TAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "TAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65"

Transkript

1 Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull

2 Innehåll 4.1 Multipel regression Sannolikhetslära Några diskreta fördelningar Några kontinuerliga fördelningar Kovarians och Korrelation Enkel linjär regression χ 2 -test Fackindelning med k fack Homogenitetstest Linjärkombinationer av slumpvariabler Genererande funktioner Centrala gränsvärdessatsen Approximationer mellan olika fördelningar Samband mellan betingade och obetingade väntevärden och varianser Stokastisk vektor Statistisk teori Ett stickprov Två stickprov Tabelle9 6.1 Normalfördelning t-fördelning χ 2 -fördelning F-fördelning Studentized Range Statistic Tukey Binomialfördelning Poissonfördelning Tukey s metod för parvisa jämförelser Variansanalys Enfaktorförsök Fix Enfaktorförsök Varianskomponentmodell Randomiserad Block Design Tvåfaktorförsök Romersk kvadrat Linjär regression 15

3 1 Sannolikhetslära 1.2 Några kontinuerliga fördelningar 1.1 Några diskreta fördelningar Binomialfördelning X Bin(n, p) ( ) n p X (k) = p k (1 p) n k, k k = 0, 1,..., n E[X] = np, var(x) = np(1 p), G X (s) = (1 + p(s 1)) n Poissonfördelning Hypergeometriskfördelning X P o(µ) p X (k) = µk k! e µ, k = 0, 1, 2,... E[X] = µ, var(x) = µ, G X (s) = e (s 1)µ X Hyp(N, n, p) ( ) ( ) Np N(1 p) k n k p X (k) = ( ), k = 0, 1,..., n N E[X] = np, Geometrisk fördelning n var(x) = N n np(1 p) N 1 X Ge(p) p X (k) = (1 p) k p, k = 0, 1, 2,... E[X] = 1 p p, var(x) = 1 p p, G p 2 X (s) = 1 (1 p)s För första-gången-fördelning X F fg(p) p X (k) = (1 p) k 1 p, k = 1, 2, 3... E[X] = 1 p, var(x) = 1 p sp, G p 2 X (s) = 1 (1 p)s Negativ Binomialfördelning E[X] = ( k + r 1 p X (k) = r 1 r(1 p), var(x) = p X NB(r, p) ) p r (1 p) k r k = 0, 1, 2,... ( r(1 p), G X (s) = p p 1 (1 p)s ) r Likformig (rektangulär) fördelning på intervallet (a,b) E[X] = a + b 2 Exponentialfördelning X U(a, b) f X (x) = 1 b a, a x b (b a)2, var(x) =, M X (p) = epb e pa 12 p(b a) X Exp(λ), där λ betecknar intensiteten. Ibland används väntevärdet µ = 1 som parameter. λ Normalfördelning χ 2 -fördelning f X (x) = λe λx, x 0 E[X] = 1 λ, var(x) = 1 λ 2, M X(p) = λ λ p, λ > p. f X (x) = 1 exp { 2πσ X N(µ, σ) (x µ)2 2σ 2 E[X] = µ, var(x) = σ 2, M X (p) = exp Y χ 2 (n) }, < x < + } {pµ + p2 2 σ2 Uppkomst: Om X 1,..., X n är oberoende, var och en N(0, 1), gäller att Y = X X 2 n får en χ 2 fördelning med n frihetsgrader. där Γ( ) är gammafunktionen f Y (x) = x(n/2) 1 e x/2 2 (n/2) Γ(n/2), x 0, Γ(c) = 0 x c 1 e x dx, där c > 0. E[Y ] = n, var(y ) = 2n, M Y (p) = 1 (1 p) n/2, p < 1

4 t-fördelning Z t(n) Uppkomst: Om X N(0, 1) och Y χ 2 (n) samt X och Y är oberoende, så gäller att Z = X får en t-fördelning med n frihetsgrader. Y/n F - fördelning Γ ( ) n+1 2 f Z (x) = ( nπγ n ) ( ) x 2 (n+1)/2, < x < + n 1.4 Linjärkombinationer av slumpvariabler 1. Generellt gäller att E[a 1 X a n X n + b] = a 1 E[X 1 ] a n E[X n ] + b. 2. För oberoende slumpvariabler X 1,..., X n gäller att var(a 1 X a n X n + b) = a 2 1 var(x 1 ) a 2 n var(x n ). 3. Generellt gäller att Y F (n 1, n 2 ) Uppkomst: Om X 1 χ 2 (n 1 ) och X 2 χ 2 (n 2 ) samt X 1 och X 2 är oberoende, så gäller att Y = X 1/n 1 X 2 /n 2 får en F -fördelning med n 1 och n 2 frihetsgrader. Gammafördelning Γ ( n 1+n 2 ) ( ) n1/2 n 1 2 n 2 x (n 1/2) 1 f Y (x) = Γ ( ) ( n 1 2 Γ n2 ) ( ), x 0 (n1+n2)/2 n 1 2 n 2 x + 1 Y Γ(α, λ) Uppkomst: Om X 1,..., X n är oberoende, var och en Exp(λ), så blir Y = X X n gammafördelad med parametrarna n och λ. Weibullfördelning f Y (x) = λ(λx)α 1 e λx, x 0 Γ(α) f X (x) = c ( x ) c 1 e (x/a) c, x 0 a a ( ) ( ) ( ( )) ) 2 c + 1 c + 2 c + 1 E[X] = aγ, var(x) = a (Γ 2 Γ c c c var(a 1 X a n X n + b) = 1.5 Genererande funktioner n a 2 j var(x j ) + 2 j=1 1 j<k n a j a k cov(x j, X k ). En diskret icke-negativ, heltalsvärd slumpvariabel X har sannolikhetsgenererande funktion G X (s) = E[s X ] = s k p X (k). En kontinuerlig slumpvariabel X har momentgenererande funktion M X (p) = E[e px ] = k=0 e px f X (x)dx. Om (X j ) j=1 är oberoende och likafördelade diskreta icke-negativa heltalsvärda slumpvariabler, samma fördelning som X, och Z är en diskret icke negativ, heltalsvärd slumpvariabel, och Y = X X Z, gäller: G Y (s) = G Z (G X (s)). Om (X j ) j=1 är oberoende likafördelade slumpvariabler, samma fördelning som X och Z är en diskret icke negativ, heltalsvärd slumpvariabel, och Y = X X Z, gäller: M Y (s) = G Z (M X (s)). 1.3 Kovarians och Korrelation Kovarians: cov(x, Y ) = E[(X µ X )(Y µ Y )], där µ X = E[X] och µ Y = E[Y ] Korrelation: ρ(x, Y ) = cov(x, Y ) σ X σ Y, där σ 2 X = var(x) och σ2 Y = var(y ) 1.6 Centrala gränsvärdessatsen Låt X 1,..., X n vara oberoende och likafördelade slumpvariabler, var och en med väntevärde E[X] = µ och varians var(x) = σ 2. Låt X n = 1 n (X X n ). Då gäller, approximativt, för stora n att

5 X n µ σ/ n ( X n N µ, N(0, 1), σ ), n n j=1 X j N(nµ, nσ). Normalfördelning En stokastiskvektor X = (X 1,..., X n ) som har täthetsfunktionen f X (x) = { 1 exp 1 } (2π) n/2 Σ 1/2 2 (x µ) Σ 1 (x µ), 1.7 Approximationer mellan olika fördelningar X Hyp(N, n, p) och n 1 X Bin(n, p) N 10 X Hyp(N, n, p) och (np, N nnp(1 p) 10 X N N n ), np(1 p) N 1 N 1 där x = (x 1,..., x n ), sägs vara en normalfördelad stokastiskvektor och betecknas X N n (µ, Σ) med väntevärdesvektor µ och kovariansmatris Σ. En normalfördelad stokastiskvektor har en momentgenererandefunktion som ges av { M X (p) = exp p µ + 1 } 2 p Σp. X Bin(n, p) och n 10, p 0.1 X P o(np) X Bin(n, p) och np(1 p) 10 X N(np, np(1 p)), X P o(µ) och µ 15 X N(µ, µ). 1.8 Samband mellan betingade och obetingade väntevärden och varianser E[X] = E Y [E[X Y ]], var(x) = E Y [var(x Y )] + var Y (E[X Y ]). 1.9 Stokastisk vektor 2 Statistisk teori 2.1 Ett stickprov Låt (X 1,..., X n ) vara ett slumpmässigt stickprov, X j har samma fördelning som X, med väntevärde E[X] = µ och varians var(x) = σ 2 för j = 1,..., n. Stickprovsmedelvärdet X := 1 n n j=1 X j skattar väntevärdet µ. Stickprovsvariansen S 2 := 1 n j=1 n 1 (X j X n ) 2 skattar variansen σ 2 om µ är okänt, i annat fall används σ 2 = 1 n n j=1 (X j µ) 2 som skattning av variansen σ 2. Låt µ X och Σ X var väntevärdesvektorn och kovariansmatrisen för en stokastisk vektor X. Då gäller följande räknelagar: Y = AX + b ger µ Y = Aµ X + b och Σ Y = AΣ X A. ( n ) Specialfall: var j=1 a jx j = var (a X) = a Σ X a. Prediktering: E[(Y a bx) 2 ] har minimum lika med var(y )(1 ρ 2 ) för Om X N(µ, σ), gäller följande: X µ σ/ N(0, 1), n (n 1)S 2 n j=1 = (X j X n ) 2 χ 2 (n 1), σ 2 σ 2 b = cov(x, Y ) var(x), a = E[Y ] b E[X]. 3. X µ S/ t(n 1). n

6 2.2 Två stickprov 3 Variansanalys Låt (X 1,..., X m ) vara ett slumpmässigt stickprov från X N(µ 1, σ 1 ) och (Y 1,..., Y n ) ett slumpmässigt stickprov från Y N(µ 2, σ 2 ). De båda stickproven antas vara oberoende. Låt S 2 1 och S 2 2 vara respektive stickprovsvarianser. Följande gäller, 3.1 Enfaktorförsök Fix 1. S1/σ F (m 1, n 1), S2/σ om σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2, så används den sammanvägda σ 2 - skattningen Låt y ij vara observationer från Y ij = µ i + ε ij, där ε ij N(0, σ) oberoende, i = 1,..., a och j = 1,..., n i. Låt N = i n i. Då gäller kvadratsummeuppdelningen SS T OT = SS T REAT + SS E, SS T OT = ij (y ij ȳ.. ) 2, df = N 1, Det gäller att: och S 2 = (m 1)S2 1 + (n 1)S 2 2 (m 1) + (n 1) (m + n 2)S 2 m j=1 = (X j X) 2 + n j=1 (Y j Ȳ )2. m + n 2 σ 2 χ 2 (m + n 2) ( X Ȳ ) (µ 1 µ 2 ) t(m + n 2). S 1 m + 1 n SS T REAT = n i (ȳ i. ȳ.. ) 2, df = a 1, i E(SS T REAT ) = (a 1)σ 2 + i SS E = ij n i τ 2 i, (y ij ȳ i. ) 2, df = N a, E(SS E ) = (N a)σ Enfaktorförsök Varianskomponentmodell 2.3 Tukey s metod för parvisa jämförelser Låt y ij vara observationer från Y ij = µ + τ i + ε ij där τ i N(0, σ τ ) och ε ij N(0, σ) oberoende, i = 1,..., a och j = 1,..., n. Då gäller att Antag modellen Y ij = µ i + ε ij, där ε ij N(0, σ) oberoende, i = 1,..., a och j = 1,..., n. Då ges de ( a 2) konfidensintervallen för µi µ k av ȳ i. ȳ k. q α (a, f) s n, där s 2 är en skattning av σ 2 med f frihetsgrader. Intervallen har den simultana konfidensgraden exakt 1 α SS T OT = SS T REAT + SS E, SS T REAT = n(y i. y.. ) 2, df = a 1, i E(SS T REAT ) = (a 1)(nστ 2 + σ 2 ), SS E = (y ij y i. ) 2, df = a(n 1), ij E(SS E ) = a(n 1)σ 2.

7 3.3 Randomiserad Block Design 3.5 Romersk kvadrat Låt y ij vara observationer från Y ij = µ + τ i + β j + ε ij, där ε ij N(0, σ) oberoende, i = 1,..., a och j = 1,..., b. Då gäller att Givet en Romersk kvadrat p p med observationer y ij ges kvadratsummeuppdelningen av SS T OT = ij (y ij ȳ.. ) 2, df = p 2 1, SS T OT = SS A + SS B + SS E, SS T OT = ij (y ij ȳ.. ) 2, df = ab 1, SS A = p i SS B = p i (ȳ i. ȳ.. ) 2, df = p 1, (ȳ.j ȳ.. ) 2, df = p 1, (ȳ i. ȳ.. ) 2, df = a 1, SS C = p k (ȳ k ȳ.. ) 2, df = p 1, SS A = b i SS B = a j (ȳ.j ȳ.. ) 2, df = b 1, SS E = ij (y ij ȳ i. ȳ.j ȳ k + 2ȳ.. ) 2, df = (p 1)(p 2). SS E = ij 3.4 Tvåfaktorförsök (y ij ȳ i. ȳ.j + ȳ.. ) 2, df = (a 1)(b 1). 4 Linjär regression 4.1 Multipel regression Modell Låt Y = (Y 1,..., Y n ) vara en normalfördelad stokastisk vektor med väntevärde Xβ och kovariansmatris σ 2 I, där X : n (k + 1) är en designmatris och β = (β 0,..., β k ) och σ 2 är okända parametrar. Modellen ges av Låt y ijk vara observationer från Y ijk = µ + τ i + β j + (τβ) ij + ε ijk, där ε ijk N(0, σ) oberoende, i = 1,..., a, j = 1,..., b, k = 1,..., n och N = abn. Då gäller att där ε N n (0, σ 2 I). Y = Xβ + ε, SS T OT = SS A + SS B + SS AB + SS E, SS T OT = (y ijk ȳ... ) 2, ijk df = N 1, SS A = b n(ȳ i.. ȳ... ) 2, i df = a 1, Skattningar De okända parametrarna β och σ 2 skattas med ˆβ = (X X) 1 X Y N k+1 (β, σ 2 (X X) 1 ), ˆσ 2 = s 2 = SS E n (k + 1), SS B = a j n(ȳ.j. ȳ... ) 2, df = b 1, där SS E är residualkvadratsumman SS E = n j=1 (y j ˆµ j ) 2 med n (k + 1) frihetsgrader. Det skattade regressionsuttrycket ges av SS AB = ij (ȳ ij. ȳ i.. ȳ.j. + ȳ... ) 2, df = (a 1)(b 1), ˆµ j = ŷ(x j1,..., x jk ) = ˆβ 0 + ˆβ 1 x j ˆβ k x jk. SS E = ijk (y ijk ȳ ij. ) 2, df = ab(n 1).

8 Konfidensintervall och prediktering Låt Y 0 = u β + ε 0, där u = (1 u 1... u k ) och ε 0 N(0, σ). Väntevärdet µ 0 = u β skattas med ˆµ 0 = u β ( N u β, σ ) u (X X) 1 u och predikteringsfelet ges av Y 0 ˆµ 0 = Y 0 u β ( N 0, σ ) 1 + u (X X) 1 u. Kvadratsummeuppdelning Låt ȳ = 1 n n j=1 y j. Det gäller att SS T OT = n (y j ȳ) 2, df = n 1, j=1 SS T OT = SS R + SS E, n SS R = (ŷ j ȳ) 2, df = k, SS E = j=1 n (y j ŷ j ) 2, df = n (k + 1). j=1 F -test av alla förklaringsvariabler H 0 : β 1 = = β k = 0 (alla förklaringsvariablerna är meningslösa) mot H 1 : minst ett β i 0 (minst en förklaringsvariabel gör nytta.) SS R /k Teststorhet: V = SS E /(n (k + 1)) F (k, n (k + 1)) om H 0 är sann. F -test för tillägg av p förklarande variabler Modell 1: Y = β 0 + β 1 x β k x k + ε Modell 2: Y = β 0 + β 1 x β k+p x k+p + ε H 0 : β k+1 =... = β k+p = 0 (nya förklaringsvariablerna meningslösa) mot H 1 : minst en av β k+1,..., β k+p är 0. (SS (1) E Teststorhet: W = SS(2) E )/p SS (2) E /(n (k + p + 1)) F (p, n (k + p + 1)) under H 0, där SS (i) E är residualkvadratsumman för modell i = 1, Enkel linjär regression Modell Vid enkel linjär regression ges modellen av Y i = β 0 + β 1 x i + ε i, där ε i N(0, σ) i = 1,..., n och oberoende. Skattningar ( ) ˆβ 1 = i(x i x)y i i (x i x) N 1 β 2 1, σ i (x, i x) 2 ( ) ˆβ 0 = Y ˆβ 1 1 x N β 0, σ n + x 2 j (x, j x) 2 σ 2 = S 2 = 1 (Y j n 2 ˆβ 0 ˆβ 1 x j ) 2, j (n 2)S 2 (Yj = ˆβ 0 ˆβ 1 x j ) 2 χ 2 (n 2). σ 2 σ 2 De stokastiska variablerna Y, ˆβ 1 och S 2 är oberoende. Kvadratsummeuppdelning (y j y) 2 = ˆβ 1 2 (x j x) 2 + (y j ˆβ 0 ˆβ 1 x j ) 2 j j Konfidensintervall Konfidensintervall för µ 0 = β 0 + β 1 x 0 ges av ˆβ 0 + ˆβ 1 1 x 0 t s n + (x 0 x) 2 j (x j x). 2 Prediktering Prognosintervall (prediktionsintervall) för Y 0 = β 0 + β 1 x 0 + ɛ ges av ˆβ 0 + ˆβ 1 x 0 t s j n + (x 0 x) 2 j (x j x) 2.

9 5 χ 2 -test 6 Tabeller 5.1 Fackindelning med k fack 6.1 Normalfördelning 1. H 0 : Fördelningsfunktioner är F 0 (x) (inga okänd parametrar). Låt p i = F 0 (a i ) F 0 (a i 1 ) och N i antalet x i i intervallet (a i 1, a i ]. Teststorhet: T = k (N i np i ) 2 i=1 χ 2 (k 1)-fördelad under H 0. np i 2. H 0 : Given parametrisk fördelningsklass med fördelningsfunktion F (x). Teststorheten: T = k (N i np i ) 2 i=1, np i där p i beräknas som i 1. sedan parametrarna i F (x) har skattats. T är approximativt χ 2 (k 1 r)-fördelad under H 0 där r = antalet skattade parametrar i F (x). För både 1. och 2. krävs att alla np i Homogenitetstest Datamaterial 1 N 11 N N 1k n 1 observationer 2 N 21 N N 2k n 2 observationer där n = r i=1 n i, N j = r i=1 N ij, ˆp j = Nj n r N r1 N r2... N rk n r observationer Summa N 1 N 2... N k n H 0 : Datamaterialen är homogena, d.v.s., de kan anses komma från samma fördelning. Tabell för Φ(x) = P (X x), där X N(0, 1). För x < 0, använd att Φ(x) = 1 Φ( x). x Teststorhet: T = r k (N ij n iˆp j ) 2 i=1 j=1 χ 2 ((r 1)(k 1))-fördelad under H 0. n iˆp j Det krävs att alla n iˆp j

10 6.2 t-fördelning 6.3 χ 2 -fördelning Tabell för F (x) = P (X x), där X t(f). För F (x) < 0.5, använd att F (x) = 1 F ( x). Tabell för F (x) = P (X x), där X χ 2 (f). F (x) f F (x) f

11 Tabell för F (x) = P (X x), där X χ 2 (f). 6.4 F-fördelning F (x) f Tabell för F (x) = P (X x), där X F (, r 2 ). För F (x) < 0.5 utnyttjar man att 1 X F (r 2, ). F (x) = 0.90 r r

12 Tabell för F (x) = P (X x), där X F (, r 2 ). F (x) = 0.95 Tabell för F (x) = P (X x), där X F (, r 2 ). F (x) = r r r r

13 Tabell för F (x) = P (X x), där X F (, r 2 ). F (x) = 0.99 Tabell för F (x) = P (X x), där X F (, r 2 ). F (x) = r r r r

14 Tabell för F (x) = P (X x), där X F (, r 2 ). F (x) = Studentized Range Statistic Tukey Tabell för q(a, f), där a är antalet parametrar och f är frihetsgraderna för s 2. r r q 0.10 (a, f) a f f

15 q 0.05 (a, f) q 0.01 (a, f) a f f a f f

16 6.6 Binomialfördelning Tabell för P (X k) där X Bin(n, p). Tabell för P (X k) där X Bin(n, p). För p > 0.5, använd att P (X k) = P (Y n k) där Y Bin(n, 1 p). p n k p n k

TAMS79 / TAMS65 - vt TAMS79 / TAMS65 - vt Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. TAMS79 / TAMS65 - vt 2013.

TAMS79 / TAMS65 - vt TAMS79 / TAMS65 - vt Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. TAMS79 / TAMS65 - vt 2013. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik c Martin Singull 2 Innehåll 3.3 Tukey s metod för parvisa jämförelser.................... 14 1 Sannolikhetslära 5 1.1 Några diskreta fördelningar.........................

Läs mer

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data

FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:

Läs mer

Kurssammanfattning MVE055

Kurssammanfattning MVE055 Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

Formler och tabeller till kursen MSG830

Formler och tabeller till kursen MSG830 Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)

Läs mer

TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Tuesday 10th April 2011,

TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Tuesday 10th April 2011, Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Tuesday 10th April 2011, 1400-1800 The examination consists of

Läs mer

Enkel och multipel linjär regression

Enkel och multipel linjär regression TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 7: Punktskattningar Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två

Läs mer

Exempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor

Exempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor Kontinuerliga stokastiska variabler Exempel En stokastisk variabel är kontinuerlig om den kan anta vilka värden som helst i ett intervall, men sannolikheten för varje enskilt utfall är noll: P(X = x) =.

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära

TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen TAMS65 - Mål Kursens övergripande mål är att ge

Läs mer

Våra vanligaste fördelningar

Våra vanligaste fördelningar Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver

Läs mer

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 7: Punktskattningar Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska

Läs mer

TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Saturday 18th August,

TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Saturday 18th August, Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Saturday 18th August, 1400-1800 The examination consists of 7 questions,

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning

Läs mer

Mer om konfidensintervall + repetition

Mer om konfidensintervall + repetition 1/14 Mer om konfidensintervall + repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/2 2011 2/14 Dagens föreläsning Skattningar som slumpvariabler Väntevärde Varians

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE31 Sannolikhet, statistik och risk 218-5-31 kl. 8:3-13:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Johan Lindström Repetition Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 1/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Grundläggande begrepp (Kap.

Läs mer

Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 25 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 1/16 Repetition Summor max/min

Läs mer

Föreläsning 15: Försöksplanering och repetition

Föreläsning 15: Försöksplanering och repetition Föreläsning 15: Försöksplanering och repetition Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 19, 2015 Utfall och utfallsrum Slumpmässigt försök Man brukar säga att ett slumpmässigt försök

Läs mer

Demonstration av laboration 2, SF1901

Demonstration av laboration 2, SF1901 KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion

Läs mer

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.) Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika

Läs mer

FÖRELÄSNING 7:

FÖRELÄSNING 7: FÖRELÄSNING 7: 2016-05-10 LÄRANDEMÅL Normalfördelningen Standardnormalfördelning Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Konfidensnivå Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är känd Samla

Läs mer

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &

Läs mer

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska

Läs mer

Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015

Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Johan Jonasson Februari 2016 Följande begrepp och metoder ska behärskas väl, kunna förklaras och tillämpas. Direkta bevis av satser från kursen kommer inte på

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.

0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.

Läs mer

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden Anna Lindgren 20+21 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådim. stokastisk

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning

Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 I Punktskattningar I Egenskaper I Väntevärdesriktig I E ektiv I Konsistent

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1922/SF1923/SF1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 28 MAJ 2019 KL 8.00 13.00. Examinator för SF1922/SF1923: Tatjana Pavlekno, 08-790 86 44. Examinator för

Läs mer

Föreläsning 7: Stokastiska vektorer

Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Johan Thim johanthim@liuse oktober 8 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX = µ X, V X = σx, EY = µ Y samt V Y = σy Kovariansen CX, Y definieras

Läs mer

F13 Regression och problemlösning

F13 Regression och problemlösning 1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell

Läs mer

Bestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)

Bestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2017-06-01 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012

Läs mer

TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Tuesday 13th December 2011,

TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Tuesday 13th December 2011, Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble TAMS5/TEN Mathematical Statistics I, ground course Tuesday th December 0, 400-800 The examination consists of 7 questions,

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2017-08-15 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Lärare: Mikael Elenius, 2006-08-25, kl:9-14 Betygsgränser: 65 poäng Väl Godkänt, 50 poäng

Läs mer

Två parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge

Två parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 28-9-3 Normalfördelningen, X N(µ, σ) f(x) = e (x µ)2 2σ 2, < x < 2π σ.4 N(2,).35.3.25.2.5..5

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 TILLÄMPAD STATISTIK, ONSDAGEN DEN 7:E APRIL 09 KL 8.00 3.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 8649 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk

Läs mer

Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel

Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Stas Volkov 2017-09-05 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp och beteckningar Utfall resultatet

Läs mer

TMS136. Föreläsning 4

TMS136. Föreläsning 4 TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,

Läs mer

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Normalfördelning, Centrala gränsvärdessatsen, Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 06.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE31 Sannolikhet, statistik och risk 218-1-12 kl. 8:3-13:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 8 Test av fördelning χ 2 -test

TAMS65 - Föreläsning 8 Test av fördelning χ 2 -test TAMS65 - Föreläsning 8 Test av fördelning χ 2 -test Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö8

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE30 Sannolikhet, statistik och risk 207-08-5 kl. 8:30-3:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 03-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE30 Sannolikhet, statistik och risk 207-06-0 kl. 8:30-3:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 03-7725348 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016

Läs mer

REGRESSIONSANALYS. Martin Singull

REGRESSIONSANALYS. Martin Singull REGRESSIONSANALYS Martin Singull 16 april 2018 Innehåll 1 Beroendemått och stokastiska vektorer 4 1.1 Beroendemått........................................... 4 1.2 Stokastiska vektorer.......................................

Läs mer

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 7: Punktskattningar Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-10-12 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik

Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik Tentamen MVE32 Sannolikhet och statistik 219-6-5 kl. 8:3-12:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Oskar Allerbo, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.

Läs mer

F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall

F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall 1/13 F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 22/2 2013 2/13 Dagens föreläsning Problemlösning Skattningar Konfidensintervall

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer

Läs mer

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning

TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö12 1/37 Det

Läs mer

Föreläsning 12: Linjär regression

Föreläsning 12: Linjär regression Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:... Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för

Läs mer

Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik

Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik 2019-06-05 kl. 8:30-12:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Oskar Allerbo, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.

Läs mer

Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 2: Statistik 7.5 hp

Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 2: Statistik 7.5 hp Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 2: Statistik 7.5 hp 15 januari, 2014 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Typgodkänd miniräknare

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90/SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAG 5 JUNI 09 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler. SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 31.01.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 31.01.2012 1 / 30 Flerdimensionella

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 augusti 218, klockan 8.-12. Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 Gripenberg I1. Vi antar att antalet telefonsamtal som kommer till ett servicenummer under en tidsperiod med längden

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 14

MVE051/MSG Föreläsning 14 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska

Läs mer

Lufttorkat trä Ugnstorkat trä

Lufttorkat trä Ugnstorkat trä Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 och SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 18:E OKTOBER 2012 KL 14.00 19.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer Anna Lindgren 27+28 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 1/21 sum/max/min V.v./var Summa av

Läs mer

Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer

Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F5: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z

Läs mer

Formelsamling i matematisk statistik

Formelsamling i matematisk statistik Formelamling i matematik tatitik Sannolikhetteori Sannolikhetaxiom : 0 P (A) :P () = 3: P (A [ B) = P (A) + P (B) om A \ B =? Additionaten Betingad annolikhet P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B) P (AjB)

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-05-31 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

Föreläsning 3: Konfidensintervall

Föreläsning 3: Konfidensintervall Föreläsning 3: Konfidensintervall Johan Thim (johan.thim@liu.se) 5 september 8 [we are] Eplorers in the further regions of eperience. Demons to some. Angels to others. Pinhead Intervallskattningar Vi har

Läs mer

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora

Läs mer