Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer
|
|
- Alexander Isaksson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TNG006 F Centrala gränsvärdessatsen (CGS. Approximationer 7.1. Centrala gränsvärdessatsen Vi formulerade i Sats 6.10 i FÖ6 en vitig egensap hos normalfördelningen som säger att en linjär ombination av oberoende normalfördelade s.v. är återigen normalfördelad. I själva veret gäller mer än så. Nedan formulerar vi ett av de vitigaste resultaten inom sannolihetsläran som allas för centrala gränsvärdessatsen, CGS, och som säger att Summan av ett stort antal oberoende liafördelade stoastisa variabler är approximativt normalfördelad. Låt oss först studera följande exempel. Exempel 7.1. Vi astar ett mynt n gånger och låter händelsen A vara lave upp med p = P (A. För varje ast j, där j = 1, 2,..., n, låter vi X j vara en s.v. som antar värdet 1 om A inträffar och 0 annars, dvs { 1, om A inträffar X j = 0, annars Därmed är X j en tvåpuntsfördelad (Bernoulli-fördelad, X j Be(p med och E(X j = 1 p Xj ( = 0 P (X j = P (X j = 1 = 0 P (A + 1 P (A = p, =0 V (X j = E(X 2 j (E(X j 2 = 1 2 p Xj ( p 2 = (0 2 P (X j = P (X j = 1 p 2 = p p 2. =0 Om den s.v. X är antal gånger som A inträffar bland n astförsö, så är X = X 1 + X 2 + X n = X j, där och ( E(X = E X j = ( V (X = V X j = E(X j = np V (X j = n(p p 2 = np(1 p. 1
2 Antag att p = 1/2. 1. För n = 1, så är X = X 1 och P (X = 0 = 1/2, P (X = 1 = 1/2 2. För n = 2, så är X = X 1 + X 2 och P (X = 0 = 1/4, P (X = 1 = 1/2, P (X = 2 = 1/4 3. För n = 3, så är X = X 1 + X 2 + X 3 och P (X = 0 = 1/8, P (X = 1 = 3/8, P (X = 2 = 3/8, P (X = 3 = 1/8 2
3 4. För n = 4, så är X = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 och P (X = 0 = 1/16, P (X = 1 = 4/16, P (X = 2 = 6/16, P (X = 3 = 4/16, P (X = 4 = 1/16 5. För n = 5, så är X = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 och P (X = 0 = 1/32, P (X = 1 = 5/32, P (X = 2 = 10/32, P (X = 3 = 10/32, P (X = 4 = 5/32 P (X = 5 = 1/32 3
4 6. För n = 6, så är X = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 och P (X = 0 = 1/64, P (X = 1 = 6/64, P (X = 2 = 15/64, P (X = 3 = 20/64, P (X = 4 = 15/64, P (X = 5 = 6/64, P (X = 6 = 1/64 Vi ser hur fördelningen hos X börja lina normalfördelningen då n växer. 4
5 Sats 7.2. CGS. Antag att X 1, X 2,..., är en oändlig följd av liafördelade och oberoende s.v. med väntevärde µ och standardavvielsen σ. Då gäller för 1. Summan X = X j att ( P a < X nµ σ n < b Φ(b Φ(a, n. Vi säger då att X är asymptotist normalfördelat N(nµ, σ n. 2. Medelvärdet X = 1 n X j att ( P a < X µ σ/ n < b Φ(b Φ(a, n. Vi säger då att X är asymptotist normalfördelat N(µ, σ/ n. Anmärning 7.3. Väntevärde och varians för summan resp. medelvärdet ovan ges av ( ( E(X = E X j = E(X j = nµ, V (X = V X j = V (X j = nσ 2, E( X ( 1 = E n X = 1 n E(X = µ, V ( X ( 1 = V n X = 1 n 2 V (X = 1 n σ2. Exempel 7.4. Viten (g av en tablett är en s.v. med väntevärde 0.4 och standardavvielse Bestäm approximativt sannoliheten att 100 tabletter väger mer än 40.3 g (viterna anses vara oberoende. Exempel 7.5. Låt X j Exp(1, j = 1,..., 81 vara oberoende s.v. Beräna sannoliheten att 1. summan ej överstiger medelvärdet ej överstiger
6 Approximationer 7.2. Approximation av binomialfördelningen Låt A vara en händelse med p = P (A (och därmed P (A = 1 p. Om X är antalet gånger som A inträffar vid n oberoende försö, så säger vi att X Bin(n, p med sannolihetsfuntionen p X ( = P (X = = p (1 p n, = 0, 1, 2,..., n. Sats 7.6. Låt X Bin(n, p. Då är 1. E(X = np och V (X = np(1 p. 2. X approximativt N(np, np(1 p om np(1 p 10. Bevis: 1. Antag att händelsen A inträffar med sannolihet p. Sätt X j = 1 eller 0 beroende om A inträffar eller ej vid upprepningen av j:te försöet. Då är och Vidare är och eftersom så är Om X är antalet gånger A inträffar, så är och X Bin(n, p. Det följer nu att p Xj (0 = P (X j = 0 = P (A = 1 p p Xj (1 = P (X j = 1 = P (A = p. E(X j = 1 p + 0 (1 p = p E(X 2 j = 1 2 p (1 p = p V (X j = E(X 2 j (E(X j 2 = p p 2 E(X = E( X = X j = X j E(X j = np, och ( V (X = V X j = V (X j = np(1 p. 6
7 2. Eftersom X j, j = 1, 2,..., n är oberoende lia fördelade s.v., så är X approximativt N(np, np(1 p enligt CGS. Exempel 7.7. En symmetris tärning astas 720 gånger. Vad är sannolihetn att antalet gånger man får en sexa överstiger 135? 7.3. Approximation av hypergeometrisfördelning Antag att vi har en mängd med två typer av element; typ I och typ II. Andelen av typ I är p och andelen av typ II är 1 p. Om det finns totalt N element i mängden, så finns det alltså Np element av typ I och N(1 p element av typ II. Vi drar n element slumpmässigt och utan återläggning och låter X vara antalet element av typ I bland n dragna. Då är X hypergeometrisfördelad, dvs X Hyp(N, n, p med sannolihetsfuntionen p X ( = P (X = = ( Np ( N(1 p n (, 0 Np, 0 n N(1 p. N n Anmärning 7.8. Om N är tillräcligt stort an dragningen betratas med återläggning, så att X är approximativt binomialfördelat. Detta är innebörden av nästa sats. Sats 7.9. X Hyp(N, n, p är approximativt X Bin(n, p, om n N 0.1. Bevis: Låt q = 1 p. Vi har att ( ( Np Nq n (Np! (Nq! ( = N (Np!! (Nq (n! (n! n = = = (Np! (Nq! (Np! (Nq (n! (Np! (Nq! (Np! (Nq (n! (N n! N! (N n! N! (N n! n! N! st. n st. {}}{{}}{ Np(Np 1 (Np + 1 Nq (Nq 1 (Nq (n + 1 N(N 1 (N n (N n! N!
8 = dvs (Np 1 (1 1 1 Np (1 Np (Nqn 1 (1 1 (n 1 Nq (1 Nq (N n 1 N n 1 (1 1 n 1 N (1 N N (N 1 1 ( n p q n, p (1 p n då N. Sats Låt X Hyp(N, n, p. Då är 1. E(X = np och V (X = N n np(1 p. N 1 N n N n 2. X approximativt N(np, np(1 p om np(1 p 10. N 1 N 1 Bevis: Precis som i binomialfallet låter vi A vara en händelse som inträffar med sannolihet p och sätter X j = 1 eller 0 beroende om A inträffar eller ej vid upprepningen av j:te försöet. Sillnaden nu är att X j inte är oberoende, så att om X = X j, så är ty men för variansen gäller att Nu är Vidare är 2 E(X = E( X j = ( V (X = V X j = E(X j = np, E(X j = 1 p + 0 (1 p = p V (X j i< n C(X i, X. C(X i, X = E(X i X E(X i E(X = P (X i = 1, X = 1 p 2 1 i< n Variansen blir därmed och standardavvielsen = P (X i = 1P (X = 1 X i = 1 p 2 = p Np 1 N 1 p(1 p p2 = N 1. p(1 p C(X i, X = 2 N 1 p(1 p n(n 1 p(1 p = 2 = n(n 1 N 1 2 N 1. =1 p(1 p V (X = np(1 p n(n 1 N 1 D(X = N n np(1 p. N 1 n = np(1 pn N 1, 8
9 Exempel Antag att en artong innehåller 15 defeta och 85 orreta detaljer. Man väljer på måfå utan återläggning 10 detaljer ur artongen. Beräna sannoliheten att högst 3 defeta detaljer erhålles Approximation av Poissonfördelning Vi har i FÖ2 visat att om X är antal oberoende händelser som inträffar med en onstant intensitet λ per tidsenhet under tiden t är poissionfördelad, dvs X P o(µ, där µ = λt. Sannolihetsfuntionen för X är då P X ( = µ! e µ, = 0, 1, 2,.... Sats Låt X P o(µ. Då är E(X = µ och V (X = µ. Bevis: Det följer att Vidare, eftersom E(X = E(X(X 1 = =0 = µe µ =0 µ! e µ = µe µ j=0 = µ 2 e µ =1 µ j j! = µe µ e µ = µ. µ 1 ( 1! ( 1 µ! e µ = µ 2 e µ j=0 =2 µ j j! = µe µ e µ = µ 2. µ 2 ( 2! Vilet ger och därmed E(X 2 = E(X(X 1 + E(X = µ 2 + µ, V (X = E(X 2 (E(X 2 = µ. Exempel Antalet registrerade partilar under en tidsenhet vid ett fysialist experiment är en s.v. X P o(2. Bestäm P (X = 4. 9
10 Sats X Bin(n, p är approximativt P o(np om n 10 och p 0.1. Bevis: Om X Bin(n, p, så är p X ( = stort. Då gäller att p (1 p n = Detta visar att p X ( µ! är tillräcligt stort. p (1 p n. Låt p = µ/n, där n är µ n (n 1 (n + 1 (1! n µ n = µ ( 1 µ! n µ ( 1 µ n n. n n n (n 1 (n + 1 n (1 µ n! ( 1 µ n, dvs X Bin(n, p är approximativt P o(np om n n Exempel En osymmetris tärning är sådan att sannoliheten för sexa är 1/16. Låt X vara antalet sexor som erhålls vid 48 ast. Beräna P (X = 5. Sats X P o(µ är approximativt N(µ, µ om µ 15. Bevis: Antag att µ är heltal. Då an variabeln X P o(µ srivas som en summa X = µ X j, där X j P o(1. Detta an ses som en tillämpning av föregånede sats. Eftersom E(X j = 1 och V (X j = 1 (se tidigare sats, så följer att och ( µ E(X = E X j = ( µ V (X = V X j = µ E(X j = µ 1 = µ µ V (X j = µ 1 = µ. Enligt CGS följer nu att X är approximativt N(µ, µ. Exempel Antag att X = antalet anrop till en telefonväxel under en timme är en s.v. som är P o(100. Beräna sannoliheten att X understiger
11 Exempel Företaget Komp AB tillverar omponenter. Sannoliheten för att en omponent har tillverningsfel är 0.2. Komponenterna blir feltillverade oberoende av varandra. 1. Vid öp av 10 omponenter, hur stor är sannoliheten att minst 2 omponenter har tillverningsfel? 2. Vid öp av 100 omponenter, bestäm approximativt sannoliheten att femton eller färre är felatiga. Lösning: Låt Y vara antal felatiga omponenter bland 10. Då är Y Bin(10, 0.2. Vi har att P (Y 2 = 1 1 =0 ( 10 P (Y = = 1 0 ( Låt Y vara antal felatiga omponenter bland 100. Eftersom ( följer av CGS att Y Bin(100, 0.2 approx. N(20, 4. Vi har att ( Y 20 P (Y 15 = P = Φ( 1.25 = 1 Φ( Exempel I en fabri tillveras enheter som blir defeta oberoende av varandra och med sannoliheten Efter tillverningen förpacas enheterna i artonger med 100 enheter i varje. En artong anses dålig om den innehåller mer än 3 defeta enheter. Beräna sannoliheten att det i ett parti om artonger finns fler än 30 dåliga. Lösning: Låt n = 100 och p = Om X är antal defeta enheter i en artong, så är X Bin(100, P o(0.5, ty n > 10 och p < 0.1. Sannoliheten för en dålig artong är q = P (X > 3 = 1 P (X 3 = 1 3 =0 ( 100 (1 p 100 p 1 3 =0 0.5 e 0.5 = ! Låt Y vara antal dåliga artonger i ett parti. Då är Y Bin(10000, q N(17.5, 4.18, ty 10000q(1 q = > 10. Söta sannoliheten är därmed ( Y 17.5 P (Y > 30 = 1 P (Y 29 = 1 P = 1 Φ(2.75 = Exempel I en utrustning finns 200 omponenter av en viss sort. Livslängden (h hos en sådan omponent är Exp(µ, där µ = 350 (dvs λ = 1/µ. När 75 omponenter har slutat att fungera byter man alla omponenter i utrustningen. Beräna sannoliheten att bytet ser inom 175 timmar. Vi antar att omponenterna slutar fungerar oberoende av varandra. 11
12 Lösning: Låt X vara livslängden hos en omponent. Sätt p = P (X 175 = 1 e 175/350 = 1 e 0.5 = Låt Y vara antal omponenter bland 200 som slutar att fungera inom 175 timmar. Då är Y Bin(n = 200, p = approximativt N(78.7, 6.91, ty 200p(1 p = Vi får P (Y 75 = P ( Y = 1 Φ 6.91 ( = Φ(0.535 = Exempel LiU har ett samarbete med forsningsinstitutet Acreo som bl.a. designar och tillverar små vadratisa retsort. Sidan X hos ett sådant retsort är en liformigt fördelad s.v. på intervallet [11, 13] mm. 1. Beräna sannoliheten för att arean hos ett sådant retsort är större än 150 mm Beräna sannoliheten för att av 100 tillverade retsort är det fler än 45 som har en area som är större än 150 mm 2. Lösning: Enligt förutsättningen så är X en s.v. med täthetsfuntionen f X (x = 1 2, där 11 x 13. Låt nu s.v. A = X 2 vara arean hos ett retsort. Då är p = P (A > 150 = P (X 2 > 150 = P (X > = dx = 1 2 ( = Vidare låter vi Y vara det antal retsort bland 100 som har en area som är större än 150 mm 2. Då är Y Bin(100, p. Eftersom 100(1 pp = > 10 så är Y approximativt N(38, Vi får P (Y > 45 = 1 P (Y 45 = P ( Y = 1 Φ(1.44 = Exempel Ett företag levererar omponenter i partier om 1000 enheter. Antag att varje omponent i partiet är defet med sannolihet oberoende av andra omponenter. Vid försäljning genererar en hel omponent en vinst på 2 r och en defet en förlust på 20 r. Bestäm sannoliheten för att vinsten av ett sålt parti understiger 1500 r. Lösning: Låt X vara antal felfria omponenter i ett parti. Då är X Bin(n = 1000, p = 0.985, där E(X = np = 985 och V (X = np(1 p = Eftersom np(1 p = > 10, gäller enligt CGS att X är approximativt N(985, Låt Y vara totala vinsten vid ett sålt parti. Då är Y = 2X 20(1000 X = 22X Vi har att P (Y < 1500 = P (22X < 1500 = P (X < = Φ( 2.01 =
13 Exempel Ett parti innehåller 100 detaljer, varav 20 är defeta och resten felfria. Man drar på måfå och utan återläggning 10 detaljer. Beräna sannoliheten att få mer är 5 defeta detaljer. Lösning: Låt p = 20 = 0.2 vara andelen defeta bland N = 100. Antag att X är antal 100 defeta bland n = 10 dragna. Då är X Hyp(100, 10, 0.2 approximativt Bin(10, 0.2, ty n N 0.1. Ur tabell fås 10 ( 10 P (X 6 = = = Exempel Antalet under X till en firma under en dag är en s.v. med sannolihetsfuntionen 0.1, x = 0 0.2, x = 1 p X ( = 0.4, x = 2 0.3, x = 3 Antalet under under olia dagar an anses oberoende. Beräna sannoliheten att minst 75 under tas emot av firman under 35 dagar. Lösning: Låt X vara antal under under dag, där = 1, 2,..., 35. Då är alla X 3 oberoende s.v. med E(X = xp X ( = 1.9 och V (X = E(X 2 (E(X 2 = Låt =0 Y vara antal under som tas emot under 35 dagar. Då är Y = 35 X, E(Y = 35 =1 =1 E(X = = 66.5, V (Y = E(X = och D(Y = Vidare är Y approximativt N(66.5, , så att =1 P (Y 75 = 1 P (Y < 75 = 1 Φ( =
1 Föreläsning IV; Stokastisk variabel
1 FÖRELÄSNING IV; STOKASTISK VARIABEL 1 Föreläsning IV; Stoastis variabel Vi har tidigare srivit P (1, 2, 3, 4, 5) = P (C) för sannoliheten för att få 1, 2, 3, 4 eller 5 vid ett tärningsast. Vi sall använda
Läs merJörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 8 Binomial-, hypergeometrisk- och Poissonfördelning Exakta egenskaper Approximativa egenskaper Jörgen Säve-Söderbergh Binomialfördelningen
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merKap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen
Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merFöreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Föreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess Stas Volkov 217-1-3 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs mer2 x dx = [ x ] 1 = 1 ( 1 (1 0.9) ) 100 = /
Föreläsning 5: Matstat AK för I, HT-8 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR I HT-8 FÖRELÄSNING 5: KAPITEL 4.6 7: SUMMOR, MAXIMA OCH ANDRA FUNKTIONER AV S.V. KAPITEL 5. : VÄNTEVÄRDEN, LÄGES- OCH SPRIDNINGSMÅTT EXEMPEL
Läs merUppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B
TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 juni 8 Ten i ursen HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OH MATEMATISK STATISTIK, Ten i ursen HF ( Tidigare n 6H3), KÖTEORI OH MATEMATISK STATISTIK, Ten i ursen HF4, (Tidigare
Läs merKap 3: Diskreta fördelningar
Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen
Läs merStokastiska variabler
TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Mer om Approximationer
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 7.A Mer om Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 10.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 10.02.2012 1 / 21 Repetition CGS Ofta
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 8. Approximationer av sannolikhetsfördelningar Jan Grandell & Timo Koski 11.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 11.02.2016 1 / 40 Centrala
Läs merFöreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.
Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Normalfördelning, Centrala gränsvärdessatsen, Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 06.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik
Läs merTMS136. Föreläsning 7
TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,
Läs mer9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merMatematisk statistik
HF, repetitionsblad Mateatis statisti Uppgift Fördelningsfuntionen för en ontinuerlig stoastis variabel X är F ( x) cx x < x x > Bestä värdet på onstanten c, edianen och täthetsfuntionen för X a) Enligt
Läs merSannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS012 [UPPDATERAD ] Sannolikhetsteorins grunder
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS02 [UPPDATERAD 2007-09-2] Sannolihetsteori Sannolihetsteorins grunder Följande gäller för sannoliheter:
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik Π + E
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Föreläsning 8, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 9 december 214 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 1/23 Repetition Binomial Poisson
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 7 15 november 2017 1 / 28 Lite om kontrollskrivning och laborationer Kontrollskrivningen omfattar Kap. 1 5 i boken, alltså Föreläsning
Läs merVåra vanligaste fördelningar
Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver
Läs merTentamen i matematisk statistik (92MA31, STN2) kl 08 12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (92MA1, STN2) 21-1-16 kl 8 12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 8: Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 8: Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess Anna Lindgren 4+5 oktober 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 1/18 N(μ, σ)
Läs merVäntevärde och varians
TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 8 Johan Lindström 9 oktober 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 1/26 process Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3
Läs merKapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merKONTROLLSKRIVNING 2 Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: 14 apr 2014 Skrivtid: 13:15-15:00
KONTROLLSKRIVNING Kurs: HF atematis statisti Lärare: Armin Halilovic Datum: ar Srivtid: :-: Tillåtna hjälmedel: iniränare av vilen ty som helst. Förbjudna hjälmedel: Telefon lato och alla eletronisa medel
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 augusti 218, klockan 8.-12. Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 3 Johan Lindström 4 september 7 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 /3 fördelningsplot log- Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merF6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P.
Stat. teori gk, ht 2006, JW F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.4-5.6) Binomialfördelningen Används som modell i situation av följande slag: Ett slumpförsök upprepas n gånger (oberoende upprepningar). Varje
Läs merStokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs mer4.2.1 Binomialfördelning
Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? 4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärd funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs mer4.1 Grundläggande sannolikhetslära
4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan
Läs merTvå parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 28-9-3 Normalfördelningen, X N(µ, σ) f(x) = e (x µ)2 2σ 2, < x < 2π σ.4 N(2,).35.3.25.2.5..5
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 23 mars, 2018 PLAN FÖR DAGENSFÖRELÄSNING Repetition av betingade sannolikheter, användbara satser
Läs merVeckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U.
Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U. Poissonfördelningen: ξ är Po(λ) λ = genomsnittligt antal händelser i ett intervall. Sannolikhet: P(ξ = ) = e λ λ! Väntevärde: E(ξ) = λ Varians:
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 15:E AUGUSTI 201 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 849. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merFöreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära
Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära kap 4 Sannolikhetslära och slumpvariabler kap 5 Stickprov, medelvärden, CGS, binomialfördelning Viktiga grundbegrepp utfall, händelse, sannolikheter, betingad
Läs mercx 5 om 2 x 8 f X (x) = 0 annars Uppgift 4
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 201 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 849. Tillåtna hjälpmedel: miniräknare,
Läs mer(x) = F X. och kvantiler
Föreläsning 5: Matstat AK för M, HT-8 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR M HT-8 FÖRELÄSNING 5: KAPITEL 6: NORMALFÖRDELNINGEN EXEMPEL FORTKÖRARE Man har mätt hastigheten på 8 bilar som passerade en korsning i
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merFACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski
FACIT för Förberedelseuppgifter: SF9 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 206 KL 4.00 9.00. Examinator: Timo Koski - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0. FACIT Problem
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merF10 Problemlösning och mer om konfidensintervall
1/13 F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 22/2 2013 2/13 Dagens föreläsning Problemlösning Skattningar Konfidensintervall
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merSummor av slumpvariabler
1/18 Summor av slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 9/2 2011 2/18 Dagens föreläsning Parkeringsplatsproblemet Räkneregler för väntevärden Räkneregler
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 6 Johan Lindström oktober 8 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Summa
Läs merSamplingfördelningar 1
Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått
Läs merfaderns blodgrupp sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 2015 KL 14.00 19.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merProblemdel 1: Uppgift 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MT 00 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, CH 8 februari 0 LÖSNINGAR 8 februari 0 Problemdel : Uppgift Rätt svar är: a) X och X är oberoende och Y och Y
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler Jörgen Säve-Söderbergh Stokastisk variabel Singla en slant två gånger. Ω = {Kr Kr, Kr Kl, Kl Kr, Kl Kl}
Läs merOberoende stokastiska variabler
Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen
Läs merUppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTentamen LMA 200 Matematisk statistik,
Tentamen LMA Matematisk statistik, Tentamen består av åtta uppgifter motsvarande totalt poäng. Det krävs minst poäng för betyg, minst poäng för 4 och minst 4 poäng för. Examinator: Ulla Blomqvist, ankn
Läs mer10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov
TNG006 F0-05-06 Konfidensintervall för linjärkombinationer 0. Konfidensintervall vid två oberoende stikprov Antag att X, X,..., X m är ett stikprov på N(µ, σ ) oh att Y, Y,..., Y n är ett stikprov på N(µ,
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik Sannolikhetsteori
Formel- och tabellamling i matematik tatitik Sannolikhetteori Sannolikhetaxiom : 0 P (A) :P () = 3: P (A [ B) = P (A) + P (B) om P (A \ B) =? Additionaten Betingad annolikhet P (A [ B) = P (A) + P (B)
Läs merExempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor
Kontinuerliga stokastiska variabler Exempel En stokastisk variabel är kontinuerlig om den kan anta vilka värden som helst i ett intervall, men sannolikheten för varje enskilt utfall är noll: P(X = x) =.
Läs merBetingning och LOTS/LOTV
Betingning och LOTS/LOTV Johan Thim (johan.thim@liu.se 4 december 018 Det uppstod lite problem kring ett par uppgifter som hanterade betingning. Jag tror problemen är av lite olika karaktär, men det jag
Läs merUppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B508 MATEMATISK STATISTIK FÖR S TISDAGEN DEN 20 DECEMBER 2005 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 746. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer Anna Lindgren 27+28 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 1/21 sum/max/min V.v./var Summa av
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merStokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
Läs merP(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = 1 0.34. ξ = 2ξ 1 3ξ 2
Lösningsförslag TMSB18 Matematisk statistik IL 101015 Tid: 12.00-17.00 Telefon: 101620, Examinator: F Abrahamsson 1. Varje dag levereras en last med 100 maskindetaljer till ett företag. Man tar då ett
Läs mer1 Stora talens lag. Laboration 2 Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:A, HT Teori. 1.2 Uppgifter
Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 2 Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:A, HT-15 Syftet med denna laboration är att du skall bli förtrogen med två viktiga områden
Läs merFormelsamling i matematisk statistik
Formelamling i matematik tatitik Sannolikhetteori Sannolikhetaxiom : 0 P (A) :P () = 3: P (A [ B) = P (A) + P (B) om A \ B =? Additionaten Betingad annolikhet P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B) P (AjB)
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska
Läs merTentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13.
LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK69, 26--7, kl 8 3. Hjälpmedel är räknare med tömda minnen samt formelsamling utgiven
Läs merVeckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.
Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna
Läs merTAMS79: Föreläsning 6. Normalfördelning
TAMS79: Föreläsning 6 Normalfördelningen Johan Thim (johan.thim@liu.se 3 november 018 Normalfördelning Definition. Låt µ R och > 0. Om X är en stokastisk variabel med täthetsfunktion f X ( = 1 ( ep ( µ,
Läs mer1 Föreläsning II, Vecka I, 5/11-11/11, avsnitt 2.3
1 Föreläsning II, Veca I, 5/11-11/11, avsnitt 2.3 1.1 Kombinatori Ex 2.1 I ett rutnät går man åt höger eller uppåt. Hur många vägar finns det mellan A och B? B A Vi har 8 (del-)sträcor att välja uppåt
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 14:E AUGUSTI 2017 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merStokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen
Stokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen Denna föreläsning kommer mest att vara en repetition av stoff från grundkursen. Längden på detta dokument kan tyckas vara oproportionerligt
Läs merTentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2
Tentamen den april 7 i Statistik och sannolikhetslära för BI Uppgift : Låt händelserna A, B, C och D vara händelser i samband med ett försök. a) Anta att P(A)., P(A B)., P(A B).6. Beräkna sannolikheten
Läs mer