Föreläsning 8, Matematisk statistik Π + E

Transkript

1 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Föreläsning 8, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 9 december 214 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 1/23

2 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process N(μ, σ) CGS N(μ, σ) Sats 6.1 Om X N(μ, σ), E(X) = μ, V(X) = σ 2 så är X μ σ N(, 1) Om X i N(μ i, σ i ) och Y = n Y N a i μ i, n i=1 i=1 n a i X i gäller i=1 a 2 i σ2 i om alla X i är oberoende av varandra Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 2/23

3 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process N(μ, σ) CGS Centrala gränsvärdessatsen CGS Låt X 1, X 2,..., X n vara oberoende stokastiska variabler med samma fördelning och E(X i ) = μ, V(X i ) = σ 2 (ändliga). Då gäller att: ( n i=1 P X ) i nμ σ a Φ(a) då n för alla a n n 1. Om Y = X i gäller Y N(nμ, σ n) i=1 2. Om X n = 1 n n X i gäller X n σ N(μ, n ) i=1 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 3/23

4 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Exempel E(X) & V(X) Halvkorrektion Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: En händelse A med P(A) = p upprepas n oberoende gånger. X = Antalet gånger A inträffar. Egenskaper: ( ) n p X (k) = p k q n k, k =, 1,..., n, q = 1 p k E(X) = np, V(X) = npq F X (x) finns i tabell 6 för några värden på n och p. Om X Bin(n 1, p) och Y Bin(n 2, p), ober. så är X + Y Bin(n 1 + n 2, p) Om npq 1 är X ungefär normalfördelad. Om n 1 och p.1 är X ungefär Poissonfördelad, X Po(E(X)). Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 4/23

5 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Exempel E(X) & V(X) Halvkorrektion Binomialfördelning, X Bin(2, p).4 p =.1.2 p =.3.2 p = p = p = p = Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 5/23

6 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Exempel E(X) & V(X) Halvkorrektion Exempel Företagskonkurser enligt Moodys Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 6/23

7 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Exempel E(X) & V(X) Halvkorrektion Företagskonkurser (forts) I goda tider sker företagskonkurser relativt oberoende av varandra. Enligt Moodys så är sannolikheten för en konkurs inom fyra år för ett Aaa företag 1/5. Vad blir sannolikheten att 3 eller fler företag i en pool på 1 gått i konkurs inom fyra år? Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 7/23

8 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Exempel E(X) & V(X) Halvkorrektion Väntevärde och varians för Bin(n, p) Låt Y i Bin(1, p), dvs p Yi () = 1 p och p Yi (1) = p. Då blir E(Y i ) = k k p Yi (k) = (1 p) + 1 p = p E(Y 2 i ) = k k 2 p Yi (k) = 2 (1 p) p = p V(Y i ) = E(Y 2 i ) E(Y i ) 2 = p p 2 = p(1 p) Låt X = n i=1 Y i, (Y i ober.) då är uppenbarligen X Bin(n, p), E(X) = np V(X) = np(1 p) Detta motiverar även normalapproximation då n är stort samt additionsegenskapen hos binomialfördelningen. Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 8/23

9 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Exempel E(X) & V(X) Halvkorrektion Halvkorrektion vid N-approx av diskret s.v. X Bin(1,.5), Y N(5, 2.5) p X (k), f Y (x) F X (x), F Y (x) P(X 6) P(Y 6.5) 1 F X (x), F Y (x +.5) Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 9/23

10 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Exempel E(X) & V(X) Halvkorrektion Företagskonkurser (Normalapprox) Enligt Moodys så är sannolikheten för en konkurs inom fyra år för ett Baa3 företag 2.6%. Vad blir sannolikheten att 2 eller fler företag i en pool på 1 gått i konkurs inom fyra år? Svar: P( 2 eller fler konkurser ).9177 P( 2 eller fler konkurser ).915 P( 2 eller fler konkurser ) =.961 utan halvkorrektion med halvkorrektion Exakt Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 1/23

11 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonfördelning Beteckning: X Po(μ) Egenskaper: p X (k) = e μ μk k =, 1,... k! E(X) = μ, V(X) = μ F X (x) finns i tabell 5 för några värden på μ. Om X Po(μ 1 ) och Y Po(μ 2 ), ober. så är X + Y Po(μ 1 + μ 2 ) Om μ 15 är X ungefär normalfördelad. Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 11/23

12 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonfördelning, X Po(μ).4 µ = 1.2 µ = 2.4 µ = µ = x 1 3 µ = x 1 3 µ = Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 12/23

13 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Exempel Gauss Exempel Delta meto Stokastisk process En stokastisk process {X(t), t T} är en följd av stokastiska variabler, en slumpmässig funktion av t. För ett fixt t är X(t) en stokastisk variabel. Beroende på vilka värden X(t) och t kan anta har vi följande fyra kombinationer Tid Process Diskret Kontinuerlig Diskret Kontinuerlig Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 13/23

14 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Exempel Gauss Exempel Delta meto Fördelning för ökningar En stokastisk process {X(t); t T} har Oberoende ökningar om X(t 2 ) X(t 1 ), X(t 3 ) X(t 2 ),..., X(t n ) X(t n 1 ) är oberoende för alla t 1 < t 2 < < t n i T. Stationära ökningar om fördelningen för X(t + h) X(t) inte beror av t utan bara av h. Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 14/23

15 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Exempel Gauss Exempel Delta meto Poissonprocess En poissonprocess med intensiteten λ är en diskret s.p. med kontinuerlig tid {X(t), t } med följande egenskaper Antalet händelser i icke överlappande intervall är oberoende, dvs oberoende ökningar. X(t) Po(λ t) X(t) X(s) Po(λ(t s)), ökningar. < s < t, dvs stationära Tiden Y mellan ökningarna är Y Exp(λ). Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 15/23

16 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Exempel Gauss Exempel Delta meto Realisering av poissonprocess, X(t) Po(λt) Processen startar med värdet då t =, dvs X() = Tidsavstånden mellan processens ökningar är Exp(λ)-fördelade. 1 3 tidsutvecklingar av en poissonprocess med λ = 1 8 X i (t) t Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 16/23

17 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Exempel Gauss Exempel Delta meto Exempel Dreamliner NTSB Interim Factual Report (March 7, 213) Boeing also determined that the probability that a battery could vent was once in every 1 million flight hours. As of January 16, 213, the in-service 787 fleet had accumulated less than 52 flight hours, and during this period two events involving smoke emission from a 787 battery had occurred... Antag att antalet fel kan modelleras som en poissonprocess: Vad är intensiteten, λ (tolkning)? Vad är sannolikheten för 2 eller fler händelser under 52 flygtimmar? Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 17/23

18 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Exempel Gauss Exempel Delta meto Linjärisering av g(x) kring punkten μ = E(X) g(x) g(µ) + g (µ)(x µ) g(µ) g(x) µ Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 18/23

19 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Exempel Gauss Exempel Delta meto Gauss approximationsformler i en variabel Y = g(x). Taylorutveckla funktionen g kring μ = E(X) g(x) g(μ) + (X μ)g (μ) = E(Y) g(e(x)) V(Y) g [E(X)] 2 V(X) Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 19/23

20 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Exempel Gauss Exempel Delta meto Exempel Låt E(X) = μ och V(X) = σ 2. a) Bestäm approximativt väntevärde och varians för Y = g(x) = πx 2. E(Y) g(e(x)) = πμ 2 V(Y) [g (E(X))] 2 V(X) = [g (X) = 2πX] = (2πμ) 2 σ 2 b) Bestäm väntevärdet för Y utan approximation. Eftersom V(X) = E(X 2 ) E(X) 2 fås E(X 2 ) = V(X) + E(X) 2 och det sökta väntevärdet blir E(Y) = E(πX 2 ) = πe(x 2 ) = π(v(x) + E(X) 2 ) = πσ 2 + πμ 2 Vi ser att approximationen av väntevärdet alltid är för liten men stämmer bra om σ är liten i förhållande till μ. Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 2/23

21 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Exempel Gauss Exempel Delta meto CGS och Gaussapproximation (Delta metoden) E(X i ) = μ V(X i ) = σ 2, X 1, X 2,..., X n oberoende lika fördelade. Vi har att n(g(xn ) g(μ)) g (μ) n(x n μ). CGS ger att n(g(xn ) g(μ)) σg (μ) N(, 1) Vilket ger att (g(x n ) g(μ)) N(, g (μ) σ/ n). Det här är användbart i statistiken sedan! Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 21/23

22 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Exempel Gauss Exempel Delta meto Exempel: Mätning av tyngdacceleration Tyngdaccelerationen, g, mäts genom att tiden, t, det tar för en kula att, från stillastående, falla s = 1 m mäts. Från fysiken vet vi att: s = gt2 2 g = 2s t 2 Anta att varje mätning, T i, är oberoende och rektangelfördelade kring det rätta värdet med en osäkerhet på ±.5 s. Bestäm variansen av G = 2s 2 efter n oberoende mätningar. T Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 22/23

23 Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Poissonprocess Exempel Gauss Exempel Delta meto Exempel: Mätning av tyngdacceleration Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 23/23