TENTAMEN Datum: 14 feb 2011

Transkript

1 TENTAMEN Datum: 14 feb 011 Kurs: KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK HF1001 TEN 1 (Matematisk statistik ) Ten1 i kursen HF1001 ( Tidigare kn 6H301), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 13:15-17:15 Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: 1) Miniräknare av vilken typ som helst ( ej mini laptop) och formelsamling ) Formler och tabeller i statistik ( delas ut i skrivsalen) Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt 3 poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 30, 4, 0, 16 respektive 1 poäng. Komplettering: 11 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx). Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR. Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F. Denna tentamenslapp får ej behållas. Uppgift 1) (4p) ( för de som inte klarat KS1) För händelserna A och B gäller P ( A B) = 0., och P( A) = 0. 5 och P ( AUB) = a) Bestäm P ( A B). b) Avgör om A och B är oberoende händelser? Uppgift. (4p) I figuren ovan är a, b, c, d och e kontakter, som är slutna (oberoende av varandra) med sannolikheterna 0.8, 0.7, 0.6, 0.5 respektive 0.4. Beräkna sannolikheten att a) ingen lampa lyser, b ) exakt en lampa lyser. Var god vänd!

2 Uppgift 3. (4p) Av 40 motorer har 10 mindre felaktigheter, 1 allvarliga felaktigheter och de övriga 18 är felfria. Man väljer på måfå 4 av motorerna utan återläggning. Beräkna sannolikheten att man härvid får a) exakt 3 felfria motorer b) motorer med mindre felaktigheter, 1 med allvarlig fel och 1 felfri? ( Du kan svara med binomialkoefficienter) Uppgift 4. (5p) Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen ( a + 1) x, 0 < x < 1 f ( x) = 0 för övrigt a) Bestäm parametern a b) Beräkna P(0.1< ξ<0.3) Uppgift 5. (5p) En transistors livslängd antas vara exponentialfördelad med medelvärdet m=5 år. Man har 7 sådana transistorer som fungerar oberoende av varandra i en apparat. Beräkna sannolikheten att minst 6 av de fungerar efter 4 år (dvs mer än 4 år). Uppgift 6. (5p) I ett kontorshus finns en hiss med anslaget max 6 personer eller 500 kg. Vi vill därför veta hur stor sannolikheten är att hissen överlastas. Antag att vikten av en anställd är normalfördelad med väntevärde 80 kg och standardavvikelse 10 kg. Olika personers vikt är oberoende. Beräkna sannolikheten att vikten av 5 personer överskrider 500 kg. Uppgift 7. (5p) En forskare gjorde 8 mätningar av syrekoncentrationen och fick följande resultat (enhet: mg/l): 0.6, 0.4, 1.6, 1.8, 1.,.4, 1.7, 1.3 Normalfördelningen N ( μ, σ ) kan antas där standardavvikelse är känt, σ=1. a) Bestäm ett 95 % konfidensintervall för μ. b) Hur många mätningar behövs för att få ett konfidensintervall som har 98 % konfidensgrad och som är hälften så brett? Lycka till! FACIT:

3 Uppgift 1) ( för de som inte klarat KS1) För händelserna A och B gäller P ( A B) = 0., och P( A) = 0. 5 och P ( AUB) = a) Bestäm P ( A B). b) Avgör om A och B är oberoende händelser? Svar a) P(B)=0.5 och P( A B) = 0. 4 Svar b) Nej Uppgift. I figuren ovan är a, b, c, d och e kontakter, som är slutna (oberoende av varandra) med sannolikheterna 0.8, 0.7, 0.6, 0.5 respektive 0.4. Beräkna sannolikheten att a) ingen lampa lyser, b ) exakt en lampa lyser. a) P M =e=0.4, P L =ab=0.56 P K =CD==0.3 P(ingen lampa lyser) =(1- P M ) (1- P L ) (1- P K ) = b ) P(exakt en lampa lyser) = P M *(1- P L ) *(1- P K )+ (1- P M ) * P L *(1- P K )+ (1- P M ) *(1- P L ) P K = Uppgift 3. Av 40 motorer har 10 mindre felaktigheter, 1 allvarliga felaktigheter och de övriga 18 är felfria. Man väljer på måfå 4 av motorerna utan återläggning. Beräkna sannolikheten att man härvid får a) exakt 3 felfria motorer b) motorer med mindre felaktigheter, 1 med allvarlig fel och 1 felfri? ( Du kan svara med binomialkoefficienter) Svar a) = b) =0.106

4 Uppgift 4. Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen ( a + 1) x, 0 < x < 1 f ( x) = 0 för övrigt a) Bestäm parametern a b) Beräkna P(0.1< ξ<0.3) a) Därmed 3x, 0 < x < 1 f ( x) = 0 för övrigt. b) Uppgift 5. En transistors livslängd antas vara exponentialfördelad med medelvärdet m=5 år. Man har 7 sådana transistorer som fungerar oberoende av varandra i en apparat. Beräkna sannolikheten att minst 6 av de fungerar efter 4 år (dvs mer än 4 år). Vi betecknar livslängden med X. Då gäller där 1/50. och 1 (se formelblad) Därför 1 1 En transistor fungerar mer en 4 år med sannolikheten: Sannolikheten att minst 6 av 7 fungerar efter 4 år lika med p 6 + p 7 i binomialfördelningen med p= p 6 + p 7 = = Svar: Uppgift 6. I ett kontorshus finns en hiss med anslaget max 6 personer eller 500 kg. Vi vill därför veta hur stor sannolikheten är att hissen överlastas. Antag att vikten av en anställd är normalfördelad med väntevärde 80 kg och standardavvikelse 10 kg. Olika personers vikt är oberoende. Beräkna sannolikheten att vikten av 5 personer överskrider 500 kg.

5 Låt beteckna total vikt av 5 personer, då där 80, 10. Därför 5 80, , Svar: Sannolikheten är 0 Uppgift 7. En forskare gjorde 8 mätningar av syrekoncentrationen och fick följande resultat (enhet: mg/l): 0.6, 0.4, 1.6, 1.8, 1.,.4, 1.7, 1.3 Normalfördelningen N ( μ, σ ) kan antas där standardavvikelse är känt, σ=1. a) Bestäm ett 95 % konfidensintervall för μ. b) Hur många mätningar behövs för att få ett konfidensintervall som har 98 % konfidensgrad och som är hälften så brett? a) x =1.375 ( λ α / = λ0. 05 = 1.96) Konfidensintervall: σ σ 1 1 ( x λα /, x + λα / ) = ( , ) n n 8 8 ( , ) (0.68,.068) Svar a) (0.68,.068) b) Intervallets längd= d/= 0.693

6 ( λ α / =,36) Från formeln för konfidensintervall ( med konfidensgrad 98%) får vi σ 1.17 λ α / = = n = n n n = n 45 Svar b) : Det behövs 45 mätningar