Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2"

Transkript

1 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS, Autumn 008) 1 Stokastisk Variabel En stokastisk variabel (slumpvariabel) är en kvantitativ variabel vars värde bestäms av ett slumpförsök. Utfallet av slumpförsöket bestämmer vilket värde den stokastiska variabeln skall anta. Innan slumpförsöket äger rum, vet vi inte vilket värde den kommer att anta. Men vi kan i förväg säga vilka som är dess möjliga värden. Eempel: (vilka är de möjliga värdena?) Antal prickar vid ett kast med en tärning Summan av antal prickar vid två tärningskast Antal kast tills man för första gången får en sea Antal krona vid två myntkast Antal flickor i en slumpmässigt vald trebarnsfamilj Längden hos ett slumpmässigt valt nyfött barn Livslängden hos en slumpmässigt vald glödlampa Årsinkomsten i ett slumpmässigt valt hushåll.

2 Diskret eller Kontinuerlig? Stokastiska variabler kan vara diskreta eller kontinuerliga. En diskret stokastisk variabel kan anta ett ändligt (eller uppräkneligt oändligt) antal möjliga värden. En kontinuerlig stokastisk variabel kan anta alla värden inom ett intervall på den reella talaeln (intervallet kan ha oändlig utsträckning). Eempel Stokastiska Variabler Kap. 6 Diskreta Kontinuerliga Kap. 7 & 9 Stokastiska Variabler Stokastiska Variabler 3 Diskreta Stokastiska Variabler kan anta ett ändligt (eller uppräkneligt oändligt) antal möjliga värden. Eempel: Kasta en tärning två ggr Låt vara # ggr man får 4 prickar ( kan anta värdena 0, 1, eller ) Kasta ett mynt 5 ggr. Låt Y vara # krona (Heads) (Y kan anta värdena 0, 1,, 3, 4, eller 5) 4

3 Diskreta sannolikhetsfördelningar (Sannolikhetsfördelningar för diskreta stokastiska variabler) Slumpförsök: Kasta mynt ggr. Låt # heads. Visa P(), dvs, P( ), för alla möliga värdena på : 4 möjliga utfall T T T H H T H H Sannolikhetsfördelning -värde sannolikhet 0 1/4.5 1 /4.50 1/4.5 Sannolikhet Diskret Sannolikhetsfördelning: Egenskaper P() 0 för alla möjliga värde på Sannolikheterna på alla möjliga värde adderas till 1; P() 1 6

4 Fördelningsfunktionen Fördelningsfunktion (eng. cumulative probability distribution function) betecknas med F( 0 ), och är sannolikheten att är mindre eller lika med 0: F( 0 ) P( 0 ) Med andra ord, F( 0 ) P() 0 7 Väntevärde Väntevärde (eller genomsnittvärde) av en diskret stokastisk variabel är den viktade medelvärde: E() Eempel: Kasta mynt ggr, # of heads, Beräkna väntevärde av : P() E() (0.5) + (1.50) + (.5) 1.0 P()

5 Varians & Standardavvikelse Varians för en dieskret stokastisk variabel defineras som E( ) ( Standardavvikelse för en dieskret stokastisk variabel defineras som ) P() ( ) P() 9 Standardavvikelse: Eempel Eempel: Kasta mynt (eller en mynt ggr) och låt # heads. (Vi minns E() 1 ). Därför får vi ( ) P() (0 1) (.5) + (1 1) (.50) + ( 1) (.5) Möjliga # heads 0, 1, or 10

6 Några speciella Sannolikhetsfördelningar Kap. 6 Diskreta Kontinuerliga Kap. 7 Sannolikhetsfördelningar Sannolikhetsfördelningar Sannolikhetsfördelningar Bernoulli Binomial Hypergeometriska Poisson Likformig Normal Standard Normal Eponential 11 Bernoullifördelningen Diskreta Sannolikhetsfördelningar Bernoulli Sannolikhetsfördelningar Binomia l Hypergeometriska Poisson 1

7 Bernoullifördelningen En stokastisk variabel har en Bernoullifördelning, om den antar endast värdena 0 och 1 (mots. Failure och Success ), med sannolikheter 1-p respektive p. (0 p 1). Sannolikhetsfördelningen ser alltså ut så här: : 0 1 P(): 1 p Väntevärde och varians E() P() (0)(1 p) + (1)p p E[( ) ] (0 p) ( (1 p) + (1 p) ) p p p() p(1 p) 13 Bernoullifördelningen: typisk användning Vi har ett slumpförsök där vi bara är intresserade av ifall en viss händelse A inträffar eller ej. Låt P(A) p och P( A) 1-p. Låt vara en indikatorvariabel för händelsen A. Dvs. om A inträffar, så blir 1, och om A inte inträffar, så blir 0. Alltså är en stokastisk variabel som anger om händelsen A inträffar eller ej. Då har en Bernoullifördelning med P(A) P(1) p. 14

8 Bernoullifördelningen: eempel Slumpförsök: ett kast med en tärning. Låt vara indikatorvariabel för händelsen att få sea. Dvs. 1 om vi får en sea, och 0 om vi inte får en sea. Då har en Bernoullifördelning med p 1/6 E() p 1/6 Var() p(1-p) (1/6) (5/6) 5/36 15 Binomialfördelningen Sannolikhetsfördelningar Diskreta Sannolikhetsfördelningar Bernoulli Binomial Hypergeometriska Poisson 16

9 Binomialfördelningen Används som modell i situation av följande slag: Ett slumpförsök upprepas n gånger (oberoende upprepningar). Varje gång två möjliga resultat: A (Success) och icke- A (Failure). Sannolikheten för A (Success) är densamma varje gång, P(A) p. antalet gånger som A inträffar totalt. Då är en binomialfördelad stokastisk variabel med parametrar n och p. ~Bin(n, p) Hur ser sannolikhetsfunktionen, P(), ut? 17 Binomial sannolikhetsfunktion n P() p ( 1-p) n! för 0,1,..., n. n! ( n - ) p! ( 1-p) n P() Sannolikheten att få successes i n försök, med sannolikhet för successes p vid varje försök. # successes bland n försök ( 0, 1,,..., n) n p stickprovsstorleken (# försök eller # observationer) sannolikheten för success vid varje försök Eempel: Kasta ett mynt 4 ggr. och låt # heads: n 4 p p (1-0.5) 0.5 0, 1,, 3, 4

10 Binomial sannolikhetsfunktion: mer eempel Vad är sannolikheten att få 1 success i 5 försök om sannolikheten för success vid varje försök är 0.1? n 5, p 0.1, och 1 P( 1) n! n P (1 P)!(n )! 5! 1 (0.1) (1 0.1) 1!(5 1)! (5)(0.1)(0.9) Binomialfördelningen: form Formen (eng. shape) på binomialfördelningen Mean beror på n och p: Här, n 5 och p 0.1 P() n 5 p Här, n 5 och p 0.5 n 5 p 0.5 P()

11 Binomialfördelningen: Väntevärde & varians Väntevärde: E() np Varians (och) standardavvikelse: np(1 np(1 - p) - p) där n stickprovsstorlek p sannolikheten för success (1 p) sannolikheten för failure 1 Väntevärde & varians: eempel np (5)(0.1) 0.5 Mean np(1- p) (5)(0.1)(1 0.1) np (5)(0.5) np(1- p) (5)(0.5)(1 0.5) P() n 5 p n 5 p 0.5 P()

12 Binomial-tabell (LLL Table A1, sid. A) N p.0 p.5 p.30 p.35 p.40 p.45 p Eempel: n 10, 3, P 0.35: P( 3 n 10, p 0.35).5 n 10, 8, P 0.45: P( 8 n 10, p 0.45).09 3 Binomial-tabellen (forts.) Tabell A1 i LLL ger sannolikheterna P() P() ( 0, 1,,, n) för n 1,,, 0 och p 0.05, 0.10, 0.15,, Hur gör man när p > 0.5? Man söker för sannolikheten för # Failuire istället (eempel kommer senare). Hur gör man när n > 0? Approimation med hjälp av normalfördelningen (kommer längre fram). Binomialsannolikheter kan även enkelt erhållas med Ecel eller Minitab (för många fler värden på n och p).

13 Mer eempel (övning) Vi gör 0 kast med ett mynt. Oberoende mellan kasten antas. (a) Vilken fördelning har antalet krona? (b) Bestäm P( 1). (c) Bestäm P( 1). (d) Bestäm P( 15). (e) Bestäm P(8 1). (f) Vad är det förväntade antalet krona? Svar: a) är Bin(0; 0.5). b) P( 1) c) P( 1) d) P( 15) 1 P( 14) e) P(8 1) P( 1) P( 7) f) E() np 0 (0.5) 10. Mer eempel (övning) Man utför en serie om 1 oberoende försök. Varje gång är sannolikheten 0.8 för att det skall bli ett lyckat försök. (a) Vilken fördelning har antalet lyckade försök? (b) Bestäm P( 10). (c) Bestäm P( 10). (d) Bestäm P(5 < 10). Svar: a) är Bin(1; 0.8). Här kan tabellerna inte användas direkt, eftersom p>0.5. Vi ser i stället på Y antalet misslyckade försök. Vi inser att Y är Bin(1; 0,). Alltså kan tabellerna användas för att bestämma sannolikheter med avseende på Y. b) P( 10) P(10 lyckade försök) P( misslyckade) P(Y ) c) P( 10) P(Y ) 1 P(Y 1) d) P(5 < 10) P( Y 6) P(Y 6) P(Y 1)

14 Hypergeometriska fördelningen Diskreta Sannolikhetsfördelningar Bernoulli Binomial Sannolikhetsfördelningar Hypergeometriska Poisson 7 Hypergeometriska fördelningen: Typisk situation Population med N individer, varav N 1 har en viss egenskap, medan de övriga N N N 1 saknar egenskapen. Från populationen väljs (utan återläggning) ett stickprov med n individer. antal individer i stickprovet, som har den aktuella egenskapen. Då är en hypergeometriskt fördelad stokastisk variabel. ~ Hyp(n; N 1 ; N). Varför INTE använda Binomial fördelningen? Hur ser sannolikhetsfunktionen, p(), ut? 8

15 Hypergeometriska sannolikhetsfunktionen N 1 N n P() N n N 1! N!!(N 1 )! (n )!(N N! n!(n n)! ( n ) )! där N populationsstorlek N 1 # i populationen med en viss egenskap N N N 1 # i populationen utan egenskapen n stickprovsstorleken # i stickprovet med egenskapen n - # i stickprovet utan egenskapen 9 Hypergeometriska sann. funktion: eempel 1 3 datorer undersöks från 10 vid ett institution. 4 av de 10 datorer har programvara som installerats illegalt. Vad är sannolikheten att av de 3 undersökta datorer har den illegala programvaran? N 10 n 3 N 1 4 N 1 N 4 6 n - 1 (6)(6) P( ) 0.3 N n 3 Sannolikheten att av de 3 undersökta datorer har den illegala programvaran är 0.30, eller 30%. 30

16 Hypergeometriska sann. funktion: eempel En låda innehåller tio lampor varav tre är felaktiga. Fem lampor väljs ut slumpmässigt (utan återläggning). (a) Vad är slh att högst en utvald lampa är felaktig? (b) Vad är slh att åtm. en utvald lampa är felaktig? N 10 n 5 N 1 3 < (a) > 0 (b) P( < ) P( 0) + P( 1) P( > 0) 1 P( 0) Poissonfördelningen Diskreta Sannolikhetsfördelningar Bernoulli Binomial Sannolikhetsfördelningar Hypergeometriska Poisson 3

17 Poissonfördelningen Används ibland som sannolikhetsmodell, när man studerar hur många gånger en händelse inträffar under ett givet tidsintervall. Inträffandena antas ske i viss mening slumpmässigt i tiden. Inträffandena kan ske vid vilka tidpunkter som helst, oberoende av varandra, och hela tiden med samma intensitet, λ (lambda). antal gånger som händelsen inträffar under ett tidsintervall av given längd. Då är en Poissonfördelad stokastisk variabel med parameter λ. ~ Poisson(λ). 33 Sannolikhetsfunktionen för Poissonfördelning P() e! där: antal gånger som händelsen inträffar under ett tidsintervall av given längd (# success ) λ intensiteten, dvs. förväntade antalet gånger som händelsen kommer att inträffa under en tidsperiod av given längd e base of the natural logarithm system ( ) 34

18 Poissonfördelning: Väntevärde och varians Väntevärde E() Varians och standardavvikelse E[( µ) ] Dvs. för Poissonfördelning är väntevärde och varians lika. 35 Poisson-tabellen (LLL Tabell A, sid. A7) λ Eempel: Beräkna P( ) om λ.50 e λ λ e 0.50 (0.50) P( ).0758!! 36

19 Graf för Poissonsannolikheter Grafisk: λ λ P() P( ) Poissonfördelningen: form Formen (eng. shape) på Poissonfördelningen beror på parametern λ: 0.70 λ 0.50 λ P() P()

20 Simultant fördelade stokastiska variabler Ibland vill vi samtidigt studera flera olika stokastiska variabler, vilkas värde bestäms i ett och samma slumpförsök. Ofta är vi intresserade av hur variablerna eventuellt samvarierar. Eempel: a) Välj slumpmässigt en man från en population av män. den valde mannens vikt Y den valde mannens längd b) Gör två kast med en tärning. antal prickar i första kastet Y antal prickar i andra kastet c) Välj slumpmässigt en familj från en population av familjer. antal pojkar i den valda familjen Y antal flickor i den valda familjen Vi säger att och Y är simultant fördelade. 39 Simultant sannolikhetsfunktioner Låt och Y vara två diskreta stokastiska variabler, som uppträder tillsammans. De har då en simultan sannolikhetsfunktion: P(, y) P( Y y) Den simultana slh-funktionen ger alltså slh för att få olika kombinationer av värden på och Y. Vi säger att den ger oss den simultana sannolikhetsfördelningen för och Y. 40

21 Marginella sannolikhetsfunktioner De marginella sannolikheter får vi enligt nedan: P() P(,y) y P(y) P(,y) Eempel: 41 Betingad sannolikhetsfunktioner Den betingade sannolikhetsfunktionen för Y ger sannolikheten att Y antar värde y för ett specificerat värde på : P(,y) P(y ) P() På liknande sätt, den betingade sannolikhetsfunktionen för ger sannolikheten att antar värde för ett specificerat värde på Y: P(,y) P( y) P(y) 4

22 Oberoende och Y är oberoende om den simultan sannolikhetsfunktion är lika som produkten av de marginella sannolikhetsfunktionerna : P(, y) P()P(y) för alla värde av och y. Detta kan generaliseras till k stokastiska variabler: 1,,, k är oberoende om P(1,, L,k ) P(1)P( ) LP( k ) 43 Kovarians Låt och Y vara diskreta stokastiska variabler med väntevärde resp. Y Kovarians mellan och Y definieras som väntevärdet av ( - )(Y - Y): Cov(, Y) E[( )(Y Y )] ( )(y y )P(, y) y eller Cov(, Y) E(Y) yp(, y) y y y 44

23 Kovarians och Oberoende Kovarians mäter linjär samband mellan två variabler: Om två stokastiska variabler är statistisk oberoende, är kovariansen dem emellan 0. Omvänd är det inte alltid sant 45 Korrelation Korrelationen mellan och Y är: Corr(, Y) Cov(, Y) 0 ingen linjär samband mellan och Y > 0 positiv linjär samband mellan och Y när is hög (låg) är det mer sannolikt att Y också är hög (låg) +1 perfekt positiv linjär samband < 0 negativ linjär samband mellan and Y när är hög (låg) är det mer sannolikt att Y är låg (hög) -1 perfekt negativ linjär samband Y 46

24 Funktioner av Stokastiska Variabler p() är sannolikhetsfördelning för en stokastisk variable g() är någon funktion av Då är väntevärdet för g() E[g()] g()p() 47 Linjära funktioner av stokastiska variabler Låt a och b vara konstanter. Då gäller E(a) a och Var(a) 0 dvs, om en stokastisk variabel antar endast ett värde a då blir väntevärdet (medelvärde) a och variansen blir 0 (det finns ju inga variation!) Vidare gäller E(b) b och Var(b) b dvs, väntevärde (medelvärde) för b är b gånger väntevärdet för, medan variansen för b är b gånger variansen för (diskutera!) 48

25 Linjära funktioner av stokastiska variabler Låt vara en stokastisk variabel med väntevärde µ och varians Låt a och b vara konstanter. Låt Y a + b Då gäller det att Y E( Y) E(a+ b) E(a) + be() a + b Y Var( Y) Var(a + b) Var(a) + Var(b) b så att standardavvikelsen för Y blir Y b 49 Linjära funktioner av stokastiska variabler: eempel antal arbetsdagar i ett framtida projekt. antas vara en stokastisk variabel med följande sannolikhetsfördelning: ( antal arbetsdagar) P() Kostnaden för projektet består av dels en fast kostnad på $5 000, dels en arbetskostnad på $900 per arbetsdag. Beräkna väntevärde, varians och standardavvikelse för projektets totalkostnad. Med användning av givna definitioner av väntevärde och varians får vi (se nästa sida för detaljerna) 50

26 Linjära funktioner av stokastiska variabler: eempel Låt nu Y totalkostnaden. Eftersom Y , blir och Y ( antal arbetsdagar) Y P() P() 10(0.1) + 11(0.3) + 1(0.3) + 13(0.) + 14(0.1) E( ) ( ) P() ( ) (0.1) + ( ) (0.3) + ( ) (0.3) + ( ) (0.) + ( ) (0.1) E( Y ) E( ) E() (11.90) Var( Y ) Var( ) ( 900) ( 1.9) ( 900) Y 1.9 Var( Y) ( 900) Tillämpning (eempel) Låt den stokastiska variabeln vara värdet på aktie A Låt den stokastiska variabeln Y vara värdet på aktie B Marknadsvärde, W, för portföljen ges av den linjär funktion W a + by där a # aktie A b # aktie B 5

27 Tillämpning (forts.) Väntevärdet för W: E[W] E[a + by] W a Varians för W: + b W a + b Y + abcov(,y) eller W a + b Y + abcorr(, Y) Y Y 53 Tillämpning (forts.) Avkastning per $1,000 för två investeringstyp Investeringstyp P( i y i ) Marknadsföruts. Passiv fond () Aktiv fond (Y). lågkonjunktur - $ 5 - $00.5 Stadig konjunktur högkonjunktur E() (-5)(.) +(50)(.5) + (100)(.3) 50 E(Y) y (-00)(.) +(60)(.5) + (350)(.3) 95 54

28 Tillämpning (forts.) Standardavvikelse för Avkastning Investeringstyp P( i y i ) Marknadsföruts. Passiv fond () Aktiv fond (Y). lågkonjunktur - $ 5 - $00.5 Stadig konjunktur högkonjunktur ( ) (0.) + (50 50) (0.5) + (100 50) (0.3) y (-00 95) (0.) + (60 95) (0.5) + (350 95) (0.3) Tillämpning (forts.) Kovarians för Avkastning Investeringstyp P( i,y i ) Marknadsföruts. Passiv fond () Aktiv fond (Y). lågkonjunktur - $ 5 - $00.5 Stadig konjunktur högkonjunktur Cov(, Y) (-5 50)(-00 95)(.) + (50 50)(60 95)(.5) + (100 50)(350 95)(.3) 850 Cov(, Y) 850 Corr(, Y) Y ( 43.30)( 193.1) 56

29 Tillämpning (forts.) Investment : Investment Y: y 95 y y 850 Om 40% av portföljen (P) är investerad i och 60% i Y, då får vi E(P).4(50) + (.6)(95) 77 P (.4) (43.30) + (.6) (193.1) + (.4)(.6)(850) Tillämpning (forts.) Den aktiva fonden har högre förväntad avkastning, men också mycket högre risk (variabilitet) y 95 > 50 men y > Kovariansen på 850 (eller korrelationen på 0.986) visar att de passiva och aktiva investeringar samvarierar starkt i samma inriktning. 58

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P.

F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P. Stat. teori gk, ht 2006, JW F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.4-5.6) Binomialfördelningen Används som modell i situation av följande slag: Ett slumpförsök upprepas n gånger (oberoende upprepningar). Varje

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

modell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt

modell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F5 Diskreta variabler Kursens mål beskriva/analysera data formellt verktyg strukturera omvärlden innehåll osäkerhet

Läs mer

4.1 Grundläggande sannolikhetslära

4.1 Grundläggande sannolikhetslära 4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan

Läs mer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,

Läs mer

SOS HT Slumpvariabler Diskreta slumpvariabler Binomialfördelning. Sannolikhetsfunktion. Slumpförsök.

SOS HT Slumpvariabler Diskreta slumpvariabler Binomialfördelning. Sannolikhetsfunktion. Slumpförsök. Probability 21-9-24 SOS HT1 Slumpvariabler Slumpvariabler Ett slumpmässigt försök ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöket. Talet är alltså inte känt före försöket; det bestäms

Läs mer

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)

Läs mer

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat

Läs mer

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

Våra vanligaste fördelningar

Våra vanligaste fördelningar Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver

Läs mer

4. Stokastiska variabler

4. Stokastiska variabler 4. Stokastiska variabler En stokastisk variabel (s.v.) är en funktion som definieras i utfallsrummet. Varje stokastisk variabel har en viss sannolikhetsstruktur. Ex: Man kastar två tärningar. Låt X = summan

Läs mer

4.2.1 Binomialfördelning

4.2.1 Binomialfördelning Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? 4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsning 2 732G70 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde (mellan

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,

Läs mer

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar 1 Multivariata sannolikhetsfördelningar En slumpvariabel som, när slumpförsöket utförs, antar exakt ett värde sägs vara

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska

Läs mer

LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg

LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg Simulering i MINITAB Det finns goda möjligheter att utföra olika typer av simuleringar i Minitab. Gemensamt för dessa är att man börjar

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1 Sannolikhetslära (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4 LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja

Läs mer

Laboration med Minitab

Laboration med Minitab MATEMATIK OCH STATISTIK NV1 2005 02 07 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Silvelyn Zwanzig, Tel. 471 31 84 Laboration med Minitab I denna laboration skall du få stifta bekantskap med ett statistiskt

Läs mer

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 8. Approximationer av sannolikhetsfördelningar Jan Grandell & Timo Koski 11.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 11.02.2016 1 / 40 Centrala

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga

Läs mer

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Statistiska metoder för säkerhetsanalys F3: Slumpvariaber och fördelningar Diskret Kontinuerlig Slumpvariabler Slumpvariabler = stokastiska variabler = random variables = s.v. Heter ofta X, Y, T. Diskreta kan anta ändligt eller uppräkneligt

Läs mer

Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära

Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära kap 4 Sannolikhetslära och slumpvariabler kap 5 Stickprov, medelvärden, CGS, binomialfördelning Viktiga grundbegrepp utfall, händelse, sannolikheter, betingad

Läs mer

Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer

Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer TNG006 F7 25-04-2016 Centrala gränsvärdessatsen (CGS. Approximationer 7.1. Centrala gränsvärdessatsen Vi formulerade i Sats 6.10 i FÖ6 en vitig egensap hos normalfördelningen som säger att en linjär ombination

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, De stora talens lag Jan Grandell & Timo Koski 04.02.2016 Jan Grandell & Timo

Läs mer

Något om sannolikheter, slumpvariabler och slumpmässiga urval

Något om sannolikheter, slumpvariabler och slumpmässiga urval LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen Statistik Stig Danielsson 004-0-3 Något om sannolikheter, slumpvariabler och slumpmässiga urval 1. Inledning Observerade data innehåller ofta någon form

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler

4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Stokastiskavariabler Stokastisk variabel (eng: random variable) En variabel vars värde

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tid: Måndagen den 2015-06-01, 8.30-12.30. Examinator och Jour: Olle Nerman, tel. 7723565, rum 3056, MV, Chalmers. Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

Hur måttsätta osäkerheter?

Hur måttsätta osäkerheter? Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för

Läs mer

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )

F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.1-4.2) Ordlista till NCT Random experiment Outcome Sample space Event Set Subset Union Intersection Complement Mutually exclusive Collectively exhaustive

Läs mer

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 1 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Kursens uppbyggnad 9 föreläsningar Föreläsningsunderlag läggs ut på kurshemsidan 5 lektioner Uppgifter från kursboken enligt planering 5 laborationer

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Erik Lindström 25 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 1/16 Repetition Stok. Var. Diskret

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 4 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Sannolikhet Vad är sannolikhet? o Slumpvariabel o Sannolikhetsfördelningar Binomialfördelning Normalfördelning o Stickprov och population o Centrala

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

Formler och tabeller till kursen MSG830

Formler och tabeller till kursen MSG830 Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)

Läs mer

Föreläsning 4, Matematisk statistik för M

Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Erik Lindström 1 april 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 1/19 Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: Ett slumpmässigt försök med

Läs mer

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6):

Nedan redovisas resultatet med hjälp av ett antal olika diagram (pkt 1-6): EM-fotboll 2012 några grafer Sport är en verksamhet som genererar mängder av numerisk information som följs med stort intresse EM i fotboll är inget undantag och detta dokument visar några grafer med kommentarer

Läs mer

Detta formelblad får användas under både KS2T och KS2D, samt ordinarie tentamen. x = 1 n. x i. with(stats): describe[mean]([3,5]); 4.

Detta formelblad får användas under både KS2T och KS2D, samt ordinarie tentamen. x = 1 n. x i. with(stats): describe[mean]([3,5]); 4. Formelblad Detta formelblad får användas under både KST och KSD, samt ordinarie tentamen. Medelvärde x = 1 n x i with(stats): describe[mean]([3,5]); 4 Varians s = 1 (x i x) n 1 ( s = 1 x i n 1 1 n ) x

Läs mer

Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)

Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005) Repetition och förberedelse Sannolikhet och sta.s.k (1MS005) Formellsamling och teori Nästa varje ekva.on som vi använder under kursen finns I samlingen. Tricket i examen är hica räc metod/fördelning.ll

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Lärare: Mikael Elenius, 2006-08-25, kl:9-14 Betygsgränser: 65 poäng Väl Godkänt, 50 poäng

Läs mer

Blandade problem från elektro- och datateknik

Blandade problem från elektro- och datateknik Blandade problem från elektro- och datateknik Sannolikhetsteori (Kapitel 1-10) E1. En viss typ av elektroniska komponenter anses ha exponentialfördelade livslängder. Efter 3000 timmar brukar 90 % av komponenterna

Läs mer

Väntevärde och varians

Väntevärde och varians TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning

LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning Föreläsning 1 Dagens innehåll 1 Kvalitet 2 Acceptanskontroll enligt attributmetoden 3 Enkel provtagningsplan 4 Design av enkel provtagningsplan med binomialnomogram 5 Genomgång av problem 1.5 från boken.

Läs mer

Lärare 1. Lärare 1 Binomial och normalfördelning Fel i statistiska undersökningar Att tolka undersökningar Falska samband Jämföra i tid och rum

Lärare 1. Lärare 1 Binomial och normalfördelning Fel i statistiska undersökningar Att tolka undersökningar Falska samband Jämföra i tid och rum Lärare 1 Lärare 1 Binomial och normalfördelning Fel i statistiska undersökningar Att tolka undersökningar Falska samband Jämföra i tid och rum Lärare 2 Att utföra undersökningar Sneda statistiska underlag

Läs mer

Välkommen till Matematik 3 för lärare!

Välkommen till Matematik 3 för lärare! Välkommen till Matematik 3 för lärare! Nu: Statistik för lärare + Linjär algebra + datorlabbar Antagen? Registrerad? För er som läser första ämnet nu (MAxx eller FYMA): Hållbar Utveckling med Människan

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent

Läs mer

Datorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen

Datorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, HT-16 Datorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen Syftet med den här laborationen

Läs mer

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)

Läs mer

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 4 Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Kontinuerliga slumpvariabler En slumpvariabel som kan anta alla värden på något intervall sägs

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng (TNK, ET, BTG) Peter Anton, Per Arnqvist Anton Grafström TENTAMEN 7-8-9 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN

Läs mer

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I G Gripenberg Aalto-universitetet januari G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, del

Läs mer

Satsen om total sannolikhet och Bayes sats

Satsen om total sannolikhet och Bayes sats Satsen om total sannolikhet och Bayes sats Satsen om total sannolikhet Ibland är det svårt att direkt räkna ut en sannolikhet pga att händelsen är komplicerad/komplex. Då kan man ofta använda satsen om

Läs mer

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013 Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

träna på att använda olika grafiska metoder för att undersöka vilka fördelningar ett datamaterial kan komma från

träna på att använda olika grafiska metoder för att undersöka vilka fördelningar ett datamaterial kan komma från Matematikcentrum Matematisk statistik MASB11: BIOSTATISTISK GRUNDKURS DATORLABORATION 1, 1 APRIL 215 FÖRDELNINGAR, SIMULERING OCH FÖRDELNINGSANPASSNING Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska

Läs mer

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012 Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig

Läs mer

Slumpvariabler och sannolikhetsfördelningar

Slumpvariabler och sannolikhetsfördelningar och sannolikhetsfördelningar Föreläsning 4 Sannolikhet och Statistik 5 hp Fredrik Jonsson April 2010 Översikt 1. Verklighetsanknutna exempel. Definition relativt utfallsrum. 2. Sannolikhetsfördelningar

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 24 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30 Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 20 FACIT: Tentamen L9MA0, LGMA0 Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 20-0-2

Läs mer

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 4 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Icke-parametriska test Mann-Whitneys test (kap 8.10 8.11) Wilcoxons test (kap 9.5) o Transformationer (kap 13) o Ev. Andelar

Läs mer

χ 2, chi-två Test av anpassning: sannolikheter specificerade Data: n observationer klassificerade i K olika kategorier:

χ 2, chi-två Test av anpassning: sannolikheter specificerade Data: n observationer klassificerade i K olika kategorier: Stat. teori gk, ht 006, JW F1 χ -TEST (NCT 16.1-16.) Ordlista till NCT Goodness-of-fit-test χ, chi-square Test av anpassning χ, chi-två Test av anpassning: sannolikheter specificerade i förväg Data: n

Läs mer

TMS136. Föreläsning 2

TMS136. Föreläsning 2 TMS136 Föreläsning 2 Sannolikheter För en händelse E skriver vi sannolikheten att E inträffar som P(E) För en händelse E skriver vi sannolikheten att E inte inträffar som P(E ) Exempel Låt E vara händelsen

Läs mer

Sannolikheter och kombinatorik

Sannolikheter och kombinatorik Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter

Läs mer

Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys

Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys Density Lektion 1: Fördelningar och deskriptiv analys 1.,3 Uniform; Lower=1; Upper=6,3,2,2,1,, 1 2 3 X 4 6 7 Figuren ovan visar täthetsfunktionen för en likformig fördelning. Kurvan antar värdet.2 över

Läs mer

Stokastiska processer med diskret tid

Stokastiska processer med diskret tid Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna

Läs mer

Matematisk statistik for B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Beskriva Data Florence Nightingale. Forel.

Matematisk statistik for B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Beskriva Data Florence Nightingale. Forel. Matematisk statistik for B, K, N, BME och Kemister asning Forel 1 Johan Lindstrom 29 augusti 2016 Johan Lindstr om - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/21 Till ampningar Matematisk statistik slumpens

Läs mer

Övningstentamen 3. Uppgift 5: Anta att ξ är en kontinuerlig stokastisk variabel med följande frekvensfunktion: f(x) = 0

Övningstentamen 3. Uppgift 5: Anta att ξ är en kontinuerlig stokastisk variabel med följande frekvensfunktion: f(x) = 0 Övningstentamen Uppgift 1: Bill och Georg har gått till puben tillsammans. De beslutar sig för att spela dart (vilket betyder kasta pil mot en tavla). Sedan gammalt vet de att Bill träffar tavlan med sannolikheten.7

Läs mer

Tabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer

Tabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer Tabell- och formelsamling A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer Observera att inga anteckningar får finnas i formelsamlingen vid tentamenstillfället Thommy Perlinger 17 september 2015 Innehåll

Läs mer

Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Repetition Kvantil Presentation Slumptal Transformer Inversmetoden Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 13 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F3 1/19 Repetition

Läs mer