hamna i intervallet Figur 8.4: [,8]. Om den hamnar i intervallet [,3] eller [5,8] finns det plats för en bil till. Svar 5. Med Maple P = (8 5) + (3 ) 8 =.75 n:=proc(m,s,x); return evalf(int(/(s*sqrt(*pi))*exp(-(t-m)^/(*s^)), t=-infinity..x)); end proc: eller n(,,); n(,,-); n(,,3); n(,,-); n(,,)-n(,,-); statevalf[cdf,normald[,]](); statevalf[cdf,normald[,]](-); statevalf[cdf,normald[,]](3); statevalf[cdf,normald[,]](-); statevalf[cdf,normald[,]]()-statevalf[cdf,normald[,]](-); Håkan Strömberg 3 KTH Syd

14 8.. VÄNTEVÄRDE Svar 6. Med Maple n:=proc(m,s,x); return evalf(int(/(s*sqrt(*pi))*exp(-(t-m)^/(*s^)), t=-infinity..x)); end proc: evalf(solve(n(,,x)=.999)); evalf(solve(n(,,x)=.)); evalf(solve(n(,,x)-n(,,-x)=.95)); evalf(solve(n(,,x)=.95)); Svar 7. Med samma funktion som ovan n(,,3); n(,,4);.6687 n(,,-.5); Svar 8. Maple ger oss svaret n(.49,.5,.5); bin:=proc(n,p,x); return binomial(n,x)*p^x*(-p)^(n-x); end proc; sum(x*bin(5,.9775,x),x=..5); sqrt(sum((x )^*bin(5,.9775,x),x=..5)); Håkan Strömberg 4 KTH Syd