Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Transkript

1 F3: Slumpvariaber och fördelningar

2 Diskret Kontinuerlig Slumpvariabler Slumpvariabler = stokastiska variabler = random variables = s.v. Heter ofta X, Y, T. Diskreta kan anta ändligt eller uppräkneligt oändligt många värden, t.ex. mynt-/sedelvalörer, antal, N A (t), etc. Kontinuerliga kan anta oändligt många värden i ett intervall, t.ex. tiden mellan två jordbävningar, T, etc. Vi behöver ett antal sätt att beskriva variationen hos en s.v.

3 Diskret Kontinuerlig Diskret s.v.: Sannolikhetsfunktion Sannolikhetsfunktionen anger hur sannolikt varje enskilt värde är: p k = P(X = k), k =, 1, 2,... Ex: Jordbävningar (Poissonfördelning) N A (t) = antal jordbävningar i intervallet [, t] Po(l A t). p k = P(N A (t) = k) = e l At (l At) k, k =, 1, 2,... k!

4 Diskret Kontinuerlig Ex: Översvämningsår (Binomialfördelning) X = antal år det blir översvämning av n = 3 år. p = P(översvämning ett visst år) = 1/2, ober. X Bin(n, p) = Bin(3, 1/2) ( ) n p k = P(X = k) = p k (1 p) n k, k =, 1, 2,..., n k ( ) 3 p 1 = P(X = 1) = ( )1 (1 1 2 )29 =.34.4 Sannolikhetsfunktion Bin(3,.5)

5 Diskret Kontinuerlig Diskret s.v.: Fördelningsfunktion Fördelningsfunktionen (distribution function) anger hur sannolikt det är att få något som är högst lika med varje enskilt värde: F(x) = P(X x), < x < = k x p k Detta blir en stegfunktion. F(x) p k k x

6 Diskret Kontinuerlig Ex: X Bin(3, 1/2) Sannolikheten att vi får högst k år (av 3) med översvämning: F(2) = P(X 2) = p k = p + p 1 + p 2 =.81 k 2 F(2.5) = P(X 2.5) = p k = p + p 1 + p 2 =.81(!) k Fördelningsfunktion Bin(3,.5)

7 Diskret Kontinuerlig Kontinuerlig s.v.: Täthetsfunktion Täthetsfunktion = frekvensfunktion = probability-density function f(x) anger inte sannolikheten för ett enskilt värde eftersom P(X = x) = men den är proportionell mot slh att ligga i närheten av x: P(x 1 2 dx < X < x + 1 dx) f(x) dx 2.8 täthetsfunktion.6 dx f(x) x

8 Diskret Kontinuerlig Slh med hjälp av täthetsfunktion P(a < X < b) = P(a X b) = b a f(t) dt.8 arean = P(1 < X < 1.5).6 f(x) x

9 Diskret Kontinuerlig Kont. s.v.: Fördelningsfunktion Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig s.v. definieras på samma sätt som för en diskret s.v. men beräknas m.h.a. en integral: F(x) = P(X x) = x f(t) dt.8 arean = P(X 1).6 f(x) x 1 F(1) = P(X 1).8 F(x) x

10 Bin Normal Lognorm Poisson Exp Rekt Weib Gumb Vanliga fördelningar i risk-analys Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Exempel: antalet översvämningsår under ett decennium antal gånger ett gränsvärde överskrids under en mätserie.7 Bin(1,.1).7 Bin(1,.8) Publicerad postumt 1713 av Jacob (James/Jacques) Bernoulli ( ), schweizisk matematiker.

11 Bin Normal Lognorm Poisson Exp Rekt Weib Gumb Normalfördelning Beteckning: X N(m, s 2 ) Exempel: mätfel hos ett instrument som gränsfördelning för summan av slumpvariabler.4.3 Normalfördelningar N(, 1 2 ) N(, 2 2 ) N(2, ) Introducerad 1738 av Abraham de Moivre ( ), fransk matematiker. Vidareutvecklad 189 av Carl Friedrich Gauss ( ), tysk matematiker.

12 Bin Normal Lognorm Poisson Exp Rekt Weib Gumb Lognormalfördelning Beteckning: ln(x) N(m, s 2 ) Exempel: koncentration av svaveldioxid i luften vid en mätpunkt koncentration av fosfor i ett vattendrag årsnederbörd av snö Lognormalfördelningar logn(, 1 2 ) logn(, 2 2 ) logn(1, 1 2 ) Mitten av 18-talet?

13 Bin Normal Lognorm Poisson Exp Rekt Weib Gumb Poissonfördelning Beteckning: X Po(m) Exempel: antalet partiklar som sönderfaller från ett radioaktivt ämne under en minut antalet jordskalv i Kalifornien under de senaste decennierna Po(2) Po(1) Introducerad 1837 av Siméon Denis Poisson ( ), fransk matematiker och fysiker.

14 Bin Normal Lognorm Poisson Exp Rekt Weib Gumb Exponentialfördelning Beteckning: X Exp(m) Exempel: tidpunkten mellan två händelser i en Poissonprocess livslängden hos en elektrisk komponent en jordbävnings Richter-magnitud Exponentialfördelningar Exp(.5) Exp(1) Exp(3) Nämnd 1931 som ett specialfall av Gammafördelningen som introducerades 1895 av Karl Pearson ( ), engelsk matematiker.

15 Bin Normal Lognorm Poisson Exp Rekt Weib Gumb Rektangelfördelning (Likformig fördelning) Beteckning: X R(a, b) Exempel: felet vid avrundning av tal R(, 1) R( 1, 2) R(3, 3.6) Rektangelfördelningar Döptes 1937 som ett specialfall av Beta-fördelningen som beskrevs av Karl Pearson innan 1911.

16 Bin Normal Lognorm Poisson Exp Rekt Weib Gumb Weibullfördelning Exempel: styrkan hos ett material spricktillväxt i aluminiummaterial modellering av utmattningsfenomen Weibullfördelningar Weib(2, 1) = Exp(2) Weib(1, 2) = Rayleigh(1) Weib(1,.8) Introducerad 1939 av Waloddi Weibull ( ) professor i Maskinelement på KTH. Rayleigh-fördelningen uppfanns 188 av John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh ( ), engelsk fysiker och Nobelpristagare (194 för upptäckten av Argon.)

17 Bin Normal Lognorm Poisson Exp Rekt Weib Gumb Gumbelfördelning Exempel: maximala lasten på ett system/konstruktion.4.3 Gumbelfördelningar Gumb(1, 1) Gumb(2, 2) Gumb(3, 4) Uppkallad efter Emil J. Gumbel ( ) professor i Matematisk statistik i Heidelberg.

18 Väntevärde Median Varians Standardavvikelse Räkneregler Lägesmått för en s.v. Väntevärde Väntevärdet E(X) = m = tyngdpunkten: x p x, E(X) = k x f(x) dx Ex: Exponential T = antal år mellan successiva jordbävningar Exp(2): E(T) = x f(x) dx = = [ x e x/2] + x 1 2 e x/2 dx e x/2 dx = [ 2e x/2] = 2 år

19 Väntevärde Median Varians Standardavvikelse Räkneregler Median Medianen x.5 = mittersta värdet: P(X > x.5 ) =.5. Ex: Exponential T Exp(2): 1.5 = f(t) dt = x.5 x.5 2 e t/2 dt = [ e t/2] = e x.5/2 x.5 x.5 = 2 ln.5 = 2 ln år Kvantil Mer generellt a-kvantilen x a uppfyller P(X > x a ) = a. Finns tabellerad för vissa fördelningar, t.ex. x.25 = l.25 = 1.96 för X N(, 1 2 ).

20 Väntevärde Median Varians Standardavvikelse Räkneregler Spridningsmått för en s.v. Varians Variansen V(X) = s 2 = tröghetsmomentet: ( (x m) 2 p k, V(X) = E (X m) 2) = k (x m) 2 f(x) dx = E(X 2 ) m 2 Ex: Exponential T Exp(2): V(T) = E(T 2 ) m 2 = x e x/2 dx m 2 =... = = 4 år 2

21 Väntevärde Median Varians Standardavvikelse Räkneregler Standardavvikelse Standardavvikelsen D(X) = s = V(X) Ex: Exponential T Exp(2): D(T) = V(T) = 4 = 2 år. Variationskoefficient Variationskoefficienten R(X) = D(X)/E(X) anger hur stor spridningen är i förhållanden till värdenas storlek. Saknar enhet och anges ofta i procent. Används bara för positiva s.v. Ex: Exponential T Exp(2): R(T) = D(T)/E(T) = 2/2 = 1 = 1 %.

22 Väntevärde Median Varians Standardavvikelse Räkneregler Räkneregler för väntevärden och varianser E(aX + b) = ae(x) + b V(aX + b) = a 2 V(X) E(X + Y) = E(X) + E(Y) V(X + Y) = V(X) + V(Y) om X och Y är oberoende Dessa regler gäller för ALLA slumpvariabler oavsett fördelning! Om X och Y är normalfördelade gäller dessutom att fördelningen för summan också är normalfördelad.

23 Väntevärde Median Varians Standardavvikelse Räkneregler Ex: Medelvärden Om vi har n ober. s.v. X 1,..., X n med E(X i ) = m och V(X i ) = s 2 så gäller att E( X) = E( 1 n (X X n )) = 1 n (E(X 1) E(X n )) = 1 n nm = m V( X) = V( 1 n (X X n )) = 1 n 2 (V(X 1) V(X n )) = 1 n 2 ns2 = s2 n D( X) = V( X) = s n Om X i N(m, s 2 ) så gäller dessutom att X N(m, s2 n ).