Satsen om total sannolikhet och Bayes sats

Transkript

1 Satsen om total sannolikhet och Bayes sats Satsen om total sannolikhet Ibland är det svårt att direkt räkna ut en sannolikhet pga att händelsen är komplicerad/komplex. Då kan man ofta använda satsen om total sannolikhet : Anta att vi har n st händelser H 1,...,H n sådana att H 1 H j = om i j. Ω = H 1... H n. Då gäller att för varje händelse A P(A) = n P(A H i )P(H i ). i=1 Bayes sats Om man vill vända på betingningen kan man använda Bayes sats: Under ovanstående villkor P(H i A) = P(A H i)p(h i ). P(A)

2 Exempel på användning av Bayes sats och satsen om total sannolikhet Exempel På vissa cigarrpaket kan man läsa att 9 av 10 som drabbas av strupcancer är rökare. Befolkningsdata (2005): 49% av befolkningen är män, av männen röker 13.9 %, av kvinnorna röker 18%. Sannolikheten att drabbas strupcancer är 1%, 1. Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald person är rökare? 2. Vad är sannolikheten att få strupcancer om man är rökare?

3 Oberoende händelser Om P(A B) = P(A) så innebär detta att P(A) inte ändras om B har inträffat. Genom att använda definitionen av betingad sannolikhet kan man skriva detta som P(A B) = P(A)P(B) (men då bara om P(B) > 0!). Mera generellt gör vi: Definition Vi säger att händelserna A och B är oberoende om P(A B) = P(A)P(B) Exempel Kasta två tärningar. Låt A = första tärningen är sexa B = summan är sju C = summan är åtta. Vilka av paren A,B eller A,C eller B,C är oberoende?

4 Beräkning sannolikheter för många oberoende händelser: alla, ingen eller någon Om vi har n st oberoende händelser A 1,...,A n är sannolikheten att alla inträffar ingen inträffar någon inträffar P(A 1... A n ) = P(A 1 )... P(A n ), P(A 1...A n ) = P(A 1 )... P(A n ), P(A 1... A n ) = 1 P(A 1... A n ).

5 Oberoende och disjunkta Inte samma sak!

6 Stokastiska variabler En stokastisk variabel (s.v.) X är en funktion X : Ω R. En s.v. är ett tal vars värde styrs av slumpen. Vi skiljer på två slags stokastiska variabler: Diskreta s.v. X antar värden i en ändlig eller uppräkneligt oändlig mängd. Den kan användas som modell till exempel för - X = Antal neutroner som träffar en detektor på ESS. - Y = Antal personer i Lund som åker med buss 169 från Centralstationen till Kårhuset under en dag. Kontinuerliga s.v. X antar alla möjliga värden i ett (eller flera) intervall i R. Den kan användas som modell till exempel för - U = En svensk mans vikt. - V = ph-halten i Ringsjöns vatten.

7 Sannolikhetsfunktionen för en diskret s.v. Om X är en diskret s.v. som tar värden i en mängd {a 1,a 2,...} kan man definiera sannolikhetsfunktionen p X (k) = P(ω : X(ω) = k) = P(X = k), för alla k {a 1,a 2,...}. En sannolikhetsfunktion har följande egenskaper: (i) : 0 p X (k) 1, för alla k (ii) : P(X A) = k Ap X (k), för alla delmängder A {a 1,a 2,...} (iii) : k {a 1,a 2,...} p X (k) = 1 Varje funktion p som satisfierar ovanstående kan användas som en sannolikhetsfunktion. Olika funktioner beskriver olika fördelningar. (Detta ger olika stokastiska modeller.)

8 Några exempel på diskreta fördelningar (diskreta modeller) Enpunktsfördelning Om hela fördelningsmassan är koncentrerad i ett enda värde a så att P(X = a) = p X (a) = 1, sägs X vara enpunktsfördelad. Detta innebär X alltid antar värdet a, och kan ses som en modell för mätningar utan fel. Tvåpunktsfördelning. Bernoullifördelad s.v. Om X antar endast två värden a och b med sannolikheter p och 1 p, sägs X vara tvåpunktsfördelad. Alltså p X (a) = p p X (b) = 1 p. Om speciellt a = 1,b = 0 kallas X en Bernoulli-fördelad s.v.. Detta är en modell för ett experiment där man gör ett försök som antingen lyckas (X = 1) eller misslyckas (X = 0). Man kan också skriva X = 1{A} indikatorfunktionen för händelsen A, där händelsen A = försöket lyckas. Betecknas med X Bern(p).

9 Likformig fördelning Om X antar värden {1,2,...,m} med sannolikhetsfunktion för k = 1,...,m, kallas X likformigt fördelad. p X (k) = 1 m Exempel Kasta tärning en gång. X = resultatet. Om tärningen är rättvis är likformig fördelning på {1,2,...,6} en lämplig modell. För första gången fördelning Om X är en s.v. som antar värden k = 1,2,3,... med sannolikhetsfunktion p X (k) = (1 p) k 1 p, för p (0,1) kallas X för-första-gången fördelad. Betecknas med X ffg(p). Exempel Kasta tärning till man får en sexa för första gången. X = antal kast (tom sista) tills detta inträffar.

10 Geometrisk fördelning Om X har sannolikhetsfunktion p X (k) = (1 p) k p, för k = 0,1,2,... sägs X vara geometriskt fördelad. Betecknas X Ge(p). Exempel Kasta tärning till man får en sexa för första gången och låt X vara antal kast innan man får sexan. Då är X Ge(1/6).