Introduktion till statistik för statsvetare

Transkript

1 "Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011

2 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått och figurer för dessa: på beskrivande mått är aritmetiskt medelvärde (balanseringspunkt), spridning, kvartiler, median, IQR, skevhet och toppighet. på beskrivande figurer är stolpdiagram, histogram, kumulerade diagram och lådagram. Vi har sedan, via resonemang, tagit fram deras motsvarande teoretiska storheter: 1 Förväntat värde (väntevärde), median, kvartil, varians, skevhet och toppighet 2 Sannolikhetsfunktion och täthetsfunktion samt deras gemensamma fördelningsfunktion

3 Vad den statistiska teorin bygger på I varje statistisk rapport skall modell anges dvs X = vad som mätes därefter skall antaganden om sannolikheter anges dvs I det diskreta fallet p 1, p 2, p 3,... I det kontinuerliga fallet F (x) Till sist skall man ange vilket problem man försöker lösa Vi skall nu undersöka några vanliga modeller inom statistiken och börjar med den enklaste diskreta modellen Bernoullimodellen.

4 Bernoullimodell Bernoullimodellen Denna modell har vi tidigare studerat; den lyder tex X = { 1 om sannt 0 om falskt I Bernoullimodellen sätts allmänt X = en dikotom händelse P (X = a) = p { a om sannt allmänt X = b om falskt P (X = b) = 1 p = q där q är en vedertagen beteckning för 1 p. Det vanligaste exemplet är kast med ett mynt där vi sätter { 1 om krona p1 = p X = 0 om klave p 2 = q

5 Väntevärdet i en Bernoullimodell Bernoullimodellen Vi kan nu ställa frågor som vad är sannolikheten att få krona? Om vi satsar en krona vad kan vi förvänta oss att få tillbaks? Den sökta sannolikheten följer direkt ur vår modell den är p. Vad kan vi förvänta oss att vinna vid ett kast? Vi har tidigare kommit fram till att 1 E (X ) = x i p i = 1 p + 0 q = p i=0 så vid ett kast kan vi förvänta oss att vinna p kronor. Vad kan vi förvänta oss att vinna vid 2 kast? Observera att vi nu har två beskrivningar av en och samma modell { 1 om krona p X 1 = och X 0 om klave q 2 = { 1 om krona p 0 om klave q

6 Bernoullimodellen Väntevärdet av en summa är en summa av väntevärden Självklart kan vi nu vinna p + p = 2p kronor dvs vi har E (X 1 + X 2 ) = E (X 1 ) + E (X 2 ) Tror man på detta så är det inte svårt att övertyga sig om den allmänna formeln dvs E (X 1 + X X n ) = E (X 1 ) + E (X 2 ) + + E (X n ) ( n ) n E X i = E (X i ) i=1 i=1 Denna formel gäller faktiskt alltid och är mycket praktisk: Stort problem blir summan av små problem

7 Variansen i en Bernoullimodell Bernoullimodellen Vi har tidigare definierat den deskriptiva variansen som ˆσ 2 = 1 n n (x i x) 2 = (x j x) 2 ˆp j i=1 j Ω där Ω = {1, 2,..., k} Definiera nu den teoretiska variansen [ V (X ) = E (X E (X )) 2] = (x j E (X )) 2 p j j Ω där Ω = {x 1, x 2,..., x k }. Kast med mynt ger därför (genomför räkningarna i detalj) V (X ) = (1 p) 2 p + (0 p) 2 q = (1 p) 2 p + p 2 (1 p) = p (1 p) (1 p + p) = p (1 p)

8 Bernoullimodellen Variansen av en summa är det en summa av varianser? Om vi nu kastar samma mynt två gånger vad blir då variansen för summan av de två kasten? Dvs vi skall bestämma V (X 1 + X 2 ) =? Detta är mycket svårare och ingår inte i kursen. Däremot ingår resultatet V (X 1 + X 2 ) = V (X 1 ) + V (X 2 ) om X 1 och X 2 är oberoende Att två slumpvariabler är oberoende innebär just det du tror de påverkar inte varandra. Självklart påverkar kasten i en Bernoullimodell inte varandra de är oberoende

9 För Bernoullimodellen gäller Bernoullimodellen Eftersom alla Bernoullimodeller kan överföras i { 1 om krona p X = 0 om klave q ser vi att E (X ) = p V (X ) = p (1 p) = pq Kan du visa påståendet ovan?

10 Bernoullimodellen är den naturliga utvidgningen av den föregående modellen. I denna modell gäller att X = summan av flera lika dikotoma händelser = n X i i=1 där X i = { 1 om krona p 0 om klave q Observera att vi pratar om en och samma Bernoullimodell dvs sannolikheten för en 1:a är densamma. Vi kräver också att slumpvariablerna X 1, X 2,..., X n är oberoende av varandra.

11 s sannolikheter Bernoullimodellen I gäller att ( ) n P (X = k) = p k q n k, där k = 0, 1, 2,..., n k Här definieras ( ) n = k n! k! (n k)! där n! = n och motsvarande för k! och (n k)! (! utläses fakultet och ( n k ) utläses n över k) Vi inför beteckningen X Bin (n, p) för ovanstående.

12 Bernoullimodellen s väntevärde och varians Eftersom följer att X = n { 1 om krona p X i där X i = 0 om klave q i=1 ( n ) E (X ) = E X i = i=1 detta gäller alltid samt att ( n ) V (X ) = V X i = i=1 n E (X i ) = i=1 n V (X i ) = i=1 när gäller det? Jo när X 1, X 2,..., X n är oberoende. n p = np i=1 n pq = npq i=1

13 Bernoullimodellen I betraktas X = antal oberoende händelser under en tidsperiod Slumpvariabeln X kan till exempel vara antalet försäkringsfall under ett år och dessa kan bli hur många som helst även om sannolikheten för detta är liten. Denna modell används även för att beskriva antalet olyckor på en speciell vägsträcka, eller i ett område, under en viss tidsperiod; antalet telefonsamtal till en växel under en viss tidsperiod; antalet beridna preussiska soldater som blir ihjälsparkade av sina egna hästar under ett år; osv

14 s sannolikheter Bernoullimodellen För gäller att och Ω = {0, 1, 2, 3,...} P (X = k) = λk k! e λ där k = 0, 1, 2, 3,... här är λ en konstant som mäter intensiteten med vilken händelser inträffar. Det gäller att E (X ) = λ och märkligt nog V (X ) = λ Vi inför beteckningen X Po (λ) för ovanstående.

15 Bernoullimodellen Ge exempel på olika bernoulli, binomial och poisson

16 Exponentialmodellen Gaussmodellen χ 2 -fördelningen är lite svårare att få grepp på eftersom vi måste fundera på en oändlighet som inte är uppräknelig. De är dock av mycket stor betydelse - främst på grund av en mycket grundläggande egenskap hos summor av slumpvariabler. De modeller vi skall betrakta är den exponentiella modellen som hanterar tid mellan händelser, gaussmodellen som berättar om det aritmetiska medelvärdet dvs summor av slumpvariabler och slutligen χ 2 modellen som berättar om variansen och konstigt nog en grupp av väntevärden.

17 Exponentialmodellen Exponentialmodellen Gaussmodellen χ 2 -fördelningen Betrakta tiden mellan två händelser, tex tiden mellan två olyckor. Om tiden till den andra olyckan saknar minne om den första olyckan då är tiden mellan två olyckor exponentialfördelad. Sätt X = tiden mellan två händelser där tider mellan händelser är oberoende. Om det gäller att { 1 e µ x x 0 F (x) = P (X x) = 0 x 0 f (x) = F (x) = 1 µ e x µ så säges X vara exponentialfördelad µ. Här är µ den förväntade tiden och variansen blir µ 2. Vi inför beteckningen X Exp (µ) för ovanstående.

18 Normalfördelningsmodellen Exponentialmodellen Gaussmodellen χ 2 -fördelningen För normalfördelningsmodellen finns ingen naturlig och självklar beskrivning som ger den. Denna modell dyker upp som gränsfall av andra modeller. Om det för en slumpvariabel X gäller att F (x) = P (X x) = x f (x) = F 1 (x) = 1 2πσ 2 e 2σ 1 2πσ 2 e 1 2σ 2 (y µ)2 dy 2 (x µ)2 så säges X vara normalfördelad med väntevärde µ och varians σ 2. Vi inför beteckningen X N ( µ, σ 2) för ovanstående.

19 Exponentialmodellen Gaussmodellen χ 2 -fördelningen För normalfördelade slumpvariabler gäller ax + b N ( aµ + b, a 2 σ 2) Om X 1 N ( µ 1, σ1 2 ) och X2 N ( µ 2, σ2 2 ) så gäller att X 1 + X 2 N ( µ 1 + µ 2, σ σ 12 + σ2 2 ) Storheten σ 12 = 0 om X 1 och X 2 är oberoende. Mer om denna konstant längre fram.

20 Exponentialmodellen Gaussmodellen χ 2 -fördelningen Example Om X N ( µ, σ 2) hur ser då fördelningen för Y = ax + b ut? Vi har ( P (Y y) = P (ax + b y) = P X y b ) a samt att E (Y ) = E (ax + b) = aµ + b V (Y ) = V (ax + b) = a 2 σ 2

21 chi-två fördelningen Exponentialmodellen Gaussmodellen χ 2 -fördelningen Vi kommer också behöva en speciell fördelning som kallas χ 2 -fördelningen och den är kvadraten på en normalfördelning. Låt därför X vara normalfördelad med väntevärde µ och varians σ 2. Bilda nu ( ) X µ 2 Y = σ För Y gäller nu att Y χ 2 (1). Observera 1 den är viktig. För denna fördelning gäller att µ = 1 och varians σ 2 = 2. Om vi har n normalfördelade slumpvariabler så gäller att Y = n i=1 är χ 2 (n) och µ = n samt σ 2 = 2n ( Xi µ σ ) 2

22 Exponentialmodellen Gaussmodellen χ 2 -fördelningen Det finns inget enkelt sätt att ta fram normalfördelningen på och därmed ej heller chi-2 fördelningen. Varför bryr vi oss om dem då? Jo detta har att göra med att vi tidigare funnit att x n µ n 1 n (x i x n ) 2 σ 2 i=1 (visa bilder) På första bilden noterade vi att x närmar sig µ när antalet observationer växer. För σ 2 gäller motsvarande. Nämligen att 1 n n i=1 (x i x) 2 närmar sig värdet σ 2 när antalet observationer växer. Men vi kan säga mer än så!

23 Stora talens lag och Centrala gränsvärdessatsen Stora talens lag och centrala gränsvärdessatsen Antag att det gjorts n mätningar av en slumpvariabel X X i = mätning nr i i = 1, 2,..., n och antag att mätningarna är oberoende dvs mätning 4 (i) påverkar ej mätning nummer 1 (j) och vice versa. Om E (X i ) = µ och V (X i ) = σ för alla i så gäller: 1 X = 1 n n i=1 X i närmar sig nästan säkert µ (statistiskt garderingspråk). Detta kallas stora talens lag. 2 X µ σ har en fördelning som approximativt beskrivs av kurvan 1 1 2πσ 2 e 2σ 2 (x µ)2 Detta kallas centrala gränsvärdessatsen

24 Stora talens lag och Centrala gränsvärdessatsen Ge exempel på olika exponential, normal och χ 2