Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer

Transkript

1 Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer Anna Lindgren september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 1/21

2 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z = X + Y p Z (k) = i+j=k p X (i) p Y (j) = k p X (i) p Y (k i) i=0 f Z (z) = d ( ) f X (x) f Y (y) dx dy dz x+y z Rita! Maximum/Minimum av fler oberoende n Z = max(x 1,..., X n ) F Z (z) = F Xi (z) Z = min(x 1,..., X n ) F Z (z) = 1 n [1 F Xi (z)] Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 2/21

3 sum/max/min V.v./var Väntevärde Väntevärdet anger tyngdpunkten för fördelningen { E(X) = x f X(x) dx Kont. k k p X(k) Diskr. Varians Variansen anger hur utspridd X är kring sitt väntevärde. [ ] } 2 V(X) = E{ X E(X) = E(X 2 ) E(X) 2 0 Standardavvikelse, D(X), σ, σ X D(X) = V(X) Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 3/21

4 Betingat väntevärde Det betingade väntevärdet för X givet att Y = y blir (inget nytt) { E(X Y = y) = x f X Y=y(x) dx kont. k k p X Y=y(k) diskr. Satsen om total sannolikhet för väntevärden E(E(X Y)) = E(X), dvs E(X Y = y) f Y (y) dy E(X) = E(X Y = k) p Y (k) k Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 4/21

5 Ex (forts): Om f X,Y (x, y) = e y, 0 x y Vi hade tidigare att f X Y=y (x) = 1, 0 x y dvs X Y = y R(0, y) y f Y X=x (y) = e (y x), y x dvs Y X = x x + Exp(1) f X (x) = e x, x 0 dvs X Exp(1) f Y (y) = ye y, y 0 dvs X Γ(2, 1) Vad blir E(X Y = y) och E(Y X = x)? Vad blir E(X) och E(Y)? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 5/21

6 Linjärkombination Oberoende Exempel Beroendemått Kovarians Kovarians, C(X, Y) C(X, Y) = E{[X E(X)][Y E(Y)]} = E(XY) E(X) E(Y) Kovariansen anger hur mycket linjärt beroende som finns mellan X och Y. Ur definitionen fås C(X, X) = V(X) X och Y oberoende C(X, Y) = 0 dvs X och Y är okorrelerade. Obs. C(X, Y) = 0 X och Y oberoende Korrellationskoefficient, ρ, ρ X,Y 1 ρ X,Y 1 ρ X,Y = C(X, Y) D(X)D(Y) Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 6/21

7 Linjärkombination Oberoende Exempel Korrellation Anna Lindgren FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 7/21

8 Linjärkombination Oberoende Exempel Anna Lindgren FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 8/21

9 Linjärkombination Oberoende Exempel Linjärkombination E(aX + b) = ae(x) + b V(aX + b) = a 2 V(X) D(aX + b) = a D(X) Allmänt ( n ) E a i X i = V ( n ) a i X i = n a i E(X i ) n a i a j C(X i, X j ) a 2 i V(X i) + 2 i<j }{{} =0 om okorrelerade Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 9/21

10 Linjärkombination Oberoende Exempel Kovariansen är bilinjär dvs linjär i båda argumenten (jfr polynommultiplikation) C a j X j, b k Y k = a j b k C(X j, Y k ) j k j k Exempel: 1. Beräkna E(X 1 + 2X 2 ) och E(3Y 1 4Y 2 ) 2. Beräkna V(X 1 + 2X 2 ) och V(3Y 1 4Y 2 ) 3. Beräkna C(X 1 + 2X 2, 3Y 1 4Y 2 ) Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 10/21

11 Linjärkombination Oberoende Exempel Specialfall av oberoende och likafördelade s.v. Låt E(X i ) = μ, V(X i ) = σ 2 Summa: Y = n X i ( n ) n E(Y) = E X i = E(X i ) = ( n ) V(Y) = V X i = n μ = nμ n 1 2 V(X i ) = Medelvärde: X n = 1 n X n i E( X n ) = 1 n E(X i ) = 1 n n V( X n ) = 1 n 2 n σ 2 = nσ 2 n μ = 1 n nμ = μ n V(X i ) = 1 n 2 n σ 2 = 1 n 2 nσ2 = σ2 n Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 11/21

12 Linjärkombination Oberoende Exempel Exempel: Brädor Kapa brädor med oberoende längder X i. E(X i ) = 1 m och V(X i ) = 0.1 m 2. Bestäm E(Y) och V(Y) om Y ges av a) Sammanlagda längden av 10 stycken. b) Tag en bräda, kapa nio till exakt lika långa. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 12/21

13 Tio oberoende realiseringar för succesiva medelvärden av standard exponential fördelning Vi har här E(X) = 1. 4 Succesiva medelvärden standard exponentialfördelning n Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 13/21

14 Stora talens lag Om X 1, X 2,..., X n är oberoende och likafördelade med E(X i ) = μ så gäller P( X n μ > ε) 0, n för alla ε > 0. Det vill säga medelvärdet konvergerar i sannolikhet mot väntevärdet då n växer mot oändligheten! Vi har till och med att: ({ }) P X n existerar och är lika med μ = 1 lim n Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 14/21

15 Exempel n variabler Exempel Linjärisering av g(x) kring punkten μ = E(X) g(x) g(µ) + g (µ)(x µ) g(µ) g(x) µ Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 15/21

16 Exempel n variabler Exempel Gauss approximationsformler i en variabel Y = g(x). Taylorutveckla funktionen g kring μ = E(X) g(x) g(μ) + (X μ) g (μ) = E(Y) g(e(x)) V(Y) (g [E(X)]) 2 V(X) Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 16/21

17 Exempel n variabler Exempel Exempel Låt E(X) = μ och V(X) = σ 2. a) Bestäm approximativt väntevärde och varians för Y = g(x) = πx 2. b) Bestäm väntevärdet för Y utan approximation. Vi ser att approximationen av väntevärdet alltid är för liten men stämmer bra om σ är liten i förhållande till μ. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 17/21

18 Exempel n variabler Exempel Gauss approximationsformler i n variabler För en funktion av n variabler fås på samma sätt Y = g(x 1,..., X n ) E(Y) g(e(x 1 ),..., E(X n )) n V(Y) ci 2 V(X i ) + 2 c i c j C(X i, X j ) i<j där c i = g x i (E(X 1 ),..., E(X n )) Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 18/21

19 Exempel n variabler Exempel Gaussaproximation för två variabler För en funktion av två variabler g(x, Y) blir Gauss approximationsformler (med E(X) = μ X, E(Y) = μ Y ) E ( g(x, Y) ) g(μ X, μ y ) V ( g(x, Y) ) [ g X (μ X, μ Y ) ] 2 V(X) + [ g Y (μ X, μ Y ) ] 2 V(Y) + 2 [ g X (μ X, μ Y ) ][ g Y (μ X, μ Y ) ] C(X, Y) där sista termen är noll då X och Y är okorrelerade. g X och g Y är partiell derivata map X resp. Y. Jämför detta med det generella uttrycket för en funktion av n variabler. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 19/21

20 Exempel n variabler Exempel Exempel Vi har X och Y där E(X) = μ X = 5, E(Y) = μ y = 4, D(X) = σ X = 2 och D(Y) = σ Y = 1. Bestäm approximativa värden på väntevärde och standardavvikelse för g(x, Y) = X ln Y om 1. X och Y är oberoende, 2. X och Y är beroende med korrelationskoefficient ρ = 0.9. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 20/21