SF1901: Sannolikhetslära och statistik
|
|
- Lisbeth Dahlberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 8. Statistik: Mer om maximum likelihood, minsta kvadrat. Linjär regression, medelfel, felfortplantning Jan Grandell & Timo Koski Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
2 Sammanfattning Vi fortsätter från den föregående föreläsningen med statistiska inferensproblem (inferens= slutledning): Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
3 Sammanfattning Vi fortsätter från den föregående föreläsningen med statistiska inferensproblem (inferens= slutledning): mer om maximum-likelihood (ML) och minsta kvadrat (MK) Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
4 Sammanfattning Vi fortsätter från den föregående föreläsningen med statistiska inferensproblem (inferens= slutledning): mer om maximum-likelihood (ML) och minsta kvadrat (MK) som exempel på MK tar vi fram formlerna för en enkel linjär regressionsanalys. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
5 Sammanfattning Vi fortsätter från den föregående föreläsningen med statistiska inferensproblem (inferens= slutledning): mer om maximum-likelihood (ML) och minsta kvadrat (MK) som exempel på MK tar vi fram formlerna för en enkel linjär regressionsanalys. Sedan definierar vi begrepp som medelfel och felfortplantning. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
6 Statistisk inferens: allmän repetition Vi har en uppsättning data som ses som utfall av s.v. x 1, x 2,..., x n X 1, X 2,..., X n. Dessa variabler antages vara oberoende och likafördelade och deras gemensamma fördelning beror av en okänd parameter θ, t.ex. N(θ, σ), Po(θ), N(θ 1, θ 2 ), osv. En punktskattning θ obs av θ är en funktion θ (x 1,..., x n ) och motsvarande stickprovsvariabel θ är θ (X 1,..., X n ) Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
7 Maximum-likelihood-metoden: Likelihoodfunktion Antag att X i har täthetsfunktionen f X (x, θ), θ okänd. Definition kallas Likelihood-funktionen. L(θ) = f X1 (x 1, θ) f Xn (x n, θ) Idén är att skatta θ så att utfallet blir så troligt som möjligt. Observera att likelihoodfunktionen betraktas som en funktion av θ, inte av x 1,..., x n. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
8 Maximum-likelihood-metoden L(θ) = f X1 (x 1, θ) f Xn (x n, θ) Definition Det värde θobs för vilket L(θ) antar sitt största värde kallas ML-skattningen av θ. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
9 Maximum-likelihood-metoden Exempel X i är N(θ, σ), dvs. f (x, θ) = 1 σ 2π e 1 2 ( x θ σ ) 2. Vi observerar x 1,..., x n. Vi antar att σ är känt. lnl(θ) = ln(σ n (2π) n/2 ) 1 2σ 2 n 1 (x i θ) 2 ger dvs. d lnl(θ) dθ n 1 = 0 x i = nθ, θ obs = x. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
10 Maximum-likelihood-metoden Nu förutsätter vi att både µ och σ 2 är okända, vilket är den vanligaste situationen. Då blir L(µ, σ 2 ) = 1 (2πσ 2 ) n/2 e n 1(x i µ) 2 /2σ 2. Genom logaritmering och derivering med avseende på µ och σ 2 får man lnl µ = 1 σ 2 n (x i µ), lnl σ 2 = n 2σ σ 4 n (x i µ) 2. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
11 Maximum-likelihood-metoden Om man sätter derivatorna lika med noll och löser det så erhållna ekvationssystemet, får man ML-skattningarna µ obs = x och (σ2 ) obs = 1 n n (x i x) 2. Den första skattningen är väntevärdesriktig, men den senare måste korrigeras för att bli detta. Den korrigerade ML-skattningen av σ 2 är (Se Bilaga 1) s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
12 Weibullfördelning Weibullfördelning X Weib (λ, c), λ = 1/a > 0 beror på en skalparameter a, c > 0 är en formparameter. sannolikhetstäthet f X (x) = fördelningsfunktion F X (x) = { λc (λx) c 1 e (λx)c om x 0 0 om x < 0 { 1 e (λx) c om x 0 0 om x < 0 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
13 Weibullfördelning Weibull, W. (1951) A statistical distribution function of wide applicability Journal of Applied Mechanics-Transactions of ASME 18(3), Weibull, W. (1939): A statistical theory of the strength of materials. Ingenjörsvetenskapsakademiens Handlingar Stockholm 1939 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
14 Weibullfördelning Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
15 Om Weibullfördelning ur Wikipedia The Weibull Distribution was first published in 1939, is by far the world s most popular statistical model and has proven to be invaluable for life data analysis in aerospace, automotive, electric power, nuclear power, medical, dental, electronics, every industry. It is also used in many other applications, such as weather forecasting and fitting data of all kinds. It may be employed for engineering analysis with smaller sample sizes than any other statistical distribution. (An increasing failure rate (felintensitet) suggests wear out - parts are more likely to fail as time goes on). weibull.htm Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
16 Weibullfördelning Plot av Weibullfördelningarna Weib (1, 1), Weib (1, 2) och Weib (1, 3). Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
17 Maximum-likelihood och Weibullfördelning X Weib (1/a, 1.3) med tätheten f (x; a) = 1.3x0.3 a 1.3 e (x/a)1.3 om x > 0. Likelihoodfunktionen blir för n observationer x 1,..., x n L(a) = f (x 1 ; a)f (x 2 ; a) f (x n ; a) = 1.3n x0.3 a1.3n 1 x0.3 2 xn 0.3 e ( n x1.3 i )/a 1.3. Logaritmering och derivering med avseende på a ger d ln(l(a)) da = 1.3n a n a 2.3 xi 1.3, a obs = ( n 1 x 1.3 i /n) 1/1.3. Detta exempel visar att ML-skattningar mycket väl kan vara sådana att man inte omedelbart kan gissa utseendet. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
18 Maximum-likelihood och Weibullfördelning Observationerna x 1, x 2,..., x n kommer från en Weibull-fördelning med formparameter c och skalparameter a = 1/λ = 1/b 1/c. Täthetsfunktionen är då Likelihoodfunktionen blir som logaritmerat blir f (x; b, c) = bcx c 1 e bxc om x > 0 och 0 annars. L(b, c) = b n c n (x 1 x 2... x n ) c 1 e b n 1 xc i ln(l(b, c)) = n ln(b) + n ln(c) + (c 1) n ln(x i ) b n x c i. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
19 Maximum-likelihood och Weibullfördelning Deriverar vi detta partiellt med avseende på b respektive c (för att försöka hitta maximipunkten) erhålls derivatorna ln(l(b, c)) b = n b n 1 x c i, ln(l(b, c)) c = n c + n 1 ln(x i ) b n 1 x c i ln(x i ). Sätts dessa derivator till 0 erhålls ur den första ekvationen b = n/ n 1 xc i som kan sättas in i den andra ekvationen som då blir n c + n 1 ln(x i ) n n 1 x c i ln(x i ) n 1 x c i = 0, som inte kan lösas analytiskt utan får beräknas numeriskt för att på så sätt erhålla c. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
20 Minsta-kvadrat-metoden Låt x 1,..., x n vara ett stickprov från en fördelning med E(X) = µ(θ) där µ(θ) är en känd funktion av en okänd parameter θ. Sätt Q(θ) = n (x i µ(θ)) 2 och minimera Q(θ) map. θ. Lösningen θobs till detta problem kallas MK-skattningen av θ. Ifall den inversa funktionen µ 1 (θ) existerar ges MK-skattningen θobs av ( ) θobs n = 1 µ 1 n x i = µ 1 (x) Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
21 Minsta-kvadrat-metoden: Regressionsanalys Exempel Vi vill undersöka hur en termometer mäter temperatur. Vi prövar därför termometern i vätskor med olika temperaturer x 1,..., x n. Dessa temperaturer anser vi helt kända. Motsvarande mätvärden y 1,..., y n antar vi är ungefär en linjär funktion av den verkliga temperaturen: y k α + βx k. Som vanligt uppfattas mätvärdena y 1,..., y n som utfall av s.v. Y 1,..., Y n. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
22 Minsta-kvadrat-metoden: Regressionsanalys Ett fiktivt exempel x = y = Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
23 Minsta-kvadrat-metoden: Enkel linjär regressionsanalys Exemplen handlar om enkel linjär regression. En ofta använd modell för detta är följande: Det föreligger n par av värden (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) där x 1,..., x n är givna storheter och y 1,..., y n är observationer av oberoende s.v. Y 1,..., Y n, där Y i N(µ i, σ). Observera att σ förutsätts att ej bero av x, vilket ofta är det kritiska antagandet. Varje väntevärde µ i är linjärt beroende av x i, d.v.s. Linjen µ i = α + βx i, i = 1,..., n. kallas den teoretiska regressionslinjen. y = α + βx (1) Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
24 Minsta-kvadrat-metoden: Enkel linjär regressionsanalys Koefficienten β är betydelsefull, ty den anger hur mycket väntevärdet ökar, då x ökas med en enhet. Om speciellt β skulle vara noll, är väntevärdet konstant, d.v.s beror inte av x. Med hjälp av regressionslinjen kan man för varje givet x bestämma tillhörande väntevärde. Ju mindre σ är, desto mindre är på det hela taget dessa avstånd, d.v.s. desto bättre ansluter sig punkterna till linjen. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
25 Minsta-kvadrat-metoden: Regressionsanalys Vi skattar parametrarna α och β med Minsta-Kvadratmetoden, dvs. vi minimerar Q(α, β) = n (y i α βx i ) 2 m.a.p. α och β. De värden αobs och β obs som ger minimum kallas MK-skattningarna av α och β. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
26 Minsta-kvadrat-metoden: Regressionsanalys Vi får nu: n Q α = 2 (y i α βx i ) = 2n(y α βx) n Q β = 2 x i (y i α βx i ). Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
27 Minsta-kvadrat-metoden: Regressionsanalys Sätter vi derivatorna = 0, så fås av första ekvationen vilket insatt i andra ekv. ger 0 = α = y βx, n x i (y i y β(x i x)) = n (x i x)(y i y β(x i x)). Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
28 Minsta-kvadrat-metoden: Regressionsanalys Sätter vi ihop detta så får vi α obs = y β obs x och β obs = n (x i x)(y i y) n (x i x) 2. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
29 Minsta-kvadrat-metoden: Regressionsanalys Linjen y = α obs + β obs x. kallas den skattade regressionslinjen. De lodräta avstånden ε i från y i till den skattade regressionslinjen i x i, ε i = y i α obs β obs x i kallas observerade residualer. Q 0 definieras som Q 0 = Q(α obs, β obs ) = n ε 2 i. och kallas residualkvadratsumman. σ 2 skattas med s 2 = Q 0 n 2. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
30 Minsta-kvadrat-metoden: Regressionsanalys I exemplet ovan är skattade regressionslinjen, residualkvadratsumman och s 2 y = x, Q 0 = , s 2 = Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
31 Priset på gamla viner av Orley Ashenfelter. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
32 Medelfel för en skattning Vi använder variansen V (θ ) eller, vilket i princip är samma sak, standardavvikelsen D(θ ) som precisionsmått för en skattning θ. Ju mindre varians (större effektivitet), desto belåtnare är vi med skattningen. Ibland hamnar man då i en besvärlig situation: Variansen och standardavvikelsen är själva okända, emedan de beror av just den parameter som man vill skatta (och kanske av ytterligare andra okända parametrar). Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
33 Medelfel för en skattning Om man vill få information om D(θ ) får man försöka hitta på en skattning även av denna storhet (parameter). Konsekvensen blir att man inte får ett exakt precisionsmått utan bara ett ungefärligt. Vi skulle kunna beteckna denna numeriska skattning av osäkerheten med D(θ ) obs men skriver den i stället d(θ ). Definition En skattning av D(θ ) kallas medelfelet för θ och betecknas d(θ ). Hur medelfelet skall väljas får avgöras från fall till fall. Man borde tillse att d(θ ) är en konsistent skattning av D(θ ). Detta kan nog verka förbryllande men man skall hålla isär begreppen: θ obs är en skattning av θ och d(θ ) är en skattning av D(θ ). Det var detta vi gjorde i det inledande exemplet i i samband med analys av en opinionsundersökning. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
34 Medelfel för en skattning: Felfortplantning Felfortplantning, eller Gauss-approximation, används ibland för att approximativt beräkna medelfel för skattningar. Antag att vi har en skattning θobs som vi vet är approximativt väntevärdesriktig samt anser oss veta medelfelet för. Vi bildar nu en funktion g(θobs ) av skattningen. Detta kan vara aktuellt om vi är intresserade av att skatta en parameter ψ = g(θ), där en naturlig skattning är ψobs = g(θ obs ). Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
35 Felfortplantning Vi undrar nu hur osäkerheten (medelfelet) i θ-skattningen fortplantas genom funktionen g till en osäkerhet (medelfel) i ψ-skattningen. Vad vi gör är att serieutveckla (linjärisera) funktionen g genom g(x) = g(a) + (x a)g (a) + restterm där vi anser oss kunna försumma resttermen. Vad detta innebär är att vi ersätter funktionen g(x) med tangenten i punkten a som (ibland) är en hyfsad approximation åtminstone i närheten av punkten a. Om vi väljer a = θ erhåller vi ψ = g(θ ) g(θ) + (θ θ)g (θ). Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
36 Gauss-approximation Om nu E(θ ) θ, d.v.s. att θobs är (åtminstone approximativt) väntevärdesriktig, och dessutom huvuddelen av sannolikhetsmassan i fördelningen för θ finns i det område där den linjära approximationen är god erhåller man E(ψ ) g(θ) = ψ och V (ψ ) (g (θ)) 2 V (θ θ) = (g (θ)) 2 V (θ ) (g (θ obs ))2 V (θ ). Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
37 Gauss-approximation Sats Om θobs är approximativt väntevärdesriktig med medelfelet d(θ ) så gäller att ψobs = g(θ obs ) är approximativt väntevärdesriktig som skattning av ψ = g(θ) samt har approximativt medelfel d(ψ ) g (θobs ) d(θ ). Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
38 Felfortplantning Låt x 1,..., x n vara utfall av oberoende stokastiska variabler X 1,..., X n, respektive, som är ffg-fördelade dvs. p X (x) = p (1 p) (x 1) för x = 1, 2,... (a) Bestäm minsta-kvadrat-skattningen pobs 0 < p < 1. av parametern p, där (b) Bestäm approximativt väntevärde E(p ) och varians V (p ) för minsta-kvadrat-skattningen p obs. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
39 Minsta kvadrat a) Enligt formelsamlingen är E(X i ) = 1 p = µ(p) och därmed bildar vi minsta-kvadrat-skattningen genom att minimera funktionen och enligt tidigare fås Q (p) = n (x i µ(p)) 2. ( ) pobs n = 1 µ 1 n x i = µ 1 (x) = 1 x, där x = 1 n n x i. SVAR: p obs = 1 x. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
40 Felfortplantning (b) Inför g(x) = 1 x, för x > 0. Sätt θ = 1 p och θ = X = 1 n n X i. Vi har = E ( 1 n E (θ ) = E ( X ) ) n X i = 1 n n E(X i ) Men och enligt formelsamlingen är E(X i ) = 1 p och således E ( X ) = 1 p = θ dvs. E (θ ) = θ. Då ger Gauss approximation SVAR: E (p ) p. E (p ) = E (g (θ )) g (E (θ )) = g (θ) = p. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
41 felfortplantning Med stöd av Gauss approximationsformler fås nu att ( 2 V (p ) = V (g (θ )) V (θ ) g (E (θ ))). Men eftersom vi har oberoende stokastiska variabler, så blir V (θ ) = V ( X ) = 1 n 2 n V (X i ). Enligt formelsamlingen är V (X i ) = 1 p. Detta ger V (θ ) = 1 1 p p 2 n (= 1 p 2 n θ(θ 1)). Eftersom ( 2 g (x) = 1/x 2, blir g (E (θ ))) = 1 = 1 = p 4. (E(θ )) 4 θ 4 SVAR: V (p ) (1 p ) (p ) 2 /n. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
42 Bilaga 1 Stickprovsvariansen s 2 är en väntevärdesriktig skattning av σ 2. Sats (σ 2 ) obs = s2 = 1 n 1 n (x i x) 2. Stickprovsvariansen s 2 är en väntevärdesriktig skattning av σ 2. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
43 Bilaga 1 Stickprovsvariansen s 2 Bevis. Satsen utsäger att om S 2 är den mot s 2 svarande stickprovsvariabeln så är där X = n X i/n. [ E[S 2 ] = E 1 n 1 n (X i X) 2] = σ 2 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
44 Bilaga 1 Stickprovsvariansen s 2 Man finner (t.ex. med (2) och (5) i Bilaga 2 nedan) n (X i X) 2 = n [(X i µ) (X µ)] 2 = n (X i µ) 2 2(X µ) n (X i µ) + n(x µ) 2 = n (X i µ) 2 2n(X µ) 2 + n(x µ) 2 = n (X i µ) 2 n(x µ) 2. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
45 Bilaga 1 Stickprovsvariansen s 2 Härav får man successivt n E[ (X i X) 2] n = E[ (X i µ) 2] ne[(x µ) 2 ] = ne[(x µ) 2 ] ne[(x µ) 2 ] = nv (X) nv (X) = nσ 2 n σ2 n = (n 1)σ2. Genom att dividera med n 1 får vi det vi skulle bevisa. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
46 Bilaga 1 Stickprovsvariansen s 2 Satsen ger en förklaring till varför man dividerar med n 1 vid beräkning av s 2 ; orsaken är att man vill ha en väntevärdesriktig skattning av σ 2. Om n är någorlunda stort, är det rätt likgiltigt om man dividerar med n eller n 1, men det är enklast att alltid använda den senare faktorn. I praktiken önskar man ofta skatta standardavvikelsen σ (alltså inte variansen σ 2 ). Man använder då ofta stickprovets standardavvikelse σobs = s = 1 n 1 n (x i x) 2. Denna skattning är dock inte väntevärdesriktig, men det saknar i praktiken större betydelse, särskilt som det systematiska felet E(S) σ i regel är litet om n är någorlunda stort. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
47 Bilaga 2: räkneoperationer med summor Definition (1) n x i = x 1 + x x n. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
48 Bilaga 2: räkneoperationer med summor Sats (2) n a x i = a n x i. Bevis. Definitionen (1) ger n a x i = ax 1 + ax ax n = a (x 1 + x x n ) = a n x i. Exempel: x i = 1, i = 1...., n n ax i = a n 1 = a ( ) = a n. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
49 Bilaga 2: räkneoperationer med summor Sats (3) n (x i + y i ) = n x i + n y i. Bevis. Definition (1) ger n (x i + y i ) = (x 1 + y 1 ) + (x 2 + y 2 ) (x n + y n ) = x 1 + x x n + y 1 + y y n = n x i + n y i. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
50 Bilaga 2: räkneoperationer med summor Sats (4) n (ax i + by i ) = a n x i + b n y i Bevis. Detta fås av (3) och (2). Sats (5) n (x i + y i ) 2 = n x 2 i + 2 n x i y i + n y 2 i. Bevis. Använd (x i + y i ) 2 = x 2 i + 2x i y i + y 2 i och (4) samt (2) med a = 2. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
51 Bilaga 2 : räkneoperationer med summor Låt x = 1 n n x i. Då gäller Sats (6) n (x i x) = 0. Bevis. : n (x i x) = n x i n x enligt (4). Men här har vi med a = x i (2) att n x = x n 1= x n enligt exemplet i (2). Men x n = n x i och detta ger påståendet i (6). Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
52 Bilaga 2: räkneoperationer med summor Sats (7) n (x i x) (y i y) = n (x i x) y i = n x i (y i y). Bevis. : (x i x) (y i y) = (x i x) y i (x i x) y. Då fås enligt (4) att n (x i x) (y i y) = n (x i x) y i n (x i x) y. Men med a = y i (2) fås att n (x i x) y = y n (x i x) och då ger (6) att n (x i x) (y i y) = n (x i x) y i. Analogt tar vi fram den andra likheten. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
53 Bilaga 2: räkneoperationer med summor Sats (8) n (x i x) (y i y) = n x i y i nxy. Bevis. Utveckla t.ex. n x i (y i y) i högra ledet av (7) och använd (2) och definitionen på x. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
54 Bilaga 2: räkneoperationer med summor Sats (9) n (x i x) 2 = n x 2 i nx 2. Bevis. : Ur (5) fås att n (x i x) 2 = n x2 i 2 n x ix + n x2. Då ger (2) med a = x och exemplet i (2) att n x 2 i 2 n x i x + n x 2 = n x 2 i 2x n x i + nx 2. Definitionen på x ger n x i = nx, så att n x 2 i 2x n x i + nx 2 = n x 2 i 2x nx + nx 2 = n x 2 i nx 2. Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik / 51
SF1901: Medelfel, felfortplantning
SF1901: Medelfel, felfortplantning Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2011 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 15.09.2011 1 / 14 Felfortplantning Felfortplantning kallas propagation of error
Läs merSF1901 Föreläsning 14: Felfortplantning, medelfel, Gauss approximation, bootstrap
SF1901 Föreläsning 14: Felfortplantning, medelfel, Gauss approximation, bootstrap Jan Grandell, Gunnar Englund & Timo Koski 03.03.2016 Jan Grandell, Gunnar Englund & Timo Koski Matematisk statistik 03.03.2016
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: statistiska inferensproblem, maximum likelihood, minsta kvadrat
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 7. Statistik: statistiska inferensproblem, maximum likelihood, minsta kvadrat Jan Grandell & Timo Koski 22.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merUppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merFöreläsning 12: Linjär regression
Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera
Läs merFACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski
FACIT för Förberedelseuppgifter: SF9 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 206 KL 4.00 9.00. Examinator: Timo Koski - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0. FACIT Problem
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: statistiska inferensproblem, maximum likelihood, minsta kvadrat
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 8. Statistik: statistiska inferensproblem, maximum likelihood, minsta kvadrat Jan Grandell & Timo Koski 10.02.2011 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 I Punktskattningar I Egenskaper I Väntevärdesriktig I E ektiv I Konsistent
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merf(x) = 2 x2, 1 < x < 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90,SF907,SF908,SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK TORSDAGEN DEN 7:E JUNI 0 KL 4.00 9.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 7 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och
Läs merb) Beräkna sannolikheten att en mottagen nolla har sänts som en nolla. (7 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 OCH SF905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, FREDAGEN DEN 4:E MARS 204 KL 4.00 9.00. Kursledare: För D och Media: Gunnar Englund, 073 32 37 45 Kursledare: För F:
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 11 Johan Lindström 13 november 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F11 1/25 Repetition Stickprov & Skattning Maximum likelihood
Läs merWeibullanalys. Maximum-likelihoodskattning
1 Weibullanalys Jan Enger Matematisk statistik KTH Weibull-fördelningen är en mycket viktig fördelning inom tillförlitlighetsanalysen. Den används ofta för att modellera mekaniska komponenters livslängder.
Läs merPROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTeoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005
Teoretisk statistik Gunnar Englund Matematisk statistik KTH Vt 2005 Inledning Vi skall kortfattat behandla aspekter av teoretisk statistik där framför allt begreppet uttömmande (ibland kallad tillräcklig
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merFöreläsning 7. Statistikens grunder.
Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Normalfördelning, Centrala gränsvärdessatsen, Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 06.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merTAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära
TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen TAMS65 - Mål Kursens övergripande mål är att ge
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25.02.2016 1 / 46 INNEHÅLL Hypotesprövning
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar Anna Lindgren 25 november 2015 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/17 Matematisk statistik slumpens matematik
Läs mer9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x
Läs merKapitel 9 Egenskaper hos punktskattare
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare 1 Egenskaper hos punktskattare En skattare är en funktion av stickprovet och således en slumpvariabel. En bedömning av kvaliteten
Läs merFöreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall
Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F9: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett stickprov, x 1, x 2,...,
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merFöreläsning 8: Konfidensintervall
Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merMatematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall
Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF194 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAG 1 AUGUSTI 019 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFöreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar
Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 06 FACIT: Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 07-0-04 kl..0-.0 Examinator
Läs merFöreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall Stas Volkov 2017-11-7 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F11: Konfidensintervall
Läs merDel I. Uppgift 1 Låt X och Y vara stokastiska variabler med följande simultana sannolikhetsfunktion: p X,Y ( 2, 1) = 1
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1920/SF1921 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAG 11 MARS 2019 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 31.01.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 31.01.2012 1 / 30 Flerdimensionella
Läs merFöreläsning 6, Matematisk statistik Π + E
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora
Läs merESS011: Matematisk statistik och signalbehandling Tid: 14:00-18:00, Datum:
ESS0: Matematisk statistik och signalbehandling Tid: 4:00-8:00, Datum: 20-0-2 Examinatorer: José Sánchez och Bill Karlström Jour: Bill Karlström, tel. 070 624 44 88. José Sánchez, tel. 03 772 53 77. Hjälpmedel:
Läs merThomas Önskog 28/
Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta
Läs merJesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014
Föreläsning 1. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Varför tillämpad statistik? Användningsområden i medicin, naturvetenskap
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 augusti 2008 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merHärledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: statistiska inferensproblem, maximum likelihood, minsta kvadrat. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: statistiska inferensproblem, maximum likelihood, minsta kvadrat Jan Grandell & Timo Koski 15.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk
Läs merUppgift 1 P (A B) + P (B A) = 2 3. b) X är en diskret stokastisk variabel, som har de positiva hela talen som värden. Vi har. k s
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, FREDAGEN DEN 8:E MARS 06 KL 08.00 3.00. Kursledare: Timo Koski, tel 070 370047 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFöreläsning 11, Matematisk statistik Π + E
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Johan Lindström 27 Januari, 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS012 F11 1/19 Repetition
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer Anna Lindgren 27+28 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 1/21 sum/max/min V.v./var Summa av
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer
Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F5: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z
Läs merb) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF190 (f d 5B2501 ) SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR - ÅRIG MEDIA MÅNDAGEN DEN 1 AUGUSTI 2012 KL 08.00 1.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 21 7 45 Tillåtna
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 5 Johan Lindström 12 september 216 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 F5 1/23 Repetition Gauss approximation Delta metoden
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merF8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17
1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 TILLÄMPAD STATISTIK, ONSDAGEN DEN 7:E APRIL 09 KL 8.00 3.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 8649 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 14
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-05-31 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merAMatematiska institutionen avd matematisk statistik
Kungl Tekniska Högskolan AMatematiska institutionen avd matematisk statistik TENTAMEN I 5B1503 STATISTIK MED FÖRSÖKSPLANERING FÖR B OCH K FREDAGEN DEN 11 JANUARI 2002 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-10-12 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merFöreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2
Föreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2 Kasper K. S. Andersen 4 oktober 208 Jämförelse av två väntevärden Ofte vil man jämföra två eller fler) produkter, behandlingar, processer etc. med varandra.
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Johan Lindström Repetition Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 1/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Grundläggande begrepp (Kap.
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90/SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAG 5 JUNI 09 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merBestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merTentamen MVE302 Sannolikhet och statistik
Tentamen MVE32 Sannolikhet och statistik 219-6-5 kl. 8:3-12:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Oskar Allerbo, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs mera) Beräkna sannolikheten att en följd avkodas fel, det vill säga en ursprungliga 1:a tolkas som en 0:a eller omvänt, i fallet N = 3.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 14:E MARS 017 KL 08.00 13.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs mer1. För tiden mellan två besök gäller. V(X i ) = 1 λ 2 = 25. X i Exp (λ) E(X i ) = 1 λ = 5s λ = 1 5
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tentamen: 29 7 kl 8 3 Matematikcentrum FMSF45 Matematisk statistik AK för D,I,Pi,F, 9 h Lunds universitet MASB3 Matematisk statistik AK för fysiker, 9 h. För tiden mellan
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE31 Sannolikhet, statistik och risk 218-1-12 kl. 8:3-13:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merF13 Regression och problemlösning
1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell
Läs merTMS136. Föreläsning 10
TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis
Läs merPunktskattning 1 Ett exempel
Matematisk statistik för STS vt 004 004-05 - 04 Bengt Rosén Punktskattning Ett exempel Vid utveckling av nannoelektronik vill man väga en mycket liten "pryl", med vikt någonstans mellan 00 och 50 mg. "Prylen"
Läs merFöreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer
Föreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer Stas Volkov 2017-09-26 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z = X + Y p Z (k)
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler
Läs merTenta i Statistisk analys, 15 december 2004
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs mer