TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

Save this PDF as:
Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder"

Transkript

1 TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen

2 Innehåll Fö2 I Punktskattningar I Egenskaper I Väntevärdesriktig I E ektiv I Konsistent I Punktskattning för väntevärde och varians I Minsta-kvadrat-metoden I Likelihoodfunktionen I Maximum-Likelihood-Metoden TAMS65 - Fö2 1/48

3 Punktskattning Låt x 1,...,x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,...,X n,vars sannolikhetsfunktion p(k; ) eller täthetsfunktion f (x; ) innehåller en okänd parameter. Vi söker ett approximativt värde på, dvs.en punktskattning baserad på x 1,...,x n. Definition. En punktskattning är en funktion av de observerade mät- värdena, det vill säga ˆ = g(x 1,...,x n ). I boken har vi notationen ˆ = (x). TAMS65 - Fö2 2/48

4 Stickprovsvariabeln Det fixa värdet ˆ (eng. estimate) är observation av stickprovsvariabeln (eng. estimator) b =g(x 1,...,X n ). I boken har vi notationen b = (X). Ibland kallar vi även b för skattningsvariabel eller (punkt-) skattning. Fördelningen för b beskrivervilkavärden vi kan få på ˆ för olika observationsserier. TAMS65 - Fö2 3/48

5 Exempel - Punktskattning Antag att vi har tre oberoende mätningar x 1, x 2, x 3 från en och samma population med väntevärdet µ och standardavvikelsen. Vi kan till exempel skatta µ på två olika sätt ˆµ 1 = 1 3 (x 1 + x 2 + x 3 ) ˆµ 2 = 1 6 (x 1 +2x 2 +3x 3 ). Antag att x 1, =1.32, x 2 =2.41 och x 3 =1.97 då blir de observerade skattningarna ˆµ 1 = 1 ( ) = ˆµ 2 = 1 ( ) = TAMS65 - Fö2 4/48

6 Väntevärdesriktighet m.m. Definition. b kallasväntevärdesriktig (vvr) (eng. unbiased) om E( b ) =. Definition. Ett systematiskt fel är definierat som E( b ) = systematiskt fel (eng. bias). Definition. Om b 1 och b 2 är väntevärdesriktiga skattningar av, såkallas b 1 e ektivare än b 2 om var( b 1 ) < var( b 2 ). TAMS65 - Fö2 5/48

7 Exempel, forts. Väntevärdesriktiga? E( M b 1 1 )=E 3 (X 1 + X 2 + X 3 ) =... = µ, E( M b 1 2 )=E 6 (X 1 +2X 2 +3X 3 ) =... = µ Alltså, båda skattningarna är vvr skattningar av µ, menvilken skattning är e ektivast? var( M b 1 1 )=var 3 (X 1 + X 2 + X 3 ) = 1 9 ( )= 3, var( M b 1 2 )=var 6 (X 1 +2X 2 +3X 3 ) = 1 36 ( )= Alltså gäller att var( b M 1 ) < var( b M 2 ) och skattningen µ 1 ( b M 1 ) är e ektivare och bör användas. TAMS65 - Fö2 6/48

8 Exempel Låt x 1,...,x 7 vara ett stickprov från en slumpvariabel X med E(X )=µ och var(x )= 2. Betrakta skattningen av 2 enligt Är denna skattning vvr? X 2 E(ˆ2) =E X ˆ2 = x x 6 2 (x 2 + x 6 )/2. 2 X 2 4 X 6 4 = E(X 2 2) + E(X 6 2) E(X 2 ) E(X 6 ) = / E(Z 2 )=var(z)+(e(z)) 2 / = var(x 2)+(E(X 2 )) 2 + var(x 6)+(E(X 6 )) 2 µ µ µ 2 µ = = 2 + µ 2 µ 2 6= 2 Svar: Nej, skattningen är inte vvr. TAMS65 - Fö2 7/48 µ 4

9 Konsistent skattning Om man har stora stickprov är även asymptotiska egenskaper hos punktskattningar intressanta. Definition. Anta att b n är definierad för varje stickprovsstorlek n. Omför varje ">0gäller att P( b n >")! 0dån!1, så sägs b n vara en konsistent skattning. När man ska bevisa att en skattning är konsistent har man ofta nytta av följande sats. Sats. Om E( b n )= och var( b n )! 0dån!1,såär b n en konsistent skattning av. TAMS65 - Fö2 8/48

10 Bevis Använd Tjebysjovs-olikhet P( Y µ Y > k Y ) apple 1 k 2. Låt ">0 vara givet. Då gäller att P( n >")=P( n " > D( n )) apple D( n ) {z } =k = var( n) " 2! 0 då n!1 eftersom var( b n )! 0dån!1. D( n ) " 2 TAMS65 - Fö2 9/48

11 Skattning av väntevärdet Låt x 1,...,x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,...,X n med E(X i )=µ och var(x i )= 2. Sats. Det gäller att stickprovsmedelvärdet bm = X = 1 n X i är en väntevärdesriktig och konsistent skattning av µ. Sats. Det gäller att stickprovsvariansen S 2 = 1 n 1 (X i X ) 2 är en väntevärdesriktig skattning av 2. TAMS65 - Fö2 10/48

12 Bevis E( b M)=E( X )= 1 n var( b M)=var( X )= 1 2 n Alltså var( b M)! 0dån!1. E(X i ) = 1 {z } n nµ = µ =µ var(x i ) = {z } = 2 1 n 2 n 2 = n 2 bm är en vvr och konsistens skattning av µ. TAMS65 - Fö2 11/48

13 Bevis Vi har att (X i X ) 2 = och = (X 2 i 2X i X + X 2 )= X 2 i n X 2 X 2 i 2 X X i {z } =n X +n X 2 E(X 2 i )=var(x i )+(E(X i )) 2 = 2 + µ 2 E( X 2 )=var( X )+(E( X )) 2 = 2 n + µ2 vilket ger TAMS65 - Fö2 12/48

14 Bevis forts. E(S 2 )=E 1 n 1!! (X i X ) 2 = 1 n 1 E (X i X ) 2! = 1 n 1 E Xi 2 n X 2 = 1 n 1 = 1 n 1 n( 2 + µ 2 ) E(Xi 2 ) n E( X {z } = 2 +µ 2 2 ) {z } = 2 n +µ2 Alltså, S 2 är en vvr skattning av 2. 2! nµ 2 = 1 n 1 (n 1) 2 = 2. TAMS65 - Fö2 13/48

15 Anm. S är inte en väntevärdesriktig skattning av, eftersom 0 < var(s) =E(S 2 ) [E(S)] 2 = 2 [E(S)] 2 dvs. [E(S)] 2 < 2 och då är E(S) <. Leta upp s på din räknare och lär dig använda den rutinen. Heter ibland n 1. TAMS65 - Fö2 14/48

16 Minsta-kvadrat-metoden Låt x 1,...,x n vara observationer av oberoende stokastiska variabler X 1,...,X n med E(X i )=µ i ( ) ochvar(x i )= 2. Det värde ˆ som minimerar Q( ) = (x i µ i ( )) 2, kallas minsta-kvadrat-skattningen (MK-skattningen) av parametern. Här behöver inte vara endimensionell, se tex. avsnittet om regressionsanalys. Tänk på att när vi minimerar Q( ), så betraktar vi som en variabel, medan x 1,...,x n är fixa tal (mätvärden). TAMS65 - Fö2 15/48

17 Exempel - Normalfördelning Låt x 1,...,x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,...,X n,där X i N (µ, )och är känt. Skattaµ med minsta-kvadratmetoden. Q(µ) = (x i µ) 2 dq dµ = 2 (x i µ)=0 0= (x i µ)= x i nµ vilket ger ˆµ = 1 n P n x i = x. TAMS65 - Fö2 16/48

18 Exempel - Linjär regression I en studie har man velat undersöka sambandet mellan skadekostnader och avstånd till närmaste brandstation vid bränder i bostadshus. Distance from Fire Station Fire Damage x, miles y, thousandsofdollars TAMS65 - Fö2 17/48

19 Exempel, forts. Ett approximativt linjärt samband verkar fullt rimligt. TAMS65 - Fö2 18/48

20 Exempel, forts. Vi har värdepar (x j, y j ), där y j är observation av den stokastiska variabeln Y j = µ j + " j = x j + " j, för j =1,...,n, där µ j = x j och x 1,...,x n är fixa tal medan " 1,...," n är oberoende s.v. med E(" j )=0och var(" j )= 2. Modellen ger att E(Y j )=µ j = x j och var(y j )= 2. Vi skattar 0 och 1 med hjälp av MK-metoden, d.v.s. minimerar Q( 0, 1) = (y j E(Y j )) 2 = j=1 (y j 0 1 x j ) 2 j=1 med avseende på 0 och 1. TAMS65 - Fö2 19/48

21 Exempel, forts. Vi får den skattade regressionslinjen ŷ = ˆ0 + ˆ1x = x TAMS65 - Fö2 20/48

22 Exempel - Hypergeometrisk fördelning IenurnafinnsN kulor varav Np är vita och N(1 p) är svarta. Man väljer slumpmässigt n stycken utan återläggning och får då X vita kulor. Då gäller att X har hypergeometrisk fördelning, X Hyp(N, n, p) dvs. p X (x) =P(X = x) = Np x N(1 p) n x N n, för 0 apple x apple Np och 0 apple n x apple N(1 p). TAMS65 - Fö2 21/48

23 Exempel - Hypergeometrisk fördelning Bland 200 ekonomiska transaktioner i ett företag väljer man ut 25 st och finner bland dem 3 felaktiga. Uppskatta p =andelen felaktiga transaktioner. N = 200, n = 25, x =3är en observation från X Hyp(N, n, p) E(X )=np mm ger n ˆp = x d.v.s. ˆp = x n. mkm ger Q(p) = P n (x i np) 2 =(x np) 2 dq 2 dp = 2n(x np) samtd Q dp 2 =2n2 > 0(min) dq dp = 0 ger ˆp = x n. TAMS65 - Fö2 22/48

24 Exempel - Exponentialfördelning Under en kort geologisk period kan det vara rimligt att anta att tiderna mellan successiva utbrott för en vulkan är oberoende och exponentialfördelade med ett väntevärde µ som är karakteristiskt för den enskilda vulkanen. I tabellen nedan finns tiderna i månader mellan 37 successiva utbrott för vulkanen Mauna Loa på Hawaii TAMS65 - Fö2 23/48

25 Exempel forts. För att se hur datamaterialet ser ut gör vi ett histogram. Tiderna mellan utbrott varierar mycket. Histogrammets form antyder att exponentialfördelning kan vara ett lämpligt antagande. TAMS65 - Fö2 24/48

26 Exempel forts. Om X är tiden mellan två utbrott så skulle täthetsfunktionen vara f (x) = 1 µ e x/µ för x 0. Parametern µ är väntevärdet och vi vet att µ > 0. För att kunna beskriva variationerna i tidsavstånden mellan utbrotten och kunna beräkna intressanta sannolikheter behöver vi ett approximativt värde på µ. Alltså, vi behöver punkskatta µ. Förslag? TAMS65 - Fö2 25/48

27 Exempel forts. Anta t.ex. att ett utbrott just är över. Uppskatta, utgående från antagandet om exponentialfördelning, sannolikheten att det dröjer mer än sex månader till nästa utbrott. Alltså vi ska beräkna ˆp = P(X > 6) = Z 1 6 f (x)dx = Vi återkommer till det här exemplet senare. Z ˆµ e x/ˆµ dx TAMS65 - Fö2 26/48

28 Exempel - Binomialfördelning För ett datorsystem är det önskvärt att svarstiden, då man ger en viss typ av kommando, är under tre sekunder. Vid 66 oberoende testningar fick man 14 svarstider som var längre än tre sekunder. Vi vill uppskatta p = sannolikheten att en svarstid är > 3s. Modell: x = 14 är observation av X Bin(n, p) där n = 66. Hur ska vi skatta p? Förslag? Vi återkommer också till det här exemplet senare. TAMS65 - Fö2 27/48

29 Maximum-Likelihood-Metoden Låt x 1,...,x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,...,X n med täthetsfunktion f (x; ) eller sannolikhetsfunktion p(x; ). Definition. Funktionen 8 Q n < f (x i; ) =f (x 1 ; )... f (x n ; ) L( ) = : Q n p(x i; ) =p(x 1 ; )... p(x n ; ) kontinuerlig s.v. diskret s.v. kallas likelihoodfunktionen. Definition. Det värde på ˆ som maximerar likelihoodfunktionen L( ), då 2 A = {tillåtna värden på }, kallasmaximumlikelihood- skattningen (ML-skattningen) av. TAMS65 - Fö2 28/48

30 Exempel - ML-metoden Stickprov x =( 0.5, 0, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8, 0.95, 1.15, 1.25, 1.30, 1.6, 1.9, 2.7, 3.5). Då ändras från 1 till 2 får vi en ny täthetsfunktion. ML-metoden väljer den täthetsfunktion som gör L( ) så stor som möjligt. TAMS65 - Fö2 29/48

31 Anmärkningar Anm. 1 Vid maximeringen av L( ) = Q n f (x i; ) skavibetrakta som en variabel och x i som konstanta. Anm. 2 Det är oftare enklare att maximera ln L( ) = ln f (x i ; ). Anm. 3 Skattningsvariabeln b som hör ihop med ML-skattningen har goda asymptotiska egenskaper vilket gör att man åtminstone för stora stickprov föredrar ML-skattningen framför andra typer av skattningar. Under ganska generella villkor gäller att den s.v. b är konsistent och asymptotiskt normalfördelad med optimal varians. TAMS65 - Fö2 30/48

32 Generaliseringar a) Parametern kan vara flerdimensionell, t.ex. två som i normalfördelningsfallet. b) Man har observationer x 1,...,x n och y 1,...,y m,där de s.v. X i har en fördelning och de s.v. Y j en annan fördelning, men båda fördelningarna innehåller samma parameter. Då är L( ) =L 1 ( ) L 2 ( ). TAMS65 - Fö2 31/48

33 Exempel forts. - Exponentialfördelning I exemplet ovan har vi x 1,...,x n, n = 36 och f (x) = 1 µ e x/µ. L(µ) = Q n f (x i)= Q n 1 µ e x i /µ = 1 µ n e 1 P n µ x i ln L(µ) =l(µ) = n ln µ 1 P n µ x i dl dµ = n µ + 1 µ 2 P n x i = 0 ger µ = x = Max? d 2 l dµ 2 = n 2 P n µ 2 µ 3 x i d.v.s. max. = n x 2 µ= x 2 n x =... = < 0 ) x 3 n x 2 TAMS65 - Fö2 32/48

34 Exempel forts. p =P(X > 6) = R 1 6 ˆp = e 6/ˆµ = e 6/ x µ e x/µ =... = e 6/µ TAMS65 - Fö2 33/48

35 Exempel forts. - Binomial Vi har att x = 14 är en observation av X Bin(n, p), där n = 66. p(k) = n k pk (1 p) n k för k =0, 1,...,n L(p) = n x px (1 p) n x l(p) =lnl(p) =ln n x + x ln p +(n x)ln(1 p) dl dp = x p n x 1 p = 0 ger p = x n (max?) ˆp = x n = TAMS65 - Fö2 34/48

36 ML-skattningarna i normalfördelningsfallet Vi har observationer x 1,...,x n av oberoende s.v. X 1,...,X n,där X i N(µ, ). Fall 1: känd och µ okänd. Då är ˆµ = x. f (x) = 1 p 2 e (x µ)2 2 2 L(µ) = Q n 1 p e (x i µ) = 1 ( 2 2 ) n/2 e P n (x i µ) 2 Funktionen P L(µ) uppnår maximum samtidigt som funktionen n (x i µ) 2 antar minimum, d.v.s. då µ = x (samma som MK). TAMS65 - Fö2 35/48

37 ML-skattningarna i normalfördelningsfallet Fall 2: okänd och µ känd. Då är ˆ2 = 1 n P n (x i µ) 2. (Hemuppgift) Fall 3: Både µ och okända. Likelihoodfunktionen ges av h L(µ, )= 1 p e (x 1 µ) 2 /2 2i h p 2 e (xn µ)2 /2 2i = 1 p 2 n n e P n (x i µ) 2. Vidare får vi l(µ, )=lnl(µ, )=konstant n ln (x i µ) 2. TAMS65 - Fö2 36/48

38 Både µ och okända Man kan visa att maximum antas i ett nollställe till de = (x i µ)( 1) = 1 x 2 = n @ =0 ger (x i µ) 2 8 < : ˆµ = 1 n P n x i = x (vvr) ˆ2 = 1 n P n (x i x) 2 (ej vvr) TAMS65 - Fö2 37/48

39 E(ˆ2) = 1 n E P n (X i X ) 2 = / se ovan / = 1 n (n 1) 2 = n 1 n d.v.s. om vi väljer n ˆ2 =... = s 2 ok. n 1 2 n ˆ2 som skattning så är den vvr. n 1 TAMS65 - Fö2 38/48

40 Korrigerad ML-skattning Korrigerad ML-skattning av 2 är den vanliga stickprovsvariansen s 2 = 1 n 1 (x i x) 2. Vid ett stickprov från normalfördelning har vi alltså skattningarna ˆµ = x, ˆ2 = s 2 = 1 n 1 (x i x) 2, då båda parametrarna µ och 2 är okända. TAMS65 - Fö2 39/48

41 Exempel - Normalfördelning En a är har bestämt bemanningen på lördagar så att man behöver sälja för kronor för att gå runt den enskilda lördagen. Man vill bedöma hur vanlig en försäljningssumma under är och även studera den genomsnittliga försälj- ningen för lördagar. Försäljningssi ror för 40 lördagar: TAMS65 - Fö2 40/48

42 Exempel forts.- Normalfördelning Modell: Försäljningen i tusentals kronor en slumpmässigt vald lördag är en s.v. X N(µ, ). Här beskriver parametern µ den genomsnittliga försäljningen i det långa loppet. En annan intressant parameter är X µ µ p =P(X < 25000) = P < = µ Vi behöver approximativa värden på µ och och de är ˆµ = x = 29323, v ˆ = s = p 1 ux t 40 (x i x) 2 = TAMS65 - Fö2 41/48

43 Exempel forts.- Normalfördelning De approximativa värdena på µ och ger ˆµ ˆp = = ( ) = 1 (0.7835) 0.22 s Tolkning: Ungefär 22% av lördagarna ligger försäljningen under kronor. Den genomsnittliga försäljningen µ på lördagar är ungefär kronor. TAMS65 - Fö2 42/48

44 Hur säker information har vi om µ och 2 via punktskattningarna? Vi behöver studera fördelningarna för de s.v. b M och S 2.Viharatt bm = X = 1 X i N µ, pn n S 2 = 1 X i X 2??? - se nästa föreläsning. n 1 Vi återkommer till detta i samband med intervallskattning. TAMS65 - Fö2 43/48

45 Flera stickprov från normalfördelning Antag nu att vi har flera stickprov från normalfördelning x 1,...,x m, där X 1,...,X m är oberoende och N(µ 1, ) y 1,...,y n, där Y 1,...,Y n är oberoende och N(µ 2, ) På liknande sätt som vid fallet med ett stickprov från normalfördelning kan man härleda skattningarna av de tre parametrarna. Använd a) och b) på sid. 31 så får man likelihoodfunktionen L(µ 1,µ 2, 2 )=L(µ 1, 2 )L(µ 2, 2 ) = Qm 1 p e (x i µ 1 ) Qn 1 p e (y i µ 2 ) TAMS65 - Fö2 44/48

46 Flera stickprov från normalfördelning Vid två stickprov från normalfördelningar med skilda väntevärden och en gemensam standardavvikelse har vi ML-skattningarna ˆµ 1 = x, ˆµ 2 =ȳ, samt den korrigerade 2 -skattningen s 2 = (m 1)s2 1 +(n 1)s2 2 (m 1) + (n 1), där s 2 1 = 1 m 1 mx 1 (x i x) 2 och s 2 2 = 1 n 1 (y i ȳ) 2, d.v.s. stickprovsvariansen för respektive stickprovet. Det här resultatet kan generaliseras till flera stickprov (se F-S). TAMS65 - Fö2 45/48

47 Medelfel för en skattning Vi har använt oss av variansen var( b ) eller standardavvikelsen D( b ) som ett precisionsmått för skattningen b. Ju mindre varians, desto bättre skattning. Problem Variansen och standardavvikelsen är ofta okända, då de kan bero på just den parameter som vi vill skatta (och kanske ytterligare andra okända parametrar). Definition. En skattning av D( b ) kallas medelfelet för b och betecknas d = d( b ). TAMS65 - Fö2 46/48

48 Exempel Medelfel för en skattning N(µ, ) Låt X 1,...,X n vara oberoende och N(µ, ), där µ och okända. Vi vet att en skattning av µ är ˆµ = x. Denna skattning har standardavvikelsen D( b M)=p n,vilkenberor på som är okänt. Vi skattar variansen 2 med s 2 och medelfelet blir d( b M)= s p n. TAMS65 - Fö2 47/48

49 Exempel Medelfel för en skattning Bin(n, p) Skatta p med ˆp = x n som är en observation från b P = X n. var( P)= b 1 n 2 var(x )= 1 p) np(1 p) =p(1 n2 n D( b P)= r p(1 p) n r och d( P)= b ˆp(1 n ˆp) TAMS65 - Fö2 48/48

50

51 Appendix - Summor och Produkter Summor x i = x 1 + x x n ax i = ax 1 + ax ax n = a(x 1 + x x n )=a c = n c Produkter ny x i = x 1 x 2... x n ny (ax i )=(ax 1 ) (ax 2 )... (ax n )=a n x 1 x 2... x n = a n ny x i x i TAMS65 - Fö2 49/48

52 Appendix - Logaritmlagarna ln(a b) =lna +lnb ln a b =lna ln b ln a c = c ln a ln e a = a e ln b = b TAMS65 - Fö2 50/48

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära

TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen TAMS65 - Mål Kursens övergripande mål är att ge

Läs mer

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på

Läs mer

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar Anna Lindgren 25 november 2015 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/17 Matematisk statistik slumpens matematik

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Föreläsning 7. Statistikens grunder. Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

TAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65

TAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65 Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016

Läs mer

F8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17

F8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17 1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,

Läs mer

Jesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014

Jesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Föreläsning 1. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Varför tillämpad statistik? Användningsområden i medicin, naturvetenskap

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.

0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.

Läs mer

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk

Läs mer

Föreläsning 12: Linjär regression

Föreläsning 12: Linjär regression Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,

Läs mer

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande

Läs mer

Mer om konfidensintervall + repetition

Mer om konfidensintervall + repetition 1/14 Mer om konfidensintervall + repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/2 2011 2/14 Dagens föreläsning Skattningar som slumpvariabler Väntevärde Varians

Läs mer

Föreläsning 8: Konfidensintervall

Föreläsning 8: Konfidensintervall Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.

Läs mer

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:... Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för

Läs mer

Teoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005

Teoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005 Teoretisk statistik Gunnar Englund Matematisk statistik KTH Vt 2005 Inledning Vi skall kortfattat behandla aspekter av teoretisk statistik där framför allt begreppet uttömmande (ibland kallad tillräcklig

Läs mer

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90/SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAG 5 JUNI 09 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 8. Statistik: Mer om maximum likelihood, minsta kvadrat. Linjär regression, medelfel, felfortplantning Jan Grandell & Timo Koski 24.09.2008 Jan Grandell

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.) Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika

Läs mer

Enkel och multipel linjär regression

Enkel och multipel linjär regression TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0

Läs mer

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015

Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Johan Jonasson Februari 2016 Följande begrepp och metoder ska behärskas väl, kunna förklaras och tillämpas. Direkta bevis av satser från kursen kommer inte på

Läs mer

Thomas Önskog 28/

Thomas Önskog 28/ Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse

Läs mer

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall

F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall 1/13 F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 22/2 2013 2/13 Dagens föreläsning Problemlösning Skattningar Konfidensintervall

Läs mer

MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, Π; FMS 012 FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I

MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, Π; FMS 012 FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, Π; FMS 012 FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI JOAKIM LÜBECK Mars 2014 Matematikcentrum Matematisk statistik CENTRUM SCIENTIARUM MATHEMATICARUM FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 TILLÄMPAD STATISTIK, ONSDAGEN DEN 7:E APRIL 09 KL 8.00 3.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 8649 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk

Läs mer

Punktskattning 1 Ett exempel

Punktskattning 1 Ett exempel Matematisk statistik för STS vt 004 004-05 - 04 Bengt Rosén Punktskattning Ett exempel Vid utveckling av nannoelektronik vill man väga en mycket liten "pryl", med vikt någonstans mellan 00 och 50 mg. "Prylen"

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 8 Test av fördelning χ 2 -test

TAMS65 - Föreläsning 8 Test av fördelning χ 2 -test TAMS65 - Föreläsning 8 Test av fördelning χ 2 -test Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö8

Läs mer

FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data

FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

SF1901: Medelfel, felfortplantning

SF1901: Medelfel, felfortplantning SF1901: Medelfel, felfortplantning Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2011 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 15.09.2011 1 / 14 Felfortplantning Felfortplantning kallas propagation of error

Läs mer

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 augusti 2008 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus

Läs mer

Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall

Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F9: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett stickprov, x 1, x 2,...,

Läs mer

a) Beräkna sannolikheten att en följd avkodas fel, det vill säga en ursprungliga 1:a tolkas som en 0:a eller omvänt, i fallet N = 3.

a) Beräkna sannolikheten att en följd avkodas fel, det vill säga en ursprungliga 1:a tolkas som en 0:a eller omvänt, i fallet N = 3. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 14:E MARS 017 KL 08.00 13.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):

EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN): Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF50: Matematisk statistik för L och V OH-bilder på föreläsning 7, 2017-11-20 EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,

Läs mer

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A

Läs mer

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden Anna Lindgren 20+21 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådim. stokastisk

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret

Läs mer

F13 Regression och problemlösning

F13 Regression och problemlösning 1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett

Läs mer

TMS136. Föreläsning 11

TMS136. Föreläsning 11 TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 25 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 1/16 Repetition Summor max/min

Läs mer

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

Jörgen Säve-Söderbergh

Jörgen Säve-Söderbergh SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 8 Binomial-, hypergeometrisk- och Poissonfördelning Exakta egenskaper Approximativa egenskaper Jörgen Säve-Söderbergh Binomialfördelningen

Läs mer

Kurssammanfattning MVE055

Kurssammanfattning MVE055 Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera

Läs mer

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 11 Johan Lindström 13 november 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F11 1/25 Repetition Stickprov & Skattning Maximum likelihood

Läs mer

TMS136. Föreläsning 4

TMS136. Föreläsning 4 TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

Formler och tabeller till kursen MSG830

Formler och tabeller till kursen MSG830 Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 26:E OKTOBER 206 KL 8.00 3.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov TNG006 F0-05-06 Konfidensintervall för linjärkombinationer 0. Konfidensintervall vid två oberoende stikprov Antag att X, X,..., X m är ett stikprov på N(µ, σ ) oh att Y, Y,..., Y n är ett stikprov på N(µ,

Läs mer

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 16 augusti, 2017 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1922/SF1923/SF1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 28 MAJ 2019 KL 8.00 13.00. Examinator för SF1922/SF1923: Tatjana Pavlekno, 08-790 86 44. Examinator för

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 5 Konfidensintervall - Normalapproximation

TAMS65 - Föreläsning 5 Konfidensintervall - Normalapproximation TAMS65 - Föreläsning 5 Konfidensintervall - Normalapproximation Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö5 Repetition Normalapproximation Binomialfördelning CGS Hypergeometrisk

Läs mer

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Lärare: Mikael Elenius, 2006-08-25, kl:9-14 Betygsgränser: 65 poäng Väl Godkänt, 50 poäng

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

Betingning och LOTS/LOTV

Betingning och LOTS/LOTV Betingning och LOTS/LOTV Johan Thim (johan.thim@liu.se 4 december 018 Det uppstod lite problem kring ett par uppgifter som hanterade betingning. Jag tror problemen är av lite olika karaktär, men det jag

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 6.5 hp AT1MS1 DTEIN16h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 1 juni 2017 Tid: 14-18 Hjälpmedel: Miniräknare Totalt antal

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning

TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö12 1/37 Det

Läs mer

Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare

Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare 1 Egenskaper hos punktskattare En skattare är en funktion av stickprovet och således en slumpvariabel. En bedömning av kvaliteten

Läs mer