Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer"

Transkript

1 TNG006 F Centrala gränsvärdessatsen (CGS. Approximationer 7.1. Centrala gränsvärdessatsen Vi formulerade i Sats 6.10 i FÖ6 en vitig egensap hos normalfördelningen som säger att en linjär ombination av oberoende normalfördelade s.v. är återigen normalfördelad. I själva veret gäller mer än så. Nedan formulerar vi ett av de vitigaste resultaten inom sannolihetsläran som allas för centrala gränsvärdessatsen, CGS, och som säger att Summan av ett stort antal oberoende liafördelade stoastisa variabler är approximativt normalfördelad. Låt oss först studera följande exempel. Exempel 7.1. Vi astar ett mynt n gånger och låter händelsen A vara lave upp med p = P (A. För varje ast j, där j = 1, 2,..., n, låter vi X j vara en s.v. som antar värdet 1 om A inträffar och 0 annars, dvs { 1, om A inträffar X j = 0, annars Därmed är X j en tvåpuntsfördelad (Bernoulli-fördelad, X j Be(p med och E(X j = 1 p Xj ( = 0 P (X j = P (X j = 1 = 0 P (A + 1 P (A = p, =0 V (X j = E(X 2 j (E(X j 2 = 1 2 p Xj ( p 2 = (0 2 P (X j = P (X j = 1 p 2 = p p 2. =0 Om den s.v. X är antal gånger som A inträffar bland n astförsö, så är X = X 1 + X 2 + X n = X j, där och ( E(X = E X j = ( V (X = V X j = E(X j = np V (X j = n(p p 2 = np(1 p. 1

2 Antag att p = 1/2. 1. För n = 1, så är X = X 1 och P (X = 0 = 1/2, P (X = 1 = 1/2 2. För n = 2, så är X = X 1 + X 2 och P (X = 0 = 1/4, P (X = 1 = 1/2, P (X = 2 = 1/4 3. För n = 3, så är X = X 1 + X 2 + X 3 och P (X = 0 = 1/8, P (X = 1 = 3/8, P (X = 2 = 3/8, P (X = 3 = 1/8 2

3 4. För n = 4, så är X = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 och P (X = 0 = 1/16, P (X = 1 = 4/16, P (X = 2 = 6/16, P (X = 3 = 4/16, P (X = 4 = 1/16 5. För n = 5, så är X = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 och P (X = 0 = 1/32, P (X = 1 = 5/32, P (X = 2 = 10/32, P (X = 3 = 10/32, P (X = 4 = 5/32 P (X = 5 = 1/32 3

4 6. För n = 6, så är X = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 och P (X = 0 = 1/64, P (X = 1 = 6/64, P (X = 2 = 15/64, P (X = 3 = 20/64, P (X = 4 = 15/64, P (X = 5 = 6/64, P (X = 6 = 1/64 Vi ser hur fördelningen hos X börja lina normalfördelningen då n växer. 4

5 Sats 7.2. CGS. Antag att X 1, X 2,..., är en oändlig följd av liafördelade och oberoende s.v. med väntevärde µ och standardavvielsen σ. Då gäller för 1. Summan X = X j att ( P a < X nµ σ n < b Φ(b Φ(a, n. Vi säger då att X är asymptotist normalfördelat N(nµ, σ n. 2. Medelvärdet X = 1 n X j att ( P a < X µ σ/ n < b Φ(b Φ(a, n. Vi säger då att X är asymptotist normalfördelat N(µ, σ/ n. Anmärning 7.3. Väntevärde och varians för summan resp. medelvärdet ovan ges av ( ( E(X = E X j = E(X j = nµ, V (X = V X j = V (X j = nσ 2, E( X ( 1 = E n X = 1 n E(X = µ, V ( X ( 1 = V n X = 1 n 2 V (X = 1 n σ2. Exempel 7.4. Viten (g av en tablett är en s.v. med väntevärde 0.4 och standardavvielse Bestäm approximativt sannoliheten att 100 tabletter väger mer än 40.3 g (viterna anses vara oberoende. Exempel 7.5. Låt X j Exp(1, j = 1,..., 81 vara oberoende s.v. Beräna sannoliheten att 1. summan ej överstiger medelvärdet ej överstiger

6 Approximationer 7.2. Approximation av binomialfördelningen Låt A vara en händelse med p = P (A (och därmed P (A = 1 p. Om X är antalet gånger som A inträffar vid n oberoende försö, så säger vi att X Bin(n, p med sannolihetsfuntionen p X ( = P (X = = p (1 p n, = 0, 1, 2,..., n. Sats 7.6. Låt X Bin(n, p. Då är 1. E(X = np och V (X = np(1 p. 2. X approximativt N(np, np(1 p om np(1 p 10. Bevis: 1. Antag att händelsen A inträffar med sannolihet p. Sätt X j = 1 eller 0 beroende om A inträffar eller ej vid upprepningen av j:te försöet. Då är och Vidare är och eftersom så är Om X är antalet gånger A inträffar, så är och X Bin(n, p. Det följer nu att p Xj (0 = P (X j = 0 = P (A = 1 p p Xj (1 = P (X j = 1 = P (A = p. E(X j = 1 p + 0 (1 p = p E(X 2 j = 1 2 p (1 p = p V (X j = E(X 2 j (E(X j 2 = p p 2 E(X = E( X = X j = X j E(X j = np, och ( V (X = V X j = V (X j = np(1 p. 6

7 2. Eftersom X j, j = 1, 2,..., n är oberoende lia fördelade s.v., så är X approximativt N(np, np(1 p enligt CGS. Exempel 7.7. En symmetris tärning astas 720 gånger. Vad är sannolihetn att antalet gånger man får en sexa överstiger 135? 7.3. Approximation av hypergeometrisfördelning Antag att vi har en mängd med två typer av element; typ I och typ II. Andelen av typ I är p och andelen av typ II är 1 p. Om det finns totalt N element i mängden, så finns det alltså Np element av typ I och N(1 p element av typ II. Vi drar n element slumpmässigt och utan återläggning och låter X vara antalet element av typ I bland n dragna. Då är X hypergeometrisfördelad, dvs X Hyp(N, n, p med sannolihetsfuntionen p X ( = P (X = = ( Np ( N(1 p n (, 0 Np, 0 n N(1 p. N n Anmärning 7.8. Om N är tillräcligt stort an dragningen betratas med återläggning, så att X är approximativt binomialfördelat. Detta är innebörden av nästa sats. Sats 7.9. X Hyp(N, n, p är approximativt X Bin(n, p, om n N 0.1. Bevis: Låt q = 1 p. Vi har att ( ( Np Nq n (Np! (Nq! ( = N (Np!! (Nq (n! (n! n = = = (Np! (Nq! (Np! (Nq (n! (Np! (Nq! (Np! (Nq (n! (N n! N! (N n! N! (N n! n! N! st. n st. {}}{{}}{ Np(Np 1 (Np + 1 Nq (Nq 1 (Nq (n + 1 N(N 1 (N n (N n! N!

8 = dvs (Np 1 (1 1 1 Np (1 Np (Nqn 1 (1 1 (n 1 Nq (1 Nq (N n 1 N n 1 (1 1 n 1 N (1 N N (N 1 1 ( n p q n, p (1 p n då N. Sats Låt X Hyp(N, n, p. Då är 1. E(X = np och V (X = N n np(1 p. N 1 N n N n 2. X approximativt N(np, np(1 p om np(1 p 10. N 1 N 1 Bevis: Precis som i binomialfallet låter vi A vara en händelse som inträffar med sannolihet p och sätter X j = 1 eller 0 beroende om A inträffar eller ej vid upprepningen av j:te försöet. Sillnaden nu är att X j inte är oberoende, så att om X = X j, så är ty men för variansen gäller att Nu är Vidare är 2 E(X = E( X j = ( V (X = V X j = E(X j = np, E(X j = 1 p + 0 (1 p = p V (X j i< n C(X i, X. C(X i, X = E(X i X E(X i E(X = P (X i = 1, X = 1 p 2 1 i< n Variansen blir därmed och standardavvielsen = P (X i = 1P (X = 1 X i = 1 p 2 = p Np 1 N 1 p(1 p p2 = N 1. p(1 p C(X i, X = 2 N 1 p(1 p n(n 1 p(1 p = 2 = n(n 1 N 1 2 N 1. =1 p(1 p V (X = np(1 p n(n 1 N 1 D(X = N n np(1 p. N 1 n = np(1 pn N 1, 8

9 Exempel Antag att en artong innehåller 15 defeta och 85 orreta detaljer. Man väljer på måfå utan återläggning 10 detaljer ur artongen. Beräna sannoliheten att högst 3 defeta detaljer erhålles Approximation av Poissonfördelning Vi har i FÖ2 visat att om X är antal oberoende händelser som inträffar med en onstant intensitet λ per tidsenhet under tiden t är poissionfördelad, dvs X P o(µ, där µ = λt. Sannolihetsfuntionen för X är då P X ( = µ! e µ, = 0, 1, 2,.... Sats Låt X P o(µ. Då är E(X = µ och V (X = µ. Bevis: Det följer att Vidare, eftersom E(X = E(X(X 1 = =0 = µe µ =0 µ! e µ = µe µ j=0 = µ 2 e µ =1 µ j j! = µe µ e µ = µ. µ 1 ( 1! ( 1 µ! e µ = µ 2 e µ j=0 =2 µ j j! = µe µ e µ = µ 2. µ 2 ( 2! Vilet ger och därmed E(X 2 = E(X(X 1 + E(X = µ 2 + µ, V (X = E(X 2 (E(X 2 = µ. Exempel Antalet registrerade partilar under en tidsenhet vid ett fysialist experiment är en s.v. X P o(2. Bestäm P (X = 4. 9

10 Sats X Bin(n, p är approximativt P o(np om n 10 och p 0.1. Bevis: Om X Bin(n, p, så är p X ( = stort. Då gäller att p (1 p n = Detta visar att p X ( µ! är tillräcligt stort. p (1 p n. Låt p = µ/n, där n är µ n (n 1 (n + 1 (1! n µ n = µ ( 1 µ! n µ ( 1 µ n n. n n n (n 1 (n + 1 n (1 µ n! ( 1 µ n, dvs X Bin(n, p är approximativt P o(np om n n Exempel En osymmetris tärning är sådan att sannoliheten för sexa är 1/16. Låt X vara antalet sexor som erhålls vid 48 ast. Beräna P (X = 5. Sats X P o(µ är approximativt N(µ, µ om µ 15. Bevis: Antag att µ är heltal. Då an variabeln X P o(µ srivas som en summa X = µ X j, där X j P o(1. Detta an ses som en tillämpning av föregånede sats. Eftersom E(X j = 1 och V (X j = 1 (se tidigare sats, så följer att och ( µ E(X = E X j = ( µ V (X = V X j = µ E(X j = µ 1 = µ µ V (X j = µ 1 = µ. Enligt CGS följer nu att X är approximativt N(µ, µ. Exempel Antag att X = antalet anrop till en telefonväxel under en timme är en s.v. som är P o(100. Beräna sannoliheten att X understiger

11 Exempel Företaget Komp AB tillverar omponenter. Sannoliheten för att en omponent har tillverningsfel är 0.2. Komponenterna blir feltillverade oberoende av varandra. 1. Vid öp av 10 omponenter, hur stor är sannoliheten att minst 2 omponenter har tillverningsfel? 2. Vid öp av 100 omponenter, bestäm approximativt sannoliheten att femton eller färre är felatiga. Lösning: Låt Y vara antal felatiga omponenter bland 10. Då är Y Bin(10, 0.2. Vi har att P (Y 2 = 1 1 =0 ( 10 P (Y = = 1 0 ( Låt Y vara antal felatiga omponenter bland 100. Eftersom ( följer av CGS att Y Bin(100, 0.2 approx. N(20, 4. Vi har att ( Y 20 P (Y 15 = P = Φ( 1.25 = 1 Φ( Exempel I en fabri tillveras enheter som blir defeta oberoende av varandra och med sannoliheten Efter tillverningen förpacas enheterna i artonger med 100 enheter i varje. En artong anses dålig om den innehåller mer än 3 defeta enheter. Beräna sannoliheten att det i ett parti om artonger finns fler än 30 dåliga. Lösning: Låt n = 100 och p = Om X är antal defeta enheter i en artong, så är X Bin(100, P o(0.5, ty n > 10 och p < 0.1. Sannoliheten för en dålig artong är q = P (X > 3 = 1 P (X 3 = 1 3 =0 ( 100 (1 p 100 p 1 3 =0 0.5 e 0.5 = ! Låt Y vara antal dåliga artonger i ett parti. Då är Y Bin(10000, q N(17.5, 4.18, ty 10000q(1 q = > 10. Söta sannoliheten är därmed ( Y 17.5 P (Y > 30 = 1 P (Y 29 = 1 P = 1 Φ(2.75 = Exempel I en utrustning finns 200 omponenter av en viss sort. Livslängden (h hos en sådan omponent är Exp(µ, där µ = 350 (dvs λ = 1/µ. När 75 omponenter har slutat att fungera byter man alla omponenter i utrustningen. Beräna sannoliheten att bytet ser inom 175 timmar. Vi antar att omponenterna slutar fungerar oberoende av varandra. 11

12 Lösning: Låt X vara livslängden hos en omponent. Sätt p = P (X 175 = 1 e 175/350 = 1 e 0.5 = Låt Y vara antal omponenter bland 200 som slutar att fungera inom 175 timmar. Då är Y Bin(n = 200, p = approximativt N(78.7, 6.91, ty 200p(1 p = Vi får P (Y 75 = P ( Y = 1 Φ 6.91 ( = Φ(0.535 = Exempel LiU har ett samarbete med forsningsinstitutet Acreo som bl.a. designar och tillverar små vadratisa retsort. Sidan X hos ett sådant retsort är en liformigt fördelad s.v. på intervallet [11, 13] mm. 1. Beräna sannoliheten för att arean hos ett sådant retsort är större än 150 mm Beräna sannoliheten för att av 100 tillverade retsort är det fler än 45 som har en area som är större än 150 mm 2. Lösning: Enligt förutsättningen så är X en s.v. med täthetsfuntionen f X (x = 1 2, där 11 x 13. Låt nu s.v. A = X 2 vara arean hos ett retsort. Då är p = P (A > 150 = P (X 2 > 150 = P (X > = dx = 1 2 ( = Vidare låter vi Y vara det antal retsort bland 100 som har en area som är större än 150 mm 2. Då är Y Bin(100, p. Eftersom 100(1 pp = > 10 så är Y approximativt N(38, Vi får P (Y > 45 = 1 P (Y 45 = P ( Y = 1 Φ(1.44 = Exempel Ett företag levererar omponenter i partier om 1000 enheter. Antag att varje omponent i partiet är defet med sannolihet oberoende av andra omponenter. Vid försäljning genererar en hel omponent en vinst på 2 r och en defet en förlust på 20 r. Bestäm sannoliheten för att vinsten av ett sålt parti understiger 1500 r. Lösning: Låt X vara antal felfria omponenter i ett parti. Då är X Bin(n = 1000, p = 0.985, där E(X = np = 985 och V (X = np(1 p = Eftersom np(1 p = > 10, gäller enligt CGS att X är approximativt N(985, Låt Y vara totala vinsten vid ett sålt parti. Då är Y = 2X 20(1000 X = 22X Vi har att P (Y < 1500 = P (22X < 1500 = P (X < = Φ( 2.01 =

13 Exempel Ett parti innehåller 100 detaljer, varav 20 är defeta och resten felfria. Man drar på måfå och utan återläggning 10 detaljer. Beräna sannoliheten att få mer är 5 defeta detaljer. Lösning: Låt p = 20 = 0.2 vara andelen defeta bland N = 100. Antag att X är antal 100 defeta bland n = 10 dragna. Då är X Hyp(100, 10, 0.2 approximativt Bin(10, 0.2, ty n N 0.1. Ur tabell fås 10 ( 10 P (X 6 = = = Exempel Antalet under X till en firma under en dag är en s.v. med sannolihetsfuntionen 0.1, x = 0 0.2, x = 1 p X ( = 0.4, x = 2 0.3, x = 3 Antalet under under olia dagar an anses oberoende. Beräna sannoliheten att minst 75 under tas emot av firman under 35 dagar. Lösning: Låt X vara antal under under dag, där = 1, 2,..., 35. Då är alla X 3 oberoende s.v. med E(X = xp X ( = 1.9 och V (X = E(X 2 (E(X 2 = Låt =0 Y vara antal under som tas emot under 35 dagar. Då är Y = 35 X, E(Y = 35 =1 =1 E(X = = 66.5, V (Y = E(X = och D(Y = Vidare är Y approximativt N(66.5, , så att =1 P (Y 75 = 1 P (Y < 75 = 1 Φ( =

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande

Läs mer

Uppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B

Uppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 juni 8 Ten i ursen HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OH MATEMATISK STATISTIK, Ten i ursen HF ( Tidigare n 6H3), KÖTEORI OH MATEMATISK STATISTIK, Ten i ursen HF4, (Tidigare

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 8. Approximationer av sannolikhetsfördelningar Jan Grandell & Timo Koski 11.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 11.02.2016 1 / 40 Centrala

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS012 [UPPDATERAD ] Sannolikhetsteorins grunder

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS012 [UPPDATERAD ] Sannolikhetsteorins grunder LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS02 [UPPDATERAD 2007-09-2] Sannolihetsteori Sannolihetsteorins grunder Följande gäller för sannoliheter:

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

Våra vanligaste fördelningar

Våra vanligaste fördelningar Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (92MA31, STN2) kl 08 12

Tentamen i matematisk statistik (92MA31, STN2) kl 08 12 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (92MA1, STN2) 21-1-16 kl 8 12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

Väntevärde och varians

Väntevärde och varians TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som

Läs mer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P.

F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P. Stat. teori gk, ht 2006, JW F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.4-5.6) Binomialfördelningen Används som modell i situation av följande slag: Ett slumpförsök upprepas n gånger (oberoende upprepningar). Varje

Läs mer

4.2.1 Binomialfördelning

4.2.1 Binomialfördelning Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? 4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten

Läs mer

4.1 Grundläggande sannolikhetslära

4.1 Grundläggande sannolikhetslära 4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära

Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära kap 4 Sannolikhetslära och slumpvariabler kap 5 Stickprov, medelvärden, CGS, binomialfördelning Viktiga grundbegrepp utfall, händelse, sannolikheter, betingad

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

(x) = F X. och kvantiler

(x) = F X. och kvantiler Föreläsning 5: Matstat AK för M, HT-8 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR M HT-8 FÖRELÄSNING 5: KAPITEL 6: NORMALFÖRDELNINGEN EXEMPEL FORTKÖRARE Man har mätt hastigheten på 8 bilar som passerade en korsning i

Läs mer

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)

Läs mer

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Problemdel 1: Uppgift 1

Problemdel 1: Uppgift 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MT 00 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, CH 8 februari 0 LÖSNINGAR 8 februari 0 Problemdel : Uppgift Rätt svar är: a) X och X är oberoende och Y och Y

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov TNG006 F0-05-06 Konfidensintervall för linjärkombinationer 0. Konfidensintervall vid två oberoende stikprov Antag att X, X,..., X m är ett stikprov på N(µ, σ ) oh att Y, Y,..., Y n är ett stikprov på N(µ,

Läs mer

Oberoende stokastiska variabler

Oberoende stokastiska variabler Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Sannolikhetsteori

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Sannolikhetsteori Formel- och tabellamling i matematik tatitik Sannolikhetteori Sannolikhetaxiom : 0 P (A) :P () = 3: P (A [ B) = P (A) + P (B) om P (A \ B) =? Additionaten Betingad annolikhet P (A [ B) = P (A) + P (B)

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2016-01-15 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 15.00 20.00 Lärare: A Jonsson, J Martinsson,

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13.

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK69, 26--7, kl 8 3. Hjälpmedel är räknare med tömda minnen samt formelsamling utgiven

Läs mer

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = 1 0.34. ξ = 2ξ 1 3ξ 2

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = 1 0.34. ξ = 2ξ 1 3ξ 2 Lösningsförslag TMSB18 Matematisk statistik IL 101015 Tid: 12.00-17.00 Telefon: 101620, Examinator: F Abrahamsson 1. Varje dag levereras en last med 100 maskindetaljer till ett företag. Man tar då ett

Läs mer

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B508 MATEMATISK STATISTIK FÖR S TISDAGEN DEN 20 DECEMBER 2005 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 746. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2017-01-13 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Niklas

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2 Tentamen den april 7 i Statistik och sannolikhetslära för BI Uppgift : Låt händelserna A, B, C och D vara händelser i samband med ett försök. a) Anta att P(A)., P(A B)., P(A B).6. Beräkna sannolikheten

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 2 augusti 217, klockan 8-12 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827 Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

Detta formelblad får användas under både KS2T och KS2D, samt ordinarie tentamen. x = 1 n. x i. with(stats): describe[mean]([3,5]); 4.

Detta formelblad får användas under både KS2T och KS2D, samt ordinarie tentamen. x = 1 n. x i. with(stats): describe[mean]([3,5]); 4. Formelblad Detta formelblad får användas under både KST och KSD, samt ordinarie tentamen. Medelvärde x = 1 n x i with(stats): describe[mean]([3,5]); 4 Varians s = 1 (x i x) n 1 ( s = 1 x i n 1 1 n ) x

Läs mer

Övningstentamen i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120)

Övningstentamen i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120) Övningstentamen i kursen Statistik sannolikhetslära (LMA0). Beräkna ( ) 04.. Malin har precis yttat, ska skruva ihop sitt rektangulära skrivbord igen. Bordet har ett ben i varje hörn, har två långsidor

Läs mer

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent

Läs mer

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p)

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF190 (f d 5B2501 ) SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR - ÅRIG MEDIA MÅNDAGEN DEN 1 AUGUSTI 2012 KL 08.00 1.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 21 7 45 Tillåtna

Läs mer

Matematisk statistik, LMA 200, för DAI och EI den 25 aug 2011

Matematisk statistik, LMA 200, för DAI och EI den 25 aug 2011 Matematisk statistik, LMA, för DAI och EI den 5 aug Tentamen består av åtta uppgifter om totalt 5 poäng. Det krävs minst poäng för betyg, minst poäng för och minst för 5. Examinator: Ulla Blomqvist Hjälpmedel:

Läs mer

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 79 / TEN 1 augusti 14, klockan 8.00-12.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 28-1474) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 4 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Icke-parametriska test Mann-Whitneys test (kap 8.10 8.11) Wilcoxons test (kap 9.5) o Transformationer (kap 13) o Ev. Andelar

Läs mer

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

Föreläsning 4, Matematisk statistik för M

Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Erik Lindström 1 april 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 1/19 Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: Ett slumpmässigt försök med

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4 LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja

Läs mer

TMS136. Föreläsning 11

TMS136. Föreläsning 11 TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för

Läs mer

Datorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen

Datorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, HT-16 Datorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen Syftet med den här laborationen

Läs mer

Lösningar till uppgifter från Milton-Arnold, kap 3 4 Matematisk statistik

Lösningar till uppgifter från Milton-Arnold, kap 3 4 Matematisk statistik Sida 1 Lösningar till uppgifter från Milton-Arnold, kap 3 4 Matematisk statistik 3.7, 3.11 Ympning används för att få en planta att växa på ett rotsystem tillhörande en annan växt. Elementarsannolikheterna

Läs mer

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar 1 Multivariata sannolikhetsfördelningar En slumpvariabel som, när slumpförsöket utförs, antar exakt ett värde sägs vara

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

Sannolikheter och kombinatorik

Sannolikheter och kombinatorik Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter

Läs mer

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Statistiska metoder för säkerhetsanalys F3: Slumpvariaber och fördelningar Diskret Kontinuerlig Slumpvariabler Slumpvariabler = stokastiska variabler = random variables = s.v. Heter ofta X, Y, T. Diskreta kan anta ändligt eller uppräkneligt

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsning 2 732G70 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde (mellan

Läs mer

dvs. Trots att arbetslaget arbetar tillsammans antages skadorna hos de olika medlemmarna

dvs. Trots att arbetslaget arbetar tillsammans antages skadorna hos de olika medlemmarna Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK I Uppgift 1 I en byggnad sitter ett brandlarm monterat. Under en tidsperiod är sannolikheten att larmet går 3%. Man vet att 98%

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

4. Stokastiska variabler

4. Stokastiska variabler 4. Stokastiska variabler En stokastisk variabel (s.v.) är en funktion som definieras i utfallsrummet. Varje stokastisk variabel har en viss sannolikhetsstruktur. Ex: Man kastar två tärningar. Låt X = summan

Läs mer

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5.

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5. Avsnitt 1, Inledning ( Adams P1,P3,P4, P5) Genomgång och repetition av grundläggande begrepp. Funktion, definitionsmängd, värdemängd. Intervall. Olikheter. Absolutbelopp. Styckvis definierade funktioner.

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i Matematisk Statistik. Jan Grandell

Föreläsningsanteckningar i Matematisk Statistik. Jan Grandell Föreläsningsanteckningar i Matematisk Statistik Jan Grandell 2 Förord Dessa anteckningar gjordes för mitt privata bruk av föreläsningsmanuskript och har aldrig varit tänkta att användas som kursmaterial.

Läs mer

LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning

LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning Föreläsning 1 Dagens innehåll 1 Kvalitet 2 Acceptanskontroll enligt attributmetoden 3 Enkel provtagningsplan 4 Design av enkel provtagningsplan med binomialnomogram 5 Genomgång av problem 1.5 från boken.

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)

Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005) Repetition och förberedelse Sannolikhet och sta.s.k (1MS005) Formellsamling och teori Nästa varje ekva.on som vi använder under kursen finns I samlingen. Tricket i examen är hica räc metod/fördelning.ll

Läs mer

SVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON

SVANTE JANSON OCH SVANTE LINUSSON NORMLPPROXIMTION FÖR SNNOLIKHETEN FÖR TT FELKTIGT HNTERDE RÖSTER PÅVERKR MNDTFÖRDELNINGEN SVNTE JNSON OCH SVNTE LINUSSON. Inledning ntag att det är nästan jämnt mellan två partier och B vid fördelningen

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson,

STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson, STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson, 5--9 Lösningförslag skriftlig hemtentamen i Fortsättningskurs i statistik, moment, Statistisk Teori, poäng. Deltentamen : Sannolikhetsteori

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 5 Johan Lindström 12 september 216 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 F5 1/23 Repetition Gauss approximation Delta metoden

Läs mer

Enkel och multipel linjär regression

Enkel och multipel linjär regression TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0

Läs mer

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SF905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E AUGSTI 204 KL 08.00 3.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)

Läs mer

1 Stokastiska processer. 2 Poissonprocessen

1 Stokastiska processer. 2 Poissonprocessen 1 Stokastiska processer En stokastisk process är en stokastisk variabel X(t), som beror på en parameter t, kallad tiden. Tiden kan vara kontinuerlig, eller diskret (i vilket fall man brukar beteckna processen

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 1 januari 006, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel-

Läs mer

Formler och tabeller till kursen MSG830

Formler och tabeller till kursen MSG830 Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Johan Lindström Repetition Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 1/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Grundläggande begrepp (Kap.

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 24 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

F22, Icke-parametriska metoder.

F22, Icke-parametriska metoder. Icke-parametriska metoder F22, Icke-parametriska metoder. Christian Tallberg Statistiska institutionen Stockholms universitet Tidigare när vi utfört inferens, dvs utifrån stickprov gjort konfidensintervall

Läs mer