Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet"

Mikael Sandberg
för 7 år sedan
Visningar:

1 Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet

2 Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden ökar med 1000 invånare så ökar medelpriset per kvadrat med i genomsnitt 83 öre per kvadratmeter, givet att alla andra variabler hålls oförändrade. B) (8p) Mål: Undersöka om det finns ett samband mellan befolkningsstorlek i den lokala arbetsmarknaden och medelpris per kvadratmeter. Modell: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + β 4 x 4 + ε där x 1 -x 4 är specificerade i Bilaga 2. Parameter: β 3 Estimator: ˆβ 3 Hypoteser: H 0 : β 3 = 0 vs H 1 : β 3 0 Förutsättningar: Stickprovsstorleke n = 290. Regressionen med k = 4 oberoende variabler. Antagande som är uppfyllda enligt uppgiften: (i) linjär modell (ii) oberoende observationer (iii) E(ε x) = 0 för alla x (iv) feltermen har konstant varians samt (v) normalfördelad felterm. Testfunktion: t = ˆβ 3 0 ˆV ( ˆβ, vilken är t-fördelad med n (k + 1) 3 ) frihetsgrader om H 0 är sann. Beslutsregel: Vi testar på signifikansnivån α = 0.05 och har en tvåsidig mothypotes. Förkasta om t obs > t krit = t 285, Beräkningar: Insättning av värden från Bilaga 2 ger t obs = = 2.13 Beslut: Eftersom t obs = 2.13 > 1.96 förkastas H 0 : β 3 = 0. Svar: Testresultatet tyder, på 5% signifikansnivå, på att givet att alla andra variabler är oförändrade så finns det ett samband mellan befolkning i lokalarbetsmarknad och bostadspris. C) Normalitetsantagandet för feltermen är den minst restriktiva förutsättningen och behövs enbart för test och konfidensintervall. Dessutom är stickprovet ganska stort, n = 290, relativt antalet variabler k = 4. Såvida inte feltermen har en väldigt skev fördelning kan vi i det här fallet hänvisa till CGS som säger att ˆβ 3 är approximativt normalfördelad. D) (2p) Förklaringsgraden är 84,8%. E) (4p) Aggregerade data innebär i regel att spridningen i x och y minskar, vilket innebär att korrelation på gruppnivå kan bli mycket starkare än korrelation på individnivå. Konsekvensen blir i ett sådant fall en hög förklaringsgrad. 2

3 Uppgift 2 (16 poäng) 3

4 Uppgift 3 (20 poäng) A) (6p) B) (10p) Mål: Undersöka om det finns en korrelation mellan SBP och DBP. Parameter: ρ xy Estimator: r xy Hypoteser: H 0 : ρ xy = 0 vs H 1 : ρ xy 0 Förutsättningar: Slumpmässigt urval från en bivariat normalfördelning. n 2 Testfunktion: t = r xy 1 rxy 2, vilken är t-fördelad med n 2 frihetsgrader om H 0 är sann. Beslutsregel: Vi testar på signifikansnivån α = 0.05 och har en tvåsidig mothypotes. Förkasta om t obs > t krit = t 4,0.025 = Beräkningar: Skattningen är r xy = s xy 57.8 = s x s y = 0.871, 4 vilket innebär att t obs = = Beslut: Eftersom t obs = > förkastas H 0 : ρ xy = 0. Svar: Pearsons korrelation skattas till och på 5% signifikansnivå tyder testresultatet på att det finns en korrelation mellan SBP och DBP i populationen. Mål: Att med linjär regression göra en prediktion för en ny observation tillsammans med ett prediktionsintervall, dvs skatta y i för individ i Estimator: ŷ i = ˆβ 0 + ˆβ 1 x i. Förutsättningar: (i)-(v) måste vara uppfyllda. Beräkningar: Ett 95% prediktionsintervall för y i ges av ŷ i ± t n (k+1),α/2 ˆV (ŷ) + s 2 ε där t n (k+1),α/2 = Vi börjar med punktskattningen ŷ i. Eftersom ˆβ 1 = SS xy = SS xx = 1.61 och ˆβ 0 = ȳ ˆβ 1 x = 16.6 ges den skattade regression modellen av ŜBP = DBP. Således har vi efter insättning av DBP = 75 att punktskattningen för individ i är ŷ i = Variansen för punktskattningen är ( 1 ˆV (ŷ) + s 2 ε = s 2 ε n + (x p x) 2 ) + s 2 ε SS xx = ( ( ) ) =

5 Insättning av värden ger prediktionsintervallet ± ± Svar: Individen med 75 mmhg i diastoliskt blodtryck har med 95% säkerhet ett systoliskt blodtryck mellan 119 till 156 mmhg. C) (4p) Eftersom DBP och SBP är stark korrelerade finns risk för multikollinjäritet. En lösning är at utöka stickprovsstorleken. En annan lösning är att ha med enbart SBP eller DBP i regressionen. 5

6 Uppgift 4 (24 poäng) A) (10p) Felmarginalen ges av 1.96 V (N ) n p(1 p) (N ˆp) = 1.96 N N 1 n (58000 ) n 0.288( ) = n Om felmarginalen får vara maximalt 300, dvs (58000 ) n 0.288( ) , n får vi genom ekvationslösning (alternativt genom att iterativt pröva för olika värden på n) att n = B) (a) (6p) Mål: Skatta det totala antalet asylsökande 2014 som deltar i svenskundervisning. Parameter: N p = τ Estimator: N ˆp st Förutsättning: (i) OSU-UÅ från respektive stratum ger E(N ˆp st ) = τ. Beräkningar: I uppgiften är N = 58000, N 1 = = 14500, N 2 = = samt ˆp 1 = 0.2 och ˆp 2 = 0.2. Vi skattar det totala antalet: N ˆp st = N ( N1 N ˆp 1 + N 2 N ˆp 2 ) = ( ) = (b) Svar: Totalt deltar asylsökande 2014 i svenskundervisning. Mål: Intervallskatta med 95% konfidensgrad det totala antalet asylsökande 2014 som deltar i svenskundervisning. Förutsättningar: (i) i a). (ii) oberoende stickprov (för kunna att skatta variansen för ˆp st ). (iii) n j p j (1 p j ) > 5 i alla strata vilket innebär pga CGS att ˆp st är approx. normalfördelad. ÄK ska alltid använads enligt instruktioner i uppgiften. Beräkningar: Ett 95% KI för τ = N p ges av N ˆp st ± z α/2 ˆV (N ˆp st ) vilket kan skrivas N ˆp st ± z α/2 N ˆV (ˆp st ) 6

7 Variansen för N ˆp st skattas med ( ) 2 ( ) 2 N1 N2 ˆV (ˆp st ) = ˆV (ˆp1 ) + ˆV (ˆp2 ) N N ( ) 2 ( N1 = 1 n ) ( ) 2 ( 1 ˆp1 (1 ˆp 1 ) N2 + 1 n ) 2 ˆp2 (1 ˆp 2 ) N N 1 n 1 1 N N 2 n 2 1 ( ) 2 ( = ) 0.2(1 0.2) ( ) 2 ( ) 0.35(1 0.35) = Insättning av värden, där z α/2 = 1.96, ger intervallet N ˆp st ± ± 1318 Svar: Med 95% säkerhet deltog mellan och asylsökande 2014 i någon svenskundervisning. 7

8 Uppgift 5 (20 poäng) 8

Relevanta dokument

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 11: Multipel linjär regression 2

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 11: Multipel linjär regression 2 Ronnie Pingel Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 2015-11-23 Faktum är att vi i praktiken nästan alltid har en blandning