4.1 Grundläggande sannolikhetslära

Transkript

1 4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 (alt. 0 och 100%) som beskriver hur troligt det är att en händelse inträffar. P(A) = 0 innebär att A aldrig inträffar. P(A) = 1 innebär att A inträffar varje gång försöket utförs.

2 4.1 Grundläggande sannolikhetslära Ex. Kasta en tärning. Vad är sannolikheten att få en 6:a? Låt A =händelsen att få en 6:a. P A = 1/6 Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? Låt A = händelsen att A inte inträffar = inte A P A = 1 P A = 5/6

3 4.1 Grundläggande sannolikhetslära Ex. Kasta en tärning. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? Sunt förnuft säger 2/6. Vi behöver dock lite räkneregler och notationer för att kunna uttala oss matematiskt stringent. Innan ett försök har genomförts är händelsen slumpmässig. Efter det att försöket har genomförts har vi ett utfall, antingen har händelsen inträffat eller inte.

4 4.1 Grundläggande sannolikhetslära Låt A = händelsen en 6:a och B = händelsen en 5:a Notation: A B = A och/eller B A B = A och B A B = (tomma mängden) om händelserna är disjunkta, saknar gemensamma element

5 4.1 Grundläggande sannolikhetslära Räkneregler: P A B = P A + P B om händelserna är disjunkta P A B = P A P(B) om händelserna är oberoende A och B disjunkta A och B (och C) oberoende

6 4.1 Grundläggande sannolikhetslära I tärningsexemplet: Låt A = 5:a och B = 6:a P A B = P A + P B = 1/6 + 1/6 = 1/3 A B = (kan aldrig inträffa) alltså är P A B = 0

7 4.1 Grundläggande sannolikhetslära Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten att båda kasten blir 6:a? Låt A1 = händelsen att kast ett blir en 6:a och A2 = händelsen att kast två blir en 6:a Händelsernas utfall är rimligtvis helt oberoende av varandra (vad första kastets utfall blir bör inte påverka utfallet på andra kastet) P A1 A2 = P A1 P A2 = = 1 36

8 4.1 Grundläggande sannolikhetslära Om vi kastar tre gånger, vad är sannolikheten att exakt 2 av kasten blir 6:a? Låt X = antal 6:or vid tre kast. X kan anta utfallet 0, 1, 2 eller 3. Innan försöket (kasten) är genomfört sägs X vara en slumpvariabel (s.v.). Slumpvariabeln sägs vara diskret eftersom den bara kan anta ett uppräkneligt antal utfall.

9 4.1 Grundläggande sannolikhetslära Låt f x = P(X = x) beteckna sannolikheten att få exakt x stycken 6:or vid tre kast, x = 0, 1, 2, 3. Låt A1 = händelsen att kast ett blir en 6:a, A2 = händelsen att kast två blir en 6:a och A3 = händelsen att kast tre blir en 6:a. f 3 = P X = 3 = P A1 A2 A3 = P A1 P A2 P A3 = = = 0,00463

10 4.1 Grundläggande sannolikhetslära f 2 = P X = 2 =? Vi kan få två 6:or på tre sätt. 1. Första två kasten blir 6:or, det tredje blir inte det. 2. Första och tredje kastet blir 6:or, det andra blir inte det. 3. Andra och tredje kastet blir 6:or, det första blir inte det.

11 4.1 Grundläggande sannolikhetslära 1. P A1 A2 A3 = P A1) P A2 P(A3 = = P A1) P A2 (1 P(A3) = = 5 2. P A1 A2 A3 = = P A1 A2 A3 = = Alla dessa tre händelser är disjunkta, dvs genom att summera ihop 5 sannolikheterna får vi f 2 = P X = 2 = 3 = 15 = 0,

12 4.1 Grundläggande sannolikhetslära På samma sätt kan vi resonera oss fram till f 0 = P X = 0 = ( 5 6 )3 = = 0,5787 f 1 = P X = 1 = (5 6 )2 = = 0,3472 f 2 = P X = 2 = = = 0,0694 f 3 = P X = 3 = ( 1 6 )3 = = 0,0046 f x kallas sannolikhetsfunktionen till X. Summerar vi alla sannolikheter så blir summan 1.

13 4.1 Grundläggande sannolikhetslära Om vi gör 10 kast med en tärning, vad är sannolikheten att exakt 2 av kasten blir en 6:a? Varje specifik händelse som ger två 6:or har sannolikheten 1 8 att inträffa Hur många specifika händelser finns det? På hur många sätt kan vi placera ut två st 6:or på tio platser? _ 6 _ Det blir några stycken! Kan vi hitta ett generellt uttryck för antalet?

14 4.2.1 Binomialfördelning 10 Antalet ges av 2 = 10! (benämns 10 över två ) 2! 10 2! där 10! = = 10! = = 45 10! = ! 10 2! ! 10 2! 2 f 2 = P X = 2 = = 0.29 Generell formel för detta exempel: f x = P X = x = 10 x 1 6 x x, x = 0, 1,, 10 Calc Probability Distributions Binomial

15 4.2.1 Binomialfördelning Binomialfördelningen: Låt A beteckna en händelse vid ett slumpmässigt försök. ( 6:a ) Upprepa försöket n gånger (oberoende upprepningar). (n = 10) Vid varje upprepning inträffar A med sannolikheten p. (p = 1/6) Låt X = antal gånger händelse A inträffar. Slumpvariabeln X sägs då vara Binomialfördelad med parametrar n och p. Dess sannolikhetsfunktion ges av: f x = P X = x = n x n k = n! k! n k! p x 1 p n x, x = 0, 1,, n Skrivs: X~Bin n, p (X~Bin(10, 1/6))

16 4.2.1 Binomialfördelning Exempel: Sannolikheten att en komponent går sönder under ett dygn är 0,01. Anta att man har ett system av 10 seriekopplade komponenter och att komponenterna går sönder oberoende av varandra. a) Vad är sannolikheten att systemet fungerar efter ett dygn? b) Anta att vi har 20 stycken system med 10 komponenter i varje. Låt X = antal system som fungerar efter ett dygn. Vilken fördelning har X? c) Bestäm P(X = 18), P(X 18), P(X > 18) och P(X 17)

17 4.2.1 Binomialfördelning a)vad är sannolikheten att systemet fungerar efter ett dygn? Låt A i = komponent nr i går sönder under ett dygn P A i = 0,01 P A i = 1 0,01 = 0,99 Låt B = alla 10 komponenter fungerar efter ett dygn P B = P A 1 P A 2 P A 10 = 0,99 10 = 0,9044

18 4.2.1 Binomialfördelning b) Anta att vi har 20 stycken system med 10 komponenter i varje. Låt X = antal system som fungerar efter ett dygn. Vilken fördelning har X? X är Bin 20, 0,9044 (binomialfördelad med n = 20 och p = 0,9044)

19 4.2.1 Binomialfördelning c) Bestäm P(X = 18), P(X 18), P(X > 18) och P X 17 P X = 18 = 0,2845, P X 18 = 0,5826, P X > 18 = 1 P X 18 = 1 0,5826 = 0,4741 P X 17 = 1 P X < 17 = 1 P X 16 = = 1 0,1176 = 0,8824

20 4.2.1 Binomialfördelning Hur många 6:or förväntar vi oss att få vid 10 kast? Med väntevärdet för en slumpvariabel X menar vi det genomsnittliga värdet av (oändligt) många försök. Låt μ = E(X) beteckna väntevärdet för X. För binomialfördelningen gäller att μ = np. I exemplet blir μ = ,67, dvs vi förväntar oss att få 1,67 stycken 6:or vid 10 kast.

21 4.2.1 Binomialfördelning Två teoretiska mått som talar om hur resultatet varierar ges av variansen V X = σ 2 = np 1 p = npq och standardavvikelsen D X = σ = σ 2 = np 1 p = npq (kan tolkas som stickprovs-variansen och stickprovsstandardavvikelsen vid oändligt många försök)

22 4.2.1 Binomialfördelning I exemplet blir σ 2 = = = 1,39 och σ = 1,39 = 1,18. En grov tolkning av σ: I långa loppet är P(μ - 2σ < X < μ + 2σ) 0,95 I exemplet: Om man kastar 10 tärningar många gånger bör man i ca 95% av fallen få värden i intervallet 1,67 +/- 2 (1,18) [0, 4]. Vad blir den exakta sannolikheten för detta? (övning)

23 4.2.2 Poissonfördelning Poissonfördelningen kan användas när man räknar antalet händelser som inträffar slumpmässigt i tiden. Exempel: Antal partiklar som emitteras (sänds ut) från ett radioaktivt preparat under 10 sekunder. Antal defekter längs en optisk fiber eller elektrisk kabel. Antal defekta pixlar hos en högupplöst skärm (telefon, dator, tv, ). Antal bilar som passerar en viss väg under en viss tid. En slumpvariabel X som är Poissonfördelad kan anta alla ickenegativa heltal.

24 4.2.2 Poissonfördelning Poissonfördelningen har sannolikhetsfunktion f x = P X = x = e λ λ x, x = 0, 1,, och E X = μ = λ, V X = σ 2 = λ, D X = σ = λ x! Skrivs X~Po λ och utläses X är Poissonfördelad med parameter λ

25 4.2.2 Poissonfördelning Ex 2. Anta att antalet defekter längs en optisk kabel är Poissonfördelat med väntevärde 3 st per 100 meter kabel. Vad är sannolikheten att en kabel som är 100 m har precis 5 defekter? Låt X = antalet defekter per 100 meter. μ = λ = 3 (enhet: defekter/100m) f x = P X = x = e λ λ x x! f 5 = P X = 5 = e = 0,10 5! Calc Probability Distributions Poisson

26 4.2.2 Poissonfördelning Vad är sannolikheten att en kabel som är 100 m har 5 eller färre defekter? X = antalet defekter per 100 meter och λ = 3 defekter/100m. Bestäm P(X 5) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5). F(5) = P(X 5) = f(0) + f(1) + + f(5) = 0,916 F x = P(X x) kallas fördelningsfunktionen till X (se kap 4.2.1) Calc Probability Distributions Poisson

27 4.2.2 Poissonfördelning Distribution Plot Poisson; Mean=3 0,25 0,9161 0,20 Probability 0,15 0,10 0,05 0,00 X 5 9 Graph Probability Distribution Plot

28 4.2.2 Poissonfördelningen Exempel: Antalet bilar som passerar en motorvägsbro antas vara Poissonfördelat med ett väntevärde på 10 bilar/minut. a) Bestäm sannolikheten att exakt 11 bilar passerar under en minut. b) Bestäm sannolikheten att högst 12 bilar passerar under en minut. c) Bestäm sannolikheten att minst 10 bilar passerar under en minut. d) Bestäm sannolikheten att exakt 18 bilar passerar under två minuter.

29 4.2.2 Poissonfördelningen a) Bestäm sannolikheten att exakt 11 bilar passerar under en minut. Låt X= antal bilar passerar under en minut X är Po 10, dvs λ = 10 bilar/minut P X = 11 = e ! = 0,114

30 4.2.2 Poissonfördelningen b) Bestäm sannolikheten att högst 12 bilar passerar under en minut. P X 12 = f 0 + f f 12 = 0,7915

31 4.2.2 Poissonfördelningen c) Bestäm sannolikheten att minst 10 bilar passerar under en minut. P X 10 = 1 P X < 10 = 1 P X 9 = = 1 0,458 = 0,542

32 4.2.2 Poissonfördelningen d) Bestäm sannolikheten att exakt 18 bilar passerar under två minuter. Låt Y= antal bilar passerar under två minuter Y är Po(20), dvs λ = 20 bilar/minut P X = 18 = e ! = 0,084