Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar

Transkript

1 Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18

2 Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori: Hur beskriver man slumpen och slumpmässiga händelser? Slh. för 3 st 1:or på 10 tärningsslag? Givet fördelningen för vågor, hur höga/stora kan de 5 % värsta vågorna vara? Vi observerar ett radioaktivt material med känd halveringstid under 10 mintuer; vilken fördelning kommer det observerade antalet sönderfall att följa? Statistikteori: Vilka slutsatser kan man dra av ett datamaterial? Givet 3 st 1:or på 10 tärningslag, är tärningen rättvis? Givet 10 års mätningar av vågor, vad kan vi säga om fördelningen? Under 10 minuter observerar vi 5 sönderfall, vad är halveringstiden? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 2/18

3 Statistik Från mätningar (insamlad data) dra slutsatser om verkligheten. Vi behöver då en modell för våra mätingar! Ofta innehåller vår modell okända parametrar samt ett antagande om fördelning för observationerna. Anna Lindgren FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 3/18

4 Exempel: Kvalitetskontroll Vi kontrollerar n st slumpmässigt utvalda komponenter från ett stort parti och ser om de fungerar. Modell: X = antalet trasiga komponenter X Bin(n, p), där p är andelen trasiga kommponenter. Parametern p är okänd. Möjliga frågeställlningar: 1. Vad är en bra uppskattning av p? 2. Hur stor är osäkerheten i uppskattningen? 3. Vilket intervall tror vi p ligger inom? 4. Hur stort måste n vara för att uppnå en tillräckligt liten osäkerhet? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 4/18

5 Statistikteori översikt Punktskattning Hur gör man en bra gissning av en okänd storhet? Hur vet man att den är bra? Intervallskattning Hitta istället ett intervall som täcker den okända storheten med en given (stor) sannolikhet. Hypotestest Regression Om gissningen blev 0.013, kan rätt värde på den okända storheten ändå vara 0.01? Sambandsanalys, hur vet vi om två variabler påverkar varandra? Anna Lindgren FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 5/18

6 Statistikteori, grundläggande begrepp Stickprov Ett stickprov, x 1, x 2,..., x n, är observationer av s.v. X 1,..., X n från någon fördelning X i F(θ) där θ är en okänd parameter. Skattning En skattning av θ, θ (x 1,..., x n ) är en observation av den s.v. θ (X 1,..., X n ). Båda betecknas oftast bara med θ. Bra egenskaper för en skattning är Väntevärdesriktig: E(θ ) = θ, inget systematiskt fel. Effektiv: liten varians (osäkerhet) V(θ ). Konsistent: P( θ n θ > ε) 0, får fler observationer. n, dvs Blir bättre när vi Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 6/18

7 En skattning θ är både ett tal, en s.v. och en funktion θ Tal x 1 x 2 θ (x 1,..., x n) S.V. X 1 X 2 θ (X) X i F(θ) θ Funktion Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 7/18

8 Modell för mätning med slumpmässigt mätfel Antag att vi vill mäta en storhet μ. Om man gör n st mätvärden, x 1,..., x n är dessa observationer av X i = μ + ε i = Rätt värde + Mätfel där ε i är ett slumpmässigt mätfel. Ofta antas att ε i är oberoende och Detta ger att våra observationer blir ε i N(0, σ) X i N(μ, σ) Vi ser att väntevärdet är den storhet vi försöker mäta upp. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 8/18

9 Väntevärde och Varians Väntevärdet anger tyngdpunkten för fördelningen { E(X) = x f X(x) dx Kont. k k p X(k) Diskr. Variansen anger hur utspridd X är kring sitt väntevärde. [ ] ) 2 V(X) = E( X E(X) = E(X 2 ) E(X) 2 0. ( ) E ai X i + b = a i E(X i ) + b ( ) V a i X i + b = a 2 i V(X i) + 2 a i a j C(X i, X j ) i i i<j }{{} =0 om okorrelerade Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 9/18

10 Variation i observationer ger variation i skattningen μ n = 1 n n i=1 X i E(μ n) = μ V(μ n) = σ2 n mätomgång, j Observationer, x jk μ = x j Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 10/18

11 0.8 Observationernas fördelning Skattningarnas fördelning Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 11/18

12 Radon MK ML Medelfel Fördelning Exempel: Radon Radonkoncentrationen i inomhusluft kan mätas genom att hänga upp en α-känslig film. Antalet hål i filmen beskrivs av en Poisson-process med X i Po(λK i ) där λ är den okända radonkoncentrationen och K i är kända konstanter som beror på bl.a. filmens känslighet, storlek och exponeringstiden. Radon-data återkommer i lab 3. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 12/18

13 Radon MK ML Medelfel Fördelning Radon (forts.) Vi har hängt upp två radonmätare i ett hus där den ena hängt uppe ett dygn och den andra en hel vecka. Hur ska vi kombinera de två mätningarna för att få en så bra gemensam skattning av radonhalten som möjligt? Modell: Oberoende observationer x 1 = 11 från X 1 Po(λ) resp. x 2 = 73 från X 2 Po(7λ). Skattningar: λ 1 = x 1 = 11.0 resp. λ 2 = x 2 7 = 73 7 = Medelvärde: λ = 1 2 (λ 1 + λ 2 ) = x 1 + x 2 /7 = Vikta med tiden: λ = 1 λ λ 2 = x 1 + x 2 = Andra varianter? Vilken variant är bäst? Hur hittar man den? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 13/18

14 Radon MK ML Medelfel Fördelning Anna Lindgren FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 14/18

15 Radon MK ML Medelfel Fördelning Minsta kvadrat-metoden, MK Om E(X i ) = μ i (θ) så fås MK-skattningen av θ genom att minimera förlustfunktionen Q(θ) = n ( x i μ i (θ) i=1 ) 2 m.a.p. θ. Bestäm hur väntevärdet beror av θ, E(X i ) = μ i (θ). Sätt upp Q(θ) Derivera, sätt lika med noll och lös m.a.p. θ. Det θ som minimerar Q(θ) är MK-skattningen, θ MK. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 15/18

16 Radon MK ML Medelfel Fördelning Maximum likelihood-metoden, ML ML-skattningen av θ fås genom att maximera likelihood-funktionen L(θ; x 1,..., x n ) m.a.p. θ. L(θ) = p X (x 1 )... p X (x n ) L(θ) = f X (x 1 )... f X (x n ) (diskr.) (kont.) I det diskreta fallet anger L-funktionen: Sannolikheten att få det stickprov vi fått. Sätt upp L(θ) Logaritmera ln L(θ) maximeras av samma θ som L(θ). Derivera, sätt lika med noll och lös m.a.p. θ. Det θ som maximerar L(θ) är ML-skattningen θ ML. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 16/18

17 Radon MK ML Medelfel Fördelning Medelfel Om standardavvikelsen, D(θ ), för en skattning innehåller okända parametrar kan man inte räkna ut ett numeriskt värde på den. Om vi stoppar in skattningar på de okända parametrarna fås medelfelet d(θ ). Exempel: λ = X 1 + X 2, X 1 Po(λ), X 2 Po(7λ) 8 V(λ ) = V( X 1 + X 2 ) = V(X 1) + V(X 2 ) = λ + 7λ D(λ ) = λ 8, d(λ ) = λ 8 = 8 2 = λ 8, = 1.15 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 17/18

18 Radon MK ML Medelfel Fördelning Skattningens fördelning: CGS? Anna Lindgren FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 18/18