SF1911: Statistik för bioteknik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "SF1911: Statistik för bioteknik"

Transkript

1 SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK TK Matematisk statistik / 38

2 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion (pdf) Speciella sannolikhetstäthetsfunktioner Likformig fördelning Expoentialfördelning Normalfördelning Väntevärde och varians Senare (föreläsning 7): Väntevärde och varians för linjära kombinationer av oberoende stokastiska variabler TK Matematisk statistik / 38

3 Kontinuerlig stokastisk variabel Det mest allmänna sättet att beskriva X, dvs. hur X varierar, är att ange dess fördelningsfunktion. Definition En s.v. X är kontinuerlig, dess fördelningsfunktion har framställningen F X (x) = x f X (t) dt för någon funktion f X (x). Funktionen f X (x) kallas täthetsfunktionen (pdf) för X. Omvänt gäller att f X (x) = F X (x). TK Matematisk statistik / 38

4 Kontinuerlig stokastisk variabel F X (x) = x f X (t) dt, f X (x) = F X (x). 1 f X (x) 0 för alla x. 2 + f X (x) dx = 1. TK Matematisk statistik / 38

5 Kontinuerlig stokastisk variabel Täthetsfunktionen kan inte direkt tolkas som en sannolikhet, men vi har, för små värden på h, P(x < X x + h) = F X (x + h) F X (x) = x+h x f X (t) dt h f X (x). TK Matematisk statistik / 38

6 En fördelningsfunktion F X (x) har följande egenskaper: 1) F X (x) är icke-avtagande 1 ; 2) F X (x) 1 då x ; 3) F X (x) 0 då x ; 4) F X (x) är kontinuerlig. 1 d.v.s. x 1 x 2 F X (x 1 ) F X (x 2 ) TK Matematisk statistik / 38

7 Beräkning av sannolikheter Låt X vara en kontinuerlig stokastisk variabel. a < b är reella tal, P(a < X b) = F X (b) F X (a) = = b a b f X (t) dt a f X (t) dt f X (t) dt TK Matematisk statistik / 38

8 Beräkning av sannolikheter Låt X vara en kontinuerlig stokastisk variabel. a < b är reella tal Men för h > 0 ty F X (x) är kontinuerlig. P(a X b) = F X (b) F X (a) + P (X = a) P (X = a) = lim h 0 P(a h < X a + h) = lim h 0 (F X (a + h) F X (a h)) = 0 TK Matematisk statistik / 38

9 Beräkning av sannolikheter Med andra ord, om X är en kontinuerlig stokastisk variabel och a < b är reella tal, Sats P(a X b) = P(a < X b) = b a f X (x) dx. TK Matematisk statistik / 38

10 Beräkning av sannolikheter: arean under kurvan P(a < X b) = F X (b) F X (a) = b a f X (x) dx. f X (x) a b F X (b) F X (a) TK Matematisk statistik / 38

11 Beräkning av sannolikheter Om X är en kontinuerlig stokastisk variabel och b är ett reellt tal, P(X > b) = P(X b) = 1 P(X < b) = 1 P(X b) dvs. = 1 F X (b) = = b b f X (x) dx f X (x) dx f X (x) dx. P(X > b) = P(X b) = b f X (x) dx. TK Matematisk statistik / 38

12 Likformig fördelning U(a, b) X U(a, b) { 1 f X (x) = b a för a x b, 0 annars. 0 för x a, F X (x) = x a b a för a x b, 1 för x b. TK Matematisk statistik / 38

13 Exponentialfördelningen E(λ) X E(λ) { λ e λx för x 0, f X (x) = 0 för x < 0. { 1 e λx för x 0, F X (x) = 0 för x < 0. TK Matematisk statistik / 38

14 Exponentialfördelningen E(λ) Denna fördelning är viktig i väntetidsproblem. För att inse detta så tar vi ett enkelt exempel: Antag att n personer går förbi en affär per tidsenhet. Låt var och en av dessa gå in i affären oberoende av varandra och med sannolikheten p. Låt X vara tiden tills första kunden kommer. X > x betyder att ingen kund kommit efter x tidsenheter. P(X > x) = (1 p) nx ty nx personer har gått förbi. Låt oss anta, att p = µ/n, där n är stor men µ är lagom. Då gäller P(X > x) = (1 p) nx = (1 µ n )nx e µx. Detta ger att F X (x) = 1 P(X > x) 1 e µx, dvs X är approximativt E(µ). TK Matematisk statistik / 38

15 Kvantil, median Ett par begrepp: Definition Lösningen till ekvationen 1 F X (x) = α kallas α-kvantilen till X och betecknas med x α. x 0.5 kallas för medianen och är således det värde som överskrides med samma sannolikhet som det underskrides. TK Matematisk statistik / 38

16 Normalfördelningen N (µ, σ) X N(µ, σ) f X (x) = 1 σ /2σ2 e (x µ)2 2π där µ godtycklig konstant och σ > 0. Denna fördelning är mycket viktig, och vi skall återkomma till den. TK Matematisk statistik / 38

17 Fördelningsfunktion och Sl-täthet för Y = Y = ax + b Vi antar att X är en kontinuerlig s.v. och sätter Y = ax + b. 1. a positivt När a är positivt blir F Y (y) = P(Y y) = P(aX + b y) = P ( X y b ) a ( ) y b = F X. a Fördelningsfunktionen för Y får man alltså genom att i fördelningsfunktionen F X (x) ersätta argumentet x med (y b)/a. Täthetsfunktionen för Y erhålles sedan genom derivering med avseende på y: f Y (y) = 1 ( ) y b a f X. a TK Matematisk statistik / 38

18 Fördelningsfunktion och Sl-täthet för Y = g(x ): Linjär transformation 2. a negativt Om a är negativt blir i stället F Y (y) = P(aX + b y) = P ( X y b ) a ( ) Eftersom X är en kontinuerlig s.v. är P X < y b a alltså blir ( F Y (y) = 1 P X y b ) a Genom derivering får man slutligen f Y (y) = 1 a f X ( = 1 P X < y b a ( = P X y b a ( ) y b = 1 F X. a ( y b a ). ). ) och TK Matematisk statistik / 38

19 Fördelningsfunktion och Sl-täthet för Y = g(x ): Linjär transformation De bägge fallen a > 0 och a < 0 kan, vad täthetsfunktionen beträffar, sammanfattas så: f Y (y) = 1 ( ) y b a f X. a Om speciellt a = 1, b = 0 får man fördelningen för den s.v. Y = X : F Y (y) = 1 F X ( y) och f Y (y) = f X ( y). TK Matematisk statistik / 38

20 Anta att X har en likformig fördelning i intervallet (0, 1). Då är 0 om x < 0 F X (x) = x om 0 x 1 1 om x > 1. TK Matematisk statistik / 38

21 Fördelningsfunktion och Sl-täthet för Y = (1/λ) ln X Fördelningsfunktionen för den s.v. Y = (1/λ) ln X, där λ > 0, blir F Y (y) = P( (1/λ) ln X y) = P(ln X λy) = P ( X e λy ) = 1 P ( X < e λy ) = 1 P(X e λy ) = Alltså gäller att Y E(λ) { 0 om y < 0 1 e λy om y 0. TK Matematisk statistik / 38

22 Fördelningsfunktion och Sl-täthet för Y = g(x ) Resultatet är av stort intresse vid simulering. Ur ett likformigt fördelat slumptal X på (0, 1) kan man generera ett exponentialfördelat slumptal Y genom att låta Y = (1/λ) ln X. TK Matematisk statistik / 38

23 Fördelningsfunktion och Sl-täthet för Y = X 2 Antag speciellt att X är likformigt fördelad i intervallet ( 1, 1), så att { 1 f X (x) = 2 om 1 < x < 1 0 annars. Man får genom insättning i uttrycket för f Y (y): f Y (y) = { y om 0 < y < 1 0 annars. (1) (2) TK Matematisk statistik / 38

24 Paretofördelning f X (x) = { λx λ m x λ+1 x x m, 0 x < x m. Vi säger att X är paretofördelad med parametrarna x m och λ. TK Matematisk statistik / 38

25 Paretotäthet: x m = 4 λ = TK Matematisk statistik / 38

26 Väntevärden Väntevärdet ger samma information och samma brist på information för den s.v. som medelvärdet ger för en datamängd. TK Matematisk statistik / 38

27 Väntevärde: definition Definition + E (X ) def = x f X (x)dx. TK Matematisk statistik / 38

28 Väntevärde för exponentialfördelningen = 1 λ { λ e λx för x 0, f X (x) = 0 för x < 0. y = λx E (X ) = xf X (x) dx = xλ e λx dx = x = y/λ 0 dx = dy/λ ye y dy = 1 [ ye y ] 0 λ e y dy = 0 1 [ e y ] λ 0 λ 0 = 1 λ. TK Matematisk statistik / 38

29 Väntevärde för Y = g(x ) E (Y ) = g(x)f X (x) dx. Exempel: Momentgenererande funktionen: m X (t) = E [ ] e tx = e tx f X (x) dx TK Matematisk statistik / 38

30 Väntevärde för Y = g(x ) Från denna sats följer bl.a. följande: E (h(x ) + g(x )) = E (h(x )) + E (g(x )) med det viktiga specialfallet Sats E (ax + b) = ae (X ) + b. TK Matematisk statistik / 38

31 Varians Väntevärdet säger inget om hur X varierar. Sätt µ E (X ). Betrakta följande: X µ och (X µ) 2 Vi leds nu till följande definition. Definition Variansen σ 2 för en s.v. X är σ 2 = Var(X ) = E [(X µ) 2 ]. TK Matematisk statistik / 38

32 Varians Följande räkneregel är mycket användbar: Sats Var(X ) = E (X 2 ) [E (X )] 2 = E (X 2 ) µ 2. Bevis. Var(X ) = E [(X µ) 2 ] = E [X 2 + µ 2 2µX ] = E [X 2 ] + µ 2 2µE [X ] = E (X 2 ) µ 2. TK Matematisk statistik / 38

33 Varians Sats Var(aX + b) = a 2 Var(X ). Bevis. Var(aX + b) = E [(ax + b E (ax + b)) 2 ] = E [(ax + b aµ b) 2 ] = E [(ax aµ) 2 ] = a 2 E [(X µ) 2 ] = a 2 Var(X ). TK Matematisk statistik / 38

34 Standardavvikelsen Definition Standardavvikelsen σ för en s.v. X är σ = D(X ) = Var(X ). Sats D(aX + b) = a D(X ). Allmänt gäller: D rätt sort. V lättare att räkna med. TK Matematisk statistik / 38

35 Exponentialfördelningen. E (X 2 ) = 0 x 2 λe λx dx = 1 λ 2 y 2 e y dy = part. int. = 2 λ 2 Var(X ) = 2 λ 2 1 λ 2 = 1 λ 2 D(X ) = 1 λ. 0 TK Matematisk statistik / 38

36 En linjär kombination av n s.v. X 1,..., X n a 1 X 1 + a 2 X a n X n + b Konstanterna a 1,..., a n och b kan vara positiva eller negativa tal. För alla s.v. X 1,..., X n gäller att ( n ) n E a i X i + b = a i E (X i ) + b (3) i=1 i=1 TK Matematisk statistik / 38

37 För oberoende s.v. X 1,..., X n gäller att ( n ) n Var a i X i + b = ai 2 Var(X i ). i=1 i=1 Om X 1,..., X n är s.v. med samma väntevärde µ så gäller att ( n ) E X i = nµ. (4) i=1 TK Matematisk statistik / 38

38 Om X 1,..., X n är oberoende och har samma standardavvikelse σ gäller även att ( n ) ( Var X i = nσ 2 n ) och D X i = σ n. (5) i=1 i=1 TK Matematisk statistik / 38

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Funktioner av s.v:er, Flera stokastiska variabler. Marginell sannolikhetsfunktion och -täthetsfunktion. Oberoende sv:er, Maximum och minimum av oberoende

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 3: Transformation och simulering

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 3: Transformation och simulering Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 3: Transformation och simulering Anna Lindgren 8+9 september 216 Anna Lindgren - anna@maths.lth.se FMS12/MASB3: transform 1/11 Stokastisk variabel Kvantil Stokastisk

Läs mer

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, De stora talens lag Jan Grandell & Timo Koski 04.02.2016 Jan Grandell & Timo

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 6 MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. Tatjana Pavlenko 12 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition

Läs mer

Föreläsning 4, Matematisk statistik för M

Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Erik Lindström 1 april 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 1/19 Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: Ett slumpmässigt försök med

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

1 Föreläsning V; Kontinuerlig förd.

1 Föreläsning V; Kontinuerlig förd. Föreläsning V; Kontinuerlig förd. Ufallsrummet har hittills varit dsikret, den stokastisk variabeln har endast kunnat anta ett antal värden. Ex.vis Poissonfördeln. är antal observationer inom ett tidsintervall

Läs mer

Väntevärde och varians

Väntevärde och varians TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som

Läs mer

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)

Läs mer

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat

Läs mer

Lösningar till uppgifter från Milton-Arnold, kap 3 4 Matematisk statistik

Lösningar till uppgifter från Milton-Arnold, kap 3 4 Matematisk statistik Sida 1 Lösningar till uppgifter från Milton-Arnold, kap 3 4 Matematisk statistik 3.7, 3.11 Ympning används för att få en planta att växa på ett rotsystem tillhörande en annan växt. Elementarsannolikheterna

Läs mer

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 4 Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Kontinuerliga slumpvariabler En slumpvariabel som kan anta alla värden på något intervall sägs

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent

Läs mer

(x) = F X. och kvantiler

(x) = F X. och kvantiler Föreläsning 5: Matstat AK för M, HT-8 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR M HT-8 FÖRELÄSNING 5: KAPITEL 6: NORMALFÖRDELNINGEN EXEMPEL FORTKÖRARE Man har mätt hastigheten på 8 bilar som passerade en korsning i

Läs mer

Våra vanligaste fördelningar

Våra vanligaste fördelningar Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver

Läs mer

Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Repetition Kvantil Presentation Slumptal Transformer Inversmetoden Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 13 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F3 1/19 Repetition

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

Poisson Drivna Processer, Hagelbrus

Poisson Drivna Processer, Hagelbrus Kapitel 6 Poisson Drivna Processer, Hagelbrus Poissonprocessen (igen) Vi har använt Poissonprocessen en hel del som exempel. I den här föreläsningen kommer vi att titta närmare på den, och även andra processer

Läs mer

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Erik Lindström 25 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 1/16 Repetition Stok. Var. Diskret

Läs mer

5 Kontinuerliga stokastiska variabler

5 Kontinuerliga stokastiska variabler 5 Kontinuerliga stokastiska variabler Ex: X är livslängden av en glödlampa. Utfallsrummet är S = x : x 0}. X kan anta överuppräkneligt oändligt många olika värden. X är en kontinuerlig stokastisk variabel.

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

Detta formelblad får användas under både KS2T och KS2D, samt ordinarie tentamen. x = 1 n. x i. with(stats): describe[mean]([3,5]); 4.

Detta formelblad får användas under både KS2T och KS2D, samt ordinarie tentamen. x = 1 n. x i. with(stats): describe[mean]([3,5]); 4. Formelblad Detta formelblad får användas under både KST och KSD, samt ordinarie tentamen. Medelvärde x = 1 n x i with(stats): describe[mean]([3,5]); 4 Varians s = 1 (x i x) n 1 ( s = 1 x i n 1 1 n ) x

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Johan Lindström Repetition Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 1/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Grundläggande begrepp (Kap.

Läs mer

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen

Läs mer

TMS136. Föreläsning 5

TMS136. Föreläsning 5 TMS136 Föreläsning 5 Två eller flera stokastiska variabler I många situationer är det av intresse att betrakta fler än en s.v. åt gången Speciellt gör man det i statistik där man nästan alltid jobbar med

Läs mer

Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Johan Lindström 27 Januari, 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS012 F11 1/19 Repetition

Läs mer

Antal ögon Vinst (kr) Detta leder till följande uttryck E(x) = x x p X(x) x f X(x)dx

Antal ögon Vinst (kr) Detta leder till följande uttryck E(x) = x x p X(x) x f X(x)dx 8. Väntevärde Exempel. Banken ordnar ett tärningsspel där de spelande erlägger en insats på 5 kr/kast. Vinsten är beroende på hur många ögon tärningen visar: Antal ögon 3 4 5 6 Vinst (kr) 3 4 5 6 7 8 Hur

Läs mer

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga

Läs mer

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (92MA31, STN2) kl 08 12

Tentamen i matematisk statistik (92MA31, STN2) kl 08 12 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (92MA1, STN2) 21-1-16 kl 8 12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i Matematisk Statistik. Jan Grandell

Föreläsningsanteckningar i Matematisk Statistik. Jan Grandell Föreläsningsanteckningar i Matematisk Statistik Jan Grandell 2 Förord Dessa anteckningar gjordes för mitt privata bruk av föreläsningsmanuskript och har aldrig varit tänkta att användas som kursmaterial.

Läs mer

Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer

Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer TNG006 F7 25-04-2016 Centrala gränsvärdessatsen (CGS. Approximationer 7.1. Centrala gränsvärdessatsen Vi formulerade i Sats 6.10 i FÖ6 en vitig egensap hos normalfördelningen som säger att en linjär ombination

Läs mer

Statistisk analys av komplexa data

Statistisk analys av komplexa data Statistisk analys av komplexa data Trunkerade data och Tobitregression Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 10, 2015 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Trunkerade data

Läs mer

Teoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005

Teoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005 Teoretisk statistik Gunnar Englund Matematisk statistik KTH Vt 2005 Inledning Vi skall kortfattat behandla aspekter av teoretisk statistik där framför allt begreppet uttömmande (ibland kallad tillräcklig

Läs mer

Problemdel 1: Uppgift 1

Problemdel 1: Uppgift 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MT 00 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, CH 8 februari 0 LÖSNINGAR 8 februari 0 Problemdel : Uppgift Rätt svar är: a) X och X är oberoende och Y och Y

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2 Tentamen den april 7 i Statistik och sannolikhetslära för BI Uppgift : Låt händelserna A, B, C och D vara händelser i samband med ett försök. a) Anta att P(A)., P(A B)., P(A B).6. Beräkna sannolikheten

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 013-08-7 Examinator och jour: Mattias Sunden, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkänd räknare och formelsamling (formelsamling delas ut med tentan). Betygsgränser:

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

Hur måttsätta osäkerheter?

Hur måttsätta osäkerheter? Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för

Läs mer

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 8. Approximationer av sannolikhetsfördelningar Jan Grandell & Timo Koski 11.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 11.02.2016 1 / 40 Centrala

Läs mer

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar 1 Multivariata sannolikhetsfördelningar En slumpvariabel som, när slumpförsöket utförs, antar exakt ett värde sägs vara

Läs mer

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Statistiska metoder för säkerhetsanalys F3: Slumpvariaber och fördelningar Diskret Kontinuerlig Slumpvariabler Slumpvariabler = stokastiska variabler = random variables = s.v. Heter ofta X, Y, T. Diskreta kan anta ändligt eller uppräkneligt

Läs mer

Extrauppgifter i matematisk statistik

Extrauppgifter i matematisk statistik Extrauppgifter i matematisk statistik BT 2014 1. Mängden A är dubbelt så sannolik som B. Hur förhåller sig P(A B) till P(B A)? 2. Två händelser A och B har sannolikheter skilda från noll. (a) A och B är

Läs mer

Bengt Ringnér. October 30, 2006

Bengt Ringnér. October 30, 2006 Väntevärden Bengt Ringnér October 0, 2006 1 Inledning 2 Väntevärden Låt X vara en stokastisk variabel som representerar ett slumpmässigt försök, t ex att mäta en viss storhet. Antag att man kan göra, eller

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 5 Johan Lindström 12 september 216 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 F5 1/23 Repetition Gauss approximation Delta metoden

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

TMS136. Föreläsning 11

TMS136. Föreläsning 11 TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4 LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Statistiska begrepp och metoder som används i Successivprincipen

Statistiska begrepp och metoder som används i Successivprincipen Statistiska begrepp och metoder som används i Successivprincipen Generellt har statistiska procedurer antingen varit överförenklade eller opraktiska för projektteamen. Resultatet blir inte trovärdigt i

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret

Läs mer

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 24 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30 Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 20 FACIT: Tentamen L9MA0, LGMA0 Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 20-0-2

Läs mer

Formler och tabeller till kursen MSG830

Formler och tabeller till kursen MSG830 Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)

Läs mer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,

Läs mer

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Poäng totalt för del 1: 25 (12 uppgifter) Tentamensdatum 2012-12-19 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson

Läs mer

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING III

PROGRAMFÖRKLARING III Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING III Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p./22 Statistik

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2

SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2 Matematisk Statistik SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2 1 Introduktion Denna laboration är inte poänggivande utan är till för den som vill bekanta sig med MATLAB. Fokusera

Läs mer

Summor av slumpvariabler

Summor av slumpvariabler 1/22 Summor av slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 8/2 2013 2/22 Dagens föreläsning Väntevärde och varians Vanliga kontinuerliga fördelningar Parkeringsplatsproblemet

Läs mer

Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p

Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p LGR00 6 juni, 200 kl. 9.00 1.00 Kursansvarig: Eric Järpe Maxpoäng: 0 Betygsgränser: 12p: G, 21p: VG Hjälpmedel: Miniräknare samt tabell- och formelsamling

Läs mer

Oberoende stokastiska variabler

Oberoende stokastiska variabler Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen

Läs mer

Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen

Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen 1 Statistikor och samplingfördelningar I Kapitel 6 studerades metoder för att bestämma sannolikhetsfördelningen

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 14

MVE051/MSG Föreläsning 14 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska

Läs mer

Simulering. Introduktion. Exempel: Antag att någon kastar tärning

Simulering. Introduktion. Exempel: Antag att någon kastar tärning Simulering Introduktion Eempel: Antag att någon kastar tärning a) Vad är sannolikheten att på fyra kast få två seor? b) Vad är sannolikheten att på kast få mellan och 5 seor och där summan av de 5 första

Läs mer

Laboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08

Laboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 2: Om väntevärden och fördelningar 1 Syfte I denna laboration skall vi försöka

Läs mer

Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering

Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 2 Matematisk statistik AK för Π och E, FMS012, HT14/VT15 Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här laborationen

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik: HT 2014 Lab 1 för CSAMHS, CINEKI, och CL

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik: HT 2014 Lab 1 för CSAMHS, CINEKI, och CL Matematisk Statistik SF1901 Sannolikhetsteori och statistik: HT 2014 Lab 1 för CSAMHS, CINEKI, och CL Introduktion Detta är handledningen till Laboration 1, ta med en en utskriven kopia av den till laborationen.

Läs mer

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SF905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E AUGSTI 204 KL 08.00 3.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

4. Stokastiska variabler

4. Stokastiska variabler 4. Stokastiska variabler En stokastisk variabel (s.v.) är en funktion som definieras i utfallsrummet. Varje stokastisk variabel har en viss sannolikhetsstruktur. Ex: Man kastar två tärningar. Låt X = summan

Läs mer

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013 Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer