Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Transkript

1 Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten. Kursansvarig: Eric Järpe ( , ). Till uppgifterna skall fullständiga lösningar lämnas. Lösningarna skall vara utförligt redovisade! Varje lösning skall börja överst på nytt papper. Endast en lösning per blad. 1. Låt X Exp(lnλ) där λ > 1. Beräkna (a) medianen av X om λ = 2. (b) λ om P( 1 2 < X < 1) = I ett hus installeras ett inbrottslarm. Efter ett års användning har det utlösts 3% av tiden och varit inbrott 8% av tiden. (a) Om händelserna larm och inbrott antas oberoende, vad är sannolikheten att det under ett år blir inbrott eller larm? (2p) (b) Antag att man får falsklarm (dvs larmet går givet att det inte är inbrott) med sannolikhet Vad är den betingade sannolikheten att det blir inbrott under ett år då larmet inte går? 3. Ett parkeringsbolag har 100 parkeringshus runt om i Sverige. En viss dag finns det X 1 bilar i hus 1, X 2 bilar i hus 2, osv. Antag att X 1,X 2,...,X 100 är oberoende av varandra och att X k Poi(50) där k = 1, 2,...,100. Vad är sannolikheten (a) att det sammanlagt finns högst 2 bilar i hus 1, 2 och 3 tillsammans? (Tips: Om Y Z, Y Poi(λ Y ) och Z Poi(λ Z ) så är X+Y Poi(λ Y + λ Z ).) (b) approximativt att det i genomsnitt beräknat på de 100 parkeringshusen finns mellan 49 och 51 bilar per parkeringshus? 4. I en lärobok läser Kalle att... under hösten flyttar ladusvalan söderut och under oktober månad kan man se hur antalet observationer halveras från vecka till vecka.... Kalle betvivlar detta och under oktober observerar han Vecka 41 Vecka 42 Vecka 43 Vecka Kan du på 1% signifikansnivå bevisa att det citerade påståendet inte gäller hos Kalle?

2 5. Pelle tränar för att kvalificera sig till DM i längdhopp. Under dagen har han hoppat 5.48 m, 5.73 m, 5.69 m, 5.58 m, 5.71 m Hoppen kan antas vara normalfördelade. (a) Kan man på 5% signifikansnivå visa att Pelle hoppar längre än 5.5 m? Pelles konkurrent Arne hoppar (tillika normalfördelat) 5.37 m, 5.40 m, 5.81 m, 5.58 m (b) Bilda ett 95% konfidensintervall för den förväntade differensen mellan Pelles och Arnes hopp. 6. Antag att X och Y är oberoende och rektangulärfördelade på (a, 1) där 0 < a < 1. Bestäm konstanten C så att S = C 3 max(x,y ) blir en väntevärdesriktig skattning av standardavvikelsen av X. 2 (4p) LYCKA TILL!

3 Sannolikhetslära Def Om ett experiment har m möjliga utfall varav g är gynnsamma för händelsen A, så är sannolikheten för A P(A) = g/m. Def P är ett sannolikhetsmått om 1. 0 P(A) 1 2. P(Ω) = 1 3. A B = P(A B) = P(A) + P(B) för alla händelser A Ω där Ω är hela utfallsrummet. Multiplikationsprincipen Om ett experiment kan indelas i j delexperiment där det första kan få n 1 utfall andra kan få n 2 utfall så. j:te kan få n j utfall har experimentet totalt n 1 n 2 n j utfall. Additionssatsen P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Def A och B är oberoende händelser om P(A B) = P(A)P(B) Def Den betingade sannonlikheten för A givet B är P(A B) = P(A B) P(B) Bayes sats Om A 1,...,A n är en partition av Ω (dvs att i j A i A j = och n A i = Ω). P(B A k )P(A k ) så är P(A k B) = n P(B A för varje k = 1, 2,...,n. i)p(a i ) Kombinatorik Antalet sätt som k element kan väljas bland n möjliga, utan ( ) återläggning och utan hänsyn till ordningen, är n n! n(n 1) (n k + 1) = = k k! (n k)! k(k 1) 2 1 3

4 Stokastiska X diskret: Sannolikhetsfunktion: p(x) = P(X = x) variabler Fördelningsfunktion: P(X a) = F(a) = x a p(x), X kont.: Täthetsfunktion: f(x) = d P(X x) dx Fördelningsfunktion: P(X a) = F(a) = a f(x)dx. Väntevärde X diskret: Väntevärdet av X: µ = E(X) = x Ω xp(x). och varians Variansen av X: σ 2 = V (X) = x Ω (x µ)2 p(x). X kont: Standardavv. Linjaritet: Regler: Väntevärdet av X: µ = E(X) = x Ω xf(x)dx. Variansen av X: σ 2 = V (X) = x Ω (x µ)2 f(x)dx. Kovariansen av X och Y : Cov(X,Y ) = E((X µ x )(Y µ y )) Korrelationen mellan X och Y : ρ = Cov(X,Y ) V (X)V (Y ) σ = V (X). E(aX + by ) = a E(X) + be(y ) för alla stokastiska variabler X och Y och reella tal a och b. Om X, Y ober. V (ax + by ) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ). Om X diskret E(g(X)) = x Ω g(x)p(x) V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Cov(X,Y ) = x Ω x y Ω y xy p(x,y) E(X)E(Y ) Normalfördelning betecknas N(µ,σ 2 ) där µ är väntevärde och σ 2 är varians N(0, 1) kallas standard normalfördelning, dess fördelningsfunktion Φ(x) Om X N(µ,σ 2 ) så P(X x) = Φ ( ) x µ σ för alla x R. Symmetri: Φ( x) = 1 Φ(x) för alla x R. Sannolikheter: P(a X b) = Φ ( ) ( b µ σ Φ a µ ) σ för all a < b R Def De stokastiska variablerna X 1,X 2,...,X n är ett stickprov på X om X i har samma fördelning som X, i = 1,...,n, och alla variabler är oberoende av varandra på alla nivåer. CGS (Centrala gränsvärdessatsen) Om X 1,...,X n stickprov där E(X ( i ) = µ och V (X i ) = σ 2, i = 1,...,n n så P ( X ) µ) x Φ(x) då n. σ Därför är n X i approximativt N(nµ,nσ 2 ) och X approximativt N(µ, σ2 ) för stora n. n Approximationer Fördelning Villkor Approximativ fördelning Bin(n,π) n 10 och π < 0.1 Po(nπ) Bin(n, π) nπ(1 π) 10 N(nπ, nπ(1 π)) Poi(µ) µ 15 N(µ,µ) 4

5 Statistik Punktskattning Om E(X) = µ, V (X) = σ 2 och X 1,...,X n stickprov på X så är exempel på punktskattningar av µ och σ 2 : ˆµ = X = 1 n X i n ˆσ 2 = S 2 = 1 n (X i µ) 2 = 1 n Xi 2 µ 2 n n om µ är känd ˆσ 2 = S 2 = 1 n 1 om µ är okänd n (X i X) 2 = ( n ) 1 Xi 2 n n 1 X 2 Def En punktskattning, θ, av en parameter θ är väntevärdesriktig om E(θ ) = θ. Om θ 1 och θ 2 är väntevärdesriktiga skattningar av θ, så är θ 1 effektivare än θ 2 om V (θ 1) < V (θ 2). Fördelningar, väntevärden och varianser X p(x),f(x) E(X) V (X) Likf(N) 1/N (N + 1)/2 (N 2 1)/12 x = 1, 2,...,N Diskreta fördelningar Kont. fördelningar Bin(n, p) ( n x ) p x (1 p) n x np np(1 p) x = 0, 1, 2,...,n Poi(λ) e λ λ x /x! λ λ x = 0, 1, 2,... Geo(π) (1 π) x 1 π 1/π (1 π)/π 2 x = 1, 2, 3,... R(a,b) 1/(b a) (a + b)/2 (a b) 2 /12 a x b Exp(λ) λe λx 1/λ 1/λ 2 x > 0 N(µ,σ 2 ) (σ 2π) 1 e (x µ)2 /(2σ 2 ) µ σ 2 x R 5

6 Konfidensintervall Antag X 1,...,X m och Y 1,...,Y n är oberoende och normalfördelade N(µ X,σ 2 ) resp. N(µ Y,σ 2 ). Då är 100(1 α)% konfidensintervall för parametern θ: θ Konf. int. Anm. µ X σ x ± λ α/2 m σ känd µ X x ± t α/2 (m 1) ( s m ) σ okänd σ 2 0, (m 1)s 2 /(χ 2 1 α(m 1)) µ X µ Y ± tα/2 (m+n 2)s m n σ okänd = x ȳ s 2 = (m 1)s2 X +(n 1)s2 Y m+n 2 Hypotestest Antag X 1,...,X n stickprov av en stokastisk variabel med fördelning F med parameter θ. För att testa hypotesen { H0 : θ = θ 0 (nollhypotesen) H 1 : θ Θ (alternativhypotesen) används teststatistikan U = U(X 1,...,X n ), och det kritiska område C α som svarar mot Θ enl. fördelningen F U av U under H 0 vid signifikansnivån α. Testregeln är { Förkasta H0 om u C α Förkasta inte H 0 om u C α F θ H 0 H 1 u F U C α N(µ,σ 2 ) µ µ = µ 0 µ < µ 0 x µ 0 σ/ n N(0, 1) {u < λ α } σ känt µ > µ 0 {u > λ α } µ µ 0 { u > λ α/2 } N(µ,σ 2 ) µ µ = µ 0 µ < µ 0 x µ 0 s/ n t(n 1) {u < t α (n 1)} σ okänt µ > µ 0 {u > t α (n 1)} µ µ 0 { u > t α/2 (n 1)} N(µ,σ 2 (n 1)s ) σ σ = σ 0 σ < σ 2 0 χ 2 (n 1) {u < χ 2 σ 1 α} 0 2 σ > σ 0 {u > χ 2 α} σ σ 0 {u < χ 2 1 α/2 } {u > χ2 α/2 } Kvalitativ F F = F 0 F F 0 i (O i E i ) 2 E i χ 2 (k 1) {u > χ 2 α(k 1)} { p om x = 1 Antag X 1,...,X n stickprov av X med sannolikhetsfunktion p(x) = 1 p om x = 0. Man testar H 0 mot H 1 genom att förkasta H 0 på signifikansnivå α om α 0 < α där H 0 H 1 u F U α 0 p = p 0 p < p 0 i x i Bin(n,p 0 ) P(U < u H 0 ) p > p 0 P(U > u H 0 ) p p 0 { 2P(U < u H0 ) om u < np 0 2P(U > u H 0 ) om u > np 0 Typ I fel är att förkasta H 0 då H 0 är sann. P(Typ I fel) = α. Typ II fel är att inte förkasta H 0 då H 1 är sann. P(Typ II fel) = β. Testets styrka är sannolikheten att förkasta H 0 då H 1 är sann, dvs 1 β. 6

7 Normalfördelningsvärden Tabell över värden på Φ(x) = P(X x) där X N(0, 1). För x < 0 utnyttja relationen Φ(x) = 1 Φ( x). Φ(x) 0 x x x Normal-percentiler: α λ α α λ α Några värden på λ α sådana att P(X > λ α ) = α där X N(0, 1)

8 t-percentiler Tabell över värden på t α (df). 0 t α (df) α df α χ 2 -percentiler Tabell över värden på χ 2 α(df). 0 χ 2 α(df) α df α

9 Poissonfördelningsvärden Tabell över värden på P(x) = P(X x) där X Po(λ). λ Binomialfördelningsvärden Tabell över värden på P(x) = P(X x) där X Bin(n,p). För p > 0.5, utnyttja att P(X x) = P(Y n x) där Y Bin(n, 1 p). n p