Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 8: Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess

Transkript

1 Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 8: Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess Anna Lindgren 4+5 oktober 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 1/18

2 N(μ, σ) CGS N(μ, σ) Sats 6.1 Om X N(μ, σ), E(X) = μ, V(X) = σ 2 så är X μ σ N(, 1) Om X i N(μ i, σ i ) och Y = n Y N a i μ i, n i=1 i=1 n a i X i gäller i=1 a 2 i σ2 i om alla X i är oberoende av varandra Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 2/18

3 N(μ, σ) CGS Centrala gränsvärdessatsen CGS Låt X 1, X 2,..., X n vara oberoende stokastiska variabler med samma fördelning och E(X i ) = μ, V(X i ) = σ 2 (ändliga). Då gäller att: ( n i=1 P X ) i nμ σ a Φ(a) då n för alla a n 1. Om Y = n X i gäller Y N(nμ, σ n) i=1 2. Om X n = 1 n n X i gäller X n N(μ, i=1 σ n ) Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 3/18

4 Exempel Halvkorrektion Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: Ett försök med händelse A med P(A) = p upprepas n oberoende gånger. X = antalet gånger A inträffar. Egenskaper: ( ) n p X (k) = p k q n k, k =, 1,..., n, q = 1 p k E(X) = np, V(X) = npq F X (x) finns i tabell 6 för några värden på n och p. Om X Bin(n 1, p) och Y Bin(n 2, p), ober. så är X + Y Bin(n 1 + n 2, p) Om npq 1 så är X N(np, npq) Om n 1 och p så är X Po(np). Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 4/18

5 Exempel Halvkorrektion Binomialfördelning, X Bin(2, p).4 p = p =.3 p = p = p = p = Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 5/18

6 Exempel Halvkorrektion Exempel Företagskonkurser enligt Moodys Anna Lindgren FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 6/18

7 Exempel Halvkorrektion Företagskonkurser (forts) I goda tider sker företagskonkurser relativt oberoende av varandra. Enligt Moodys så är sannolikheten för en konkurs inom fyra år för ett B2 företag 2 %. (a) Vad blir sannolikheten att inget företag i en pool på 1 gått i konkurs inom fyra år? (b) Vad blir sannolikheten att högst 1 företag i en pool på 1 gått i konkurs inom fyra år? (c) Vad blir sannolikheten att mer än 1 företag i en pool på 1 gått i konkurs inom fyra år? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 7/18

8 Exempel Halvkorrektion Halvkorrektion vid N-approx av diskret s.v. X Bin(1,.4), Y N(4, 2.4).4.3 Exakt P(X 4) P(X 5).4.3 Normalapproximation P(Y 4) P(Y 5) k y Exakt: P(X 4) + P(X 5) = 1. Normalapprox: P(Y 4) + P(Y 5) =.759 1!? Halvkorrektion: P(Y 4.5) + P(Y 4.5) = 1 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 8/18

9 Exempel Halvkorrektion Företagskonkurser (Normalapprox) Enligt Moodys så är sannolikheten för en konkurs inom fyra år för ett Baa3 företag 2.6%. Vad blir sannolikheten att 2 eller fler företag i en pool på 1 gått i konkurs inom fyra år? 2 26 P(X 2) 1 Φ( ) = = 1 P(X 19) 1 Φ( ) = Halvkorr.: = 1 P(X 19.5) 1 Φ( ) = Exakt: = 1 k=2 ( 1 k ).26 k (1.26) 1 k =.961 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 9/18

10 Exempel Poissonfördelning Beteckning: X Po(μ) Egenskaper: p X (k) = e μ μk, k =, 1,... k! E(X) = μ, V(X) = μ F X (x) finns i tabell 5 för några värden på μ. Om X Po(μ 1 ) och Y Po(μ 2 ), ober. så är X + Y Po(μ 1 + μ 2 ) Om μ 15 så är X N(μ, μ). Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 1/18

11 Exempel Poissonfördelning, X Po(μ).4 µ = 1 µ = 2.4 µ = µ = x 1 3 µ = x 1 3 µ = Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 11/18

12 Exempel Företagskonkurser (Poissonapprox.) I goda tider sker företagskonkurser relativt oberoende av varandra. Enligt Moodys så är sannolikheten för en konkurs inom fyra år för ett Aaa företag.2 %, dvs.2. Vad blir sannolikheten att 3 eller fler företag i en pool på 1 gått i konkurs inom fyra år? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 12/18

13 Poissonprocess Exempel Stokastisk process En stokastisk process {X(t), t T} är en följd av stokastiska variabler, en slumpmässig funktion av t. För ett fixt t är X(t) en stokastisk variabel. Diskreta processer: läs Markovprocesser (FMSF15) Kontinuerliga processer: läs Stationära stokastiska processer (FMSF1) Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 13/18

14 X(t) X(t) X(t) X(t) Poissonprocess Exempel 3 Diskret process i diskret tid 3 Diskret process i kontinuerlig tid tid (t) Kontinuerlig process i diskret tid tid (t) tid (t) Kontinuerlig process i kontinuerlig tid tid (t) Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 14/18

15 Poissonprocess Exempel Fördelning för ökningar En stokastisk process {X(t); t T} har Oberoende ökningar om X(t 2 ) X(t 1 ), X(t 3 ) X(t 2 ),..., X(t n ) X(t n 1 ) är oberoende för alla t 1 < t 2 < < t n i T. Stationära ökningar om fördelningen för X(t + h) X(t) inte beror av t utan bara av h. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 15/18

16 Poissonprocess Exempel Poissonprocess En poissonprocess med intensiteten λ är en diskret s.p. med kontinuerlig tid {X(t), t } med följande egenskaper Antalet händelser i icke överlappande intervall är oberoende, dvs oberoende ökningar. X(t) Po(λ t) X(t) X(s) Po(λ(t s)), ökningar. Tiden Y mellan ökningarna är Y Exp(λ). < s < t, dvs stationära Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 16/18

17 Poissonprocess Exempel Realisering av poissonprocess, X(t) Po(λt) Processen startar med värdet då t =, dvs X() = Tidsavstånden mellan processens ökningar är Exp(λ)-fördelade. 1 3 tidsutvecklingar av en poissonprocess med λ = 1 8 X i (t) t Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 17/18

18 Poissonprocess Exempel Exempel Dreamliner NTSB Interim Factual Report (March 7, 213) Boeing also determined that the probability that a battery could vent was once in every 1 million flight hours. As of January 16, 213, the in-service 787 fleet had accumulated less than 52 flight hours, and during this period two events involving smoke emission from a 787 battery had occurred... Antag att antalet fel kan modelleras som en poissonprocess: Vad är intensiteten, λ (tolkning)? Vad är sannolikheten för 2 eller fler händelser under 52 flygtimmar? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 18/18