Uppgift 2) Datum: 23 okt TENTAMEN I MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, kurskod 6H3000

Transkript

1 Datum: okt TENTAMEN I MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, kurskod 6H Moment: TEN ( Matematisk Statistik ) Lärare: Armin Halilovic Skrivtid: 8:5-:5 Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst och formelsamling i Matematisk statistik Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen består av 6 uppgifter á poäng. För betyg, 4, 5 krävs, 4 respektive 5 poäng. Denna tentamenslapp får ej behållas. Uppgift ) För händelserna A och B gäller P(A)=., P(B)=. och P(A B)=.5. a) Beräkna sannolikheten att ingen av händelserna A och B inträffar. (5p) b) Visa att A och B ej är oberoende händelser. (5p) Uppgift ) Ett företag som tillverkar batterier av en viss typ har tillverkningen förlagt i tre olika fabriker. Fabrik A står för 6 % av tillverkningen, fabrik B % och fabrik C %. Sannolikheten för att ett batteri från fabrik A är korrekt är 95%. Motsvarande sannolikheten för ett korrekt batteri från B är 9% och från C 85%. Man köper ett batteri och finner att det är korrekt. Vad är sannolikheten att det tillverkats i fabrik B?

2 Uppgift ) En stokastisk variabel ξ har följande frekvensfunktion ( täthetsfunktion) f(x)= a x x annars a) Beräkna konstanten a. (p) b) Beräkna väntevärdet E(ξ). (p) d) Beräkna den betingade sannolikheten P(ξ ξ>). (4p) Uppgift 4) Livslängden hos en vis typ av elektroniska komponenter är exponentialfördelad med väntevärdet år. a) Vad är sannolikheten att en sådan komponent går sönder under ett år. (4p) b) En komplicerad utrustning för automatisk styrning av en produktionsprocess innehåller sådana elektroniska komponenter. Olika komponenter går sönder oberoende av varandra. Bestäm väntevärde och varians för det antal komponenter som går sönder under ett år. (6p) Uppgift 5) Ett elektronikföretag tillverkar motstånd som har en förväntad resistans på Ω och standardavvikelse Ω. Bestäm sannolikheten för att medelvärdet för resistans i ett parti om 5 motstånd skall vara större än 95 Ω. Uppgift 6) För att jämföra två gödselmedel lär man 5 lantbrukare gödsla hälften av sin veteareal med medel A och den andra hälften med medel B. Man fick följande skördar per hektar: Lantbrukare 4 5 Medel A Medel B För att få en enkel statistisk modell antog man att samtliga skördeutfall kan ses som utfall av oberoende normalfördelade stokastiska variabler med samma men okänd varians. Observera dock att lantbrukarna har gårdar med lite olika odlingsförutsättningar för vete. Beräkna ett lämpligt 95%-igt konfidensintervall för skillnaden i förväntad skörd mellan arealer som gödslats med A respektive B. Lycka till!

3 LÖSNINGAR: Uppgift ) För händelserna A och B gäller P(A)=., P(B)=. och P(A B)=.5. a) Beräkna sannolikheten att ingen av händelserna A och B inträffar. (5p) b) Visa att A och B ej är oberoende händelser. (5p) a) P(ingen av A och B inträffar)=p(a C B C )=-P(A B)=-.5=.75. b) P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) ger P(A B)=.+.-.5=.5 men P(A) P(B)=..=. Vi ser att P(A B) P(A) P(B), alltså är A och B inte oberoende händelser. Uppgift ) Ett företag som tillverkar batterier av en viss typ har tillverkningen förlagt i tre olika fabriker. Fabrik A står för 6 % av tillverkningen, fabrik B % och fabrik C %. Sannolikheten för att ett batteri från fabrik A är korrekt är 95%. Motsvarande sannolikheten för ett korrekt batteri från B är 9% och från C 85%. Man köper ett batteri och finner att det är korrekt. Vad är sannolikheten att det tillverkats i fabrik B? Låt K beteckna händelsen Batteriet är korrekt och B beteckna händelsen Batteriet har tillverkats i fabrik P( K)= =.95 (Totalsannolikheten ) P( B K).7 P(B K)= = =.9 P( K).95 Uppgift ) En stokastisk variabel ξ har följande frekvensfunktion ( täthetsfunktion) f(x)= a x x annars a) Beräkna konstanten a. (p) b) Beräkna väntevärdet E(ξ). (p) c) Beräkna den betingade sannolikheten P(ξ ξ>). (4p)

4 x a) ax dx = a = 9 a = a = 9 x 4 b) E(ξ)= ax x dx = x dx = = c) Låt A vara händelsen {ξ } och B händelsen {ξ>}. Det gäller att P(A B)=P(A B)/P(B). P(B)=P(ξ>)= P(A B)=P(<ξ )= x 6a 6 ax dx = a = = 7 x ax dx = a =. 7 a = P(A B)=P(A B)/P(B)= / = = Uppgift 4) Livslängden hos en vis typ av elektroniska komponenter är exponentialfördelad med väntevärdet år. a) Vad är sannolikheten att en sådan komponent går sönder under ett år. (4p) b) En komplicerad utrustning för automatisk styrning av en produktionsprocess innehåller sådana elektroniska komponenter. Olika komponenter går sönder oberoende av varandra. Bestäm väntevärde och varians för det antal komponenter som går sönder under ett år. (6p) a) Sätt T = tiden tills en komponent går sönder ( komponentens livslängd ) T är exponentialfördelad med väntevärdet år ( alltså λ = ), så det gäller att P(T )=-e -/. b) Sannolikheten att en komponent går sönder under ett år är enligt a) p=-e -/ Sätt ξ=antalet komponenter som går sönder under ett år. ξ är Bin(,p ), där p= e. Således gäller (kolla formelblad) att E(ξ) = n p = ( e )=9.5. Uppgift 5) Ett elektronikföretag tillverkar motstånd som har en förväntad resistans på Ω och standardavvikelse Ω. Bestäm sannolikheten för att medelvärdet för resistans i ett parti om 5 motstånd skall vara större än 95 Ω. Betrakta ξ,,ξ 5 med E(ξ i )= och σ(ξ i )=. Sätt η=(ξ +ξ + +ξ 5 )/5. 7 7

5 Låt oss anta att ξ,,ξ 5 är oberoende. Då fås (kolla formelblad) E(η)= och σ(η)=/ 5=. CGS medför att η approximativt är N(,). Vi söker 95 P(η>95)=-F(95) =- Φ ( ) = - Φ (.5) =-(-Φ(.5))=Φ(.5)=.998 Uppgift 6) För att jämföra två gödselmedel lär man 5 lantbrukare gödsla hälften av sin veteareal med medel A och den andra hälften med medel B. Man fick följande skördar per hektar: Lantbrukare 4 5 Medel A Medel B För att få en enkel statistisk modell antog man att samtliga skördeutfall kan ses som utfall av oberoende normalfördelade stokastiska variabler med samma varians. Observera dock att lantbrukarna har gårdar med lite olika odlingsförutsättningar för vete. Beräkna ett lämpligt 95%-igt konfidensintervall för skillnaden i förväntad skörd mellan arealer som gödslats med A respektive B. Vi har observationer i par. Bilda nya data som medel A medel B. Nya data blir ξ,,ξ 5 med observerade värden 5.4, -9, -5., -5., -.9. Låt µ=(ξ + +ξ 5 )/5. Vi får m=e[µ]=( )/5=-.54 V[µ]=(/(5-)) (m-ξ i ) = =7.9 s[µ]=.68 Vi får med t-metoden konfidensintervallet µ±t.5 (4) (s/ 5)= -.54±.78 (.68/ 5)= -.54±.. Svar: [-6.87,-.]