Våra vanligaste fördelningar

Transkript

1 Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver antalet oberoende försök vi måste göra tills vi lyckas första gången, där varje försök lyckas med sannolikheten p. Minneslös på samma sätt som eponentialfördelningen. E [X] = p Var (X) = p p..3 px().. p =.5 FX() p = Eponentialfördelningen X är eponentialfördelad med parameter λ >, X ep(λ), om () = λe λ, () = e λ,. Eponentialfördelningen beskriver tiden tills en händelse inträffar, där λ är intensiteten för händelser. Den förväntade tiden mellan händelser är /λ, och kursboken använder β = /λ som parameter. Vanligtvis uppträder eponentialfördelningen som livslängden för en komponent, λ kallas då felintensitet. Eponentialfördelningen är minneslös, det vill säga, P (X t + T X > t) = P (X T ). I ord betyder detta att den återstående livslängden är oberoende av det förflutna komponenter åldras eller slits inte. E [X] = λ Var (X) = λ Intressant specialfall: X ep(λ ), X ep(λ ) och oberoende = min(x, X ) ep(λ + λ )..5 λ = λ = λ = λ = ().5 λ =.5 ().5 λ =

2 Sida Negativ binomialfördelning är en generalisering av den geometriska fördelningen ovan. X är negativt binomialfördelad med parametrar p och r, om ( ) k P (X = k) = ( p) k r p r, k = r, r +, r +,... r Beskriver antalet försök vi måste göra tills vi lyckas r:te gången, där varje försök lyckas med sannolikheten p. Med det inser vi att detta är fördelningen för en summa av r stycken oberoende geometriskt fördelade stokastiska variabler, och då r = får vi precis geometriska fördelningen. E [X] = r p Var (X) = r p p. Γ-fördelningen (Gamma-fördelningen) X är Γ-fördelad med parametrar n och λ om () = Funktionen i nämnaren Γ(n) definieras av Γ(n) = λn Γ(n) n e λ,, z n e z dz, n. Om n är heltalig så är Γ(n) = (n )!, och fördelningen () är fördelningen för en summa av n oberoende, eponentialfördelade stokastiska variabler, alla med parameter λ. För n = är Γ-fördelningen lika med eponentialfördelningen. E [X] = n λ Var (X) = n λ. Intressant relation: X Γ(n, λ) = λx Γ(n, ), där vi kan få konfidensintervall för λ genom att avläsa Γ(n, )-tabeller..4 n = 4, λ = n =, λ = (). n = 4, λ = ().5 n = 4, λ = n =, λ = n = 4, λ =

3 Sida 3 Binomialfördelningen X är binomialfördelad med parametrar n och p, X Bin(n, p) om ( ) n P (X = k) = p k ( p) n k, k =,..., n. k Typisk situation är att X är antalet lyckade försök i en serie av n oberoende försök, vardera med sannolikhet p att lyckas. E [X] = np Var (X) = np( p). Om n är stor och p liten, kan binomialfördelningen approimeras med Poissonfördelningen med c = np..3 n =, p =.3. p X (). ().5 n =, p = Poisson-fördelningen X är Poissonfördelad med parameter c, X Po(c), om P (X = k) = ck k! e c, k =,,... Poissonfördelningen räknar antalet händelser, typiskt över ett tidsintervall T, där händelser sker med intensitet λ. En vanlig modell för antalet inkommande samtal till en telefonstation under tiden T. Parametern c tolkas som det förväntade antalet händelser, och uppfyller c = λt. Tiden mellan två händelser är eponentialfördelad med parameter λ, och på grund av minneslösheten, är antalet händelser på disjunkta (ej överlappande) intervall oberoende. E [X] = c Var (X) = c Intressant relation: X Po(c ), X Po(c ) och oberoende = X + X Po(c + c )..3 c = 3. p X (). ().5 c =

4 Sida 4 Hypergeometrisk fördelning X är hypergeometriskt fördelad med parametrar s, v och n, om ( )( ) s v P (X = k) = k n k ( ), k = ma(n v, ),..., min(s, n). s + v n Detta är ingen fördelning att minnas egentligen, utan den kan lätt härledas när den behövs. Fördelningen uppstår då vi vill plocka n kulor (utan återläggning) ur en urna med s svarta och v vita kulor, och sedan räknar antalet svarta bland dessa n dragna. Vanligtvis brukar problemen ställas i form av defekta och hela enheter i ett parti varor istället för svarta och vita kulor. För kompletthetens skull infogas här också väntevärdet och variansen för den hypergeometriska fördelningen ovan. E [X] = s s + v n Var (X) = sv (s + v) n s + v n s + v. Likformig fördelning (kontinuerliga fallet) X är likformigt fördelad på intervallet [a, b], X Likf(a, b), om () = b a, a b () = a b a, a b. Detta är en grundläggande fördelning och definierar vad vi menar med på måfå, och såsom brukligt för grundläggande saker är beteckningen Likf(a, b) ej standard. Alla skriver olika. E [X] = a + b Var (X) = (b a). Intressant relation: Vi vet att funktioner av stokastiska variabler i sig är nya stokastiska variabler. Om Y godtycklig stokastisk variabel med fördelningsfunktion F Y (t), så är X = F Y (Y ) en ny stokastisk variabel och X Likf(, ). a =, b = 5 a = 3, b = 9 ().5 a = 4, b = 5 ().5 a =, b = 5 a = 3, b = 9 a = 4, b = Likformig fördelning (diskreta fallet) X är likformigt fördelad på talen {a, a +,..., b}, om E [X] = a + b P (X = k) = b a +, a k b. Var (X) = (b a)(b a + ).

5 Sida 5 Bernoullifördelning (tvåpunktsfördelning) X är Bernoullifördelad med parameter p om den bara kan anta värdena och, och P (X = ) = p P (X = ) = p. Ett annat vanligt namn på en sådan variabel är indikatorvariabel. E [X] = p Var (X) = p( p) En summa av n oberoende Bernoullivariabler är binomialfördelad med parametrar n och p. Normalfördelningen X är normalfördelad med parametrar µ och σ, X N(µ, σ ) om () = πσ e ( µ) /(σ ). Denna dyker upp precis överallt! Under väldigt allmänna villkor kommer summor av oberoende stokastiska variabler att vara approimativt normalfördelade. E [X] = µ Var (X) = σ. Observera att en del använder beteckningssättet N(µ, σ) och anger standardavvikelsen istället för variansen. Alla linjärkombinationer av oberoende normalfördelade stokastiska variabler är i sig normalfördelade. Grundläggande relation: X N(µ, σ ) = X µ σ N(, )..4 µ = 5, σ = µ = 5, σ = µ = 3, σ = (). ().5 µ = 5, σ = µ = 5, σ = µ = 3, σ = χ -fördelningen ( Tji-två, eng. Chi-square) Förekommer om X,..., X n är oberoende N(, ) så är Y = X + +X n, χ -fördelad med parameter n, vilket utläses med n frihetsgrader. Speciellt: Y χ m, Y χ n och oberoende, ger Y + Y χ n+m. E [Y ] = n Var (Y ) = n. χ -fördelningen är ett specialfall av Γ-fördelningen med (n, λ) = (n/, /)..6 n = ().4. n = 4 n = 8 ().5 n = n = 4 n =