FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 5, a 2 e x2 /a 2, x > 0 där a antas vara 0.6.

Transkript

1 Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 5, EXEMPEL (max och min): Ett instrument består av tre komponenter. Livslängderna hos komponenterna är oberoende och Rayleighfördelade med frekvensfunktion f(x) = 2x a 2 e x2 /a 2, x > där a antas vara.6. RAYLEIGHFÖRDELNING, a=.6 FREKVENSFUNKTION ÅR (a) Vad är slh att instrumentet fungerar efter år om alla tre komponenterna måste vara hela för att instrumentet ska fungera? (En kedja är inte starkare än sin svagaste länk.) (b) Vad är slh att instrumentet fungerar efter år om enheten fungerar så länge minst en av komponenterna fungerar?

2 MÄTSITUATIONEN Om fördelningen beskriver hur vårt mätfel varierar är VÄNTEVÄRDE kopplat till mätningens noggrannhet VARIANS kopplat till mätningens precision noggrannhet hur nära det sanna värdet en mätning ligger precision hur väl mätvärden kan upprepas under likartade betingelser 2 µ=l 4 6 σ litet 2 µ=l 4 6 σ stort 2 µ 4 6 L σ litet L µ σ stort ii

3 HUR ÄNDRAS NOGGRANNHET OCH PRECISION OM VI T.EX. BILDAR MEDELVÄRDET AV MÄT- NINGARNA? RÄKNEREGLER FÖR VÄNTEVÄRDEN OCH VARI- ANSER: E(aX + b) = ae(x) + b V (ax + b) = a 2 V (X) E(X + X 2 ) = E(X ) + E(X 2 ) (gäller alltid) V (X + X 2 ) = V (X ) + V (X 2 ) om X och X 2 är oberoende Dessa regler gäller för ALLA slumpvariabler oavsett fördelning! VIKTIG FÖLJD AV DESSA REGLER: Om X, X 2,..., X n är oberoende s.v. med samma väntevärde och varians, d.v.s. E(X i ) = µ och V (X i ) = σ 2, så gäller E(X + X X n ) = n µ V (X + X X n ) = n σ 2 E( X) = E[ n (X + X X n )] = µ V ( X) = V [ n (X + X X n )] = σ2 n iii

4 EXEMPEL (temp): Dygnsmedeltemperaturen i maj i Lund varierar år från år och kan anses vara en s.v. X med väntevärde 8 och standardavvikelsen 2, där temperaturen är angiven i C. Om man vill räkna om temperaturen till F använder man sambandet Y = 9 5 X +32. Bestäm väntevärde och standardavvikelse till Y. EXEMPEL (spel): Vid tillverkning av en viss typ av axel med tillhörande nav gäller att hålets diameter kan betraktas som en stokastisk variabel X med väntevärde 8.5 mm och standardavvikelse.4 mm. Vidare så kan axelns diameter betraktas som en stokastisk variabel X 2 med väntevärde mm och standardavvikelse.5 mm. Med spel menas skillnad mellan ett håls diameter och en axels diameter. Om man slumpmässigt väljer ut en axel och ett nav vad blir väntevärde och standardavvikelse för spelet? EXEMPEL (mätprecision): En person ska mäta en fysikalisk konstant θ med en metod som inte har något systematisk fel. Mätmedodens precision är.4. Hon gör n mätningar och uppskattar θ genom att ta medelvärdet av de n mätningarna. Hur många mätningar ska hon göra för att uppskattningens standardavvikelse ska bli.? iv

5 MEDELVÄRDE MEDELVÄRDE EXEMPEL (Stora talens lag) För en symmetrisk tärning gäller att väntevärdet för X=antal prickar är E(X) = µ = = 3.5. Kasta tärningen n gånger och notera medelvärdet av antal prickar på de n kasten. Vad händer då n blir stort? ANTAL KAST ANTAL KAST v

6 EXEMPEL (ph): (a) Surhetsgraden i ett vattendrag bestäms varje måndag med hjälp av en ph-meter. Därvid uppstår ett fel Y med väntevärdet δ och standardavvikelsen σ =.5. Här bör δ vara men på grund av att kalibrering ej gjorts är detta systematiska fel.4. Beräkna väntevärde och standardavvikelse för mätresultatet, Z, om det rätta ph-värdet är 5.8. (b) Antag att vattnets sanna surhetsgrad varierar från måndag till måndag som en s.v. X med väntevärdet 5.8 och standardavvikelsen. Beräkna väntevärde och standardavvikelse för mätresultatet, Z, en godtycklig måndag. (c) Antag att man varje måndag tar ett vattenprov ur ån. På detta vattenprov gör man sedan tre mätningar Z, Z 2 och Z 3 och bildar medelvärdet. Beräkna standardavvikelsen för detta medelvärde om de slumpmässiga felen vid de tre mätningarna är oberoende och X varierar från måndag till måndag som i b). (d) Det nns tre källor till avvikelser från 5.8 hos värdet Z i b). Vilka? Vilken/vilka av dessa går att påverka genom den medelvärdesbildning som sker i c)? vi

7 EXEMPEL (plankor): -meters plankor ska läggas efter varandra så den sammanlagda längden blir m. Träplankors längder varierar slumpmässigt till följd av variation i uppmätning före uppsågning. Uppmätningen av en planka kan betraktas som en stokastisk variabel, X, där E(X) = (meter) och V (X) = σ 2 (ju noggrannare uppmätning desto mindre värde på σ). Du väljer mellan två metoder: Metod I: Man mäter upp plankorna och sågar till samtliga plankor på en gång så att varje planka får precis lika lång längd (=X ). Den sammanlagda längden blir då X. Metod II: Man mäter upp och sågar varje planka för sig. Den sammanlagda längden blir då i= X i. Vilken av metoderna är att föredra om du vill ha en sån bra precision som möjligt på -meterslängden (d.v.s. en så låg standardavvikelse som möjligt)? personer använder en av metoderna vilken? andra personer använder den andra metoden vilken? vii