Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 5: Stratifierat urval
|
|
- Stig Vikström
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 5: Stratifierat Ronnie Pingel Statistiska institutionen Senast uppdaterad:
2 En stratifierad sundersökning: NTU2014
3 Från NTU2014
4 Från NTU2014
5 Dellens et al. (2000). Lancet
6 Dellens et al. (2000). Lancet
7 Bakgrund Ofta tillgång till fler variabler än undersökningsvariabeln i sramen. T ex: En sram med identifieringsvariabeln personnummer ger även variablerna kön och ålder. Kan den extra information i sramen användas för att förbättra undersökningen? Består hjälpinformationen av en kategorivaraibel 1 kan vi genomföra. 1 Nominal- eller ordinalskala. En kontinuerlig hjälpvariabel kan kategoriseras
8 Definition (1) () innebär att en ändlig population U = {1, 2,..., N} delas upp i K disjunkta delpopulationer, U 1, U 2,..., U K. Populationsstorlek: N = N 1 + N N K = K j=1 N j, där N j är populationstorlek i stratum j.
9 Parametrar vid stratifiering Populationsmedelvärde: µ = N 1 N µ 1 + N 2 N µ N K N µ K = K N j j=1 N µ j, där µ j är populationsmedelvärde i stratum j. Populationstotal: τ = N 1 µ 1 + N 2 µ N K µ K = K j=1 N jµ j, där τ j är populationstotal i stratum j. Populationsandel: p = N 1 N p 1 + N 2 N p N K N p K = K där p j är populationstotal i stratum j. j=1 N j N p j,
10 Illustration av stratifiering
11 och Definition (2) (Stratifierat ) Stratifierat innebär att dras oberoende av varandra från varje stratum U j. Definition (3) (Stratifierat med OSU-UÅ) STOSU innebär att OSU-UÅ dras oberoende av varandra från varje stratum U j. Om inget annat nämns är stratifierat = STOSU. Total stickprovsstorlek: n = n 1 + n n K = K j=1 n j, där n j är stickprovsstorleken i stratum j.
12 av parametrar Mål: Skatta populationsmedelvärdet µ Estimator: x st = N 1 N x 1 + N 2 N x N K N x K = K N j j=1 N x j, där x j = 1 nj i=1 n x i är stickprovsmedelvärdet i stratum j j Mål: Skatta populationstotalen τ Estimator: ˆτ st = N 1 x 1 +N 2 x N K x K = K j=1 N j x j = K j=1 ˆτ j Mål: Skatta populationsandelen p Estimator: ˆp st = N 1 N ˆp 1 + N 2 N ˆp N K N ˆp K = K där ˆp j stickprovsandelen i stratum j j=1 N j N ˆp j,
13 Illustration: av µ
14 Bias och precision Vi koncentrerar oss nu på skattning av µ med x st För att veta hur bra vår nya estimator är givet att vi drar ett OSU-UÅ från respektive stratum ska följande frågor besvaras: 1 Är estimatorn x st väntevärdesriktig (vvr)? 2 Vilken precision har estimatorn x st? (framför allt jämfört med x)
15 Recap: Väntevärde av summor av slumpvariabler Låt X och Y vara 2 slumpvariabler. Låt a, b och c vara konstanter. Då gäller följande räkneregler för väntevärdet: E(X + c) = E(X ) + c E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) E(aX ) = ae(x ) E(aX + by ) = ae(x ) + be(y ) E(aX + by + c) = ae(x ) + be(y ) + c
16 Bias E( x st ) = E = E N x 1 + N 2 N x N ) K N x K ) ( ) N2 + E N x E ( N1 ( N1 N x 1 = N 1 N E( x 1) + N 2 N E( x 2) N K N E( x K) = N 1 N µ 1 + N 2 N µ N K N µ K K N j = N µ j = µ j=1 ( ) NK N x K Kriterium 1 uppfyllt eftersom estimatorn x st är vvr!
17 Recap: Varians av summor av slumpvariabler Låt X och Y vara 2 oberoende slumpvariabler. Låt a, b och c vara konstanter. Då gäller följande räkneregler för variansen: V (X + c) = V (X ) V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) V (ax ) = a 2 V (X ) V (ax + by ) = a 2 V (X ) + b 2 V (Y ) V (ax + by + c) = a 2 V (X ) + b 2 V (Y )
18 Precision Vi vet stickprovsmedelvärdets varians vid OSU-UÅ: ( ) N n σ 2 V ( x) = N 1 n Eftersom vi har OSU-UÅ i respektive stratum är variansen för ett stratumspecifikt stickprovsmedelvärde V ( x j ) = ( ) Nj n j σ 2 j, N j 1 n j där σ 2 j är populationsvariansen i stratum j.
19 Precision Stickprovsmedelvärdets varians vid stratifierat är ( N1 V ( x st ) = V N x 1 + N 2 N x N ) K N x K ( ) ( ) ( ) 2 N1 = V N x N2 1 + V N x NK V N x K = = ( N1 ) 2 ( ) 2 N2 V ( x 1 ) + V ( x 2 ) + + N N K ( ) 2 Nj K V ( x j ) = N j=1 j=1 ( NK N ( ) 2 ( ) Nj Nj n j σ 2 j N N j 1 n j ) 2 V ( x K ) 2 Oberoende stickprov gör att likheten gäller! En förutsättning.
20 Bias och precision Vi har nu härlett variansen för x st. Hur står den sig mot V ( x)? Vi ska alltså jämföra V ( x st ) = K j=1 ( ) 2 ( ) Nj Nj n j σ 2 j N N j 1 n j med V ( x) = ( ) N n σ 2 N 1 n En generell jämförelse utelämnas, men vi räknar ett exempel där hela populationen är känd ser vilken estimator som har minst varians!
21 Bias och precision Exempel: Genomsnittligt antal sjukdagar N = 10 anställda vid ett företag har följande antal sjukdagar. Populationen kan delas in i två strata - anställda med gratis friskvård (S1) och anställda som inte får gratis friskvård (S2). µ j σj 2 S ,4 8,24 S ,2 8,16 Populationens medelvärde är µ = 8, 8 och populationsvariansen σ 2 = 10, 16. Anta att man vill dra ett stickprov med storlek n = 4 för att skatta antalet sjukdagar. Vilken estimator har bäst precision?
22 Bias och precision Exempel: Genomsnittligt antal sjukdagar Vid OSU-UÅ och n = 4 är ( ) N n σ 2 V ( x) = N 1 n = ( ) , = 1,69 Nu väljer vi n 1 = 2 och n 2 = 2 med OSU-UÅ från varje stratum, vilket ger ( ) ( ) N1 n 1 σ 2 V ( x 1 ) = ,24 = = 3,09 N 1 1 n ( ) ( ) N2 n 2 σ 2 V ( x 2 ) = ,16 = = 3,06 N 2 1 n
23 Bias och precision Exempel: Genomsnittligt antal sjukdagar ( N1 ( N2 ) 2 ) 2 V ( x st ) = V ( x 1 ) + V ( x 2 ) N N ( ) 2 ( ) = 3,09 + 3,06 = 1, I det här fallet är V ( x) V ( x st ) = 1, 69 1,5375 = 1, 1. Estimatorn x st 10% effektivare än estimatorn x.
24 Skattning av V ( x) I praktiken är σj 2 okänd och V ( x st ) måste skattas, men på motsvarande sätt som med OSU-UÅ fås den skattade variansen för x st som ˆV ( x st ) = K j=1 ( ) 2 ( Nj 1 n ) j s 2 j, N N j n j där s 2 j är stickprovsvariansen i stratum j.
25 Egenskaper för x st Parameter: µ Estimator: x st Bias: E( x st ) = µ Precision: V ( x st ) = K j=1 Variansestimator: ˆV ( x st ) = K j=1 ( Nj ) 2 ( 1 n j ( ) 2 ( ) Nj Nj n j σ 2 j N N j 1 n j ) s 2 j N N j n j Fördelning: x st är approx. N(µ, V ( x st )) om alla n j > 20. CGS! Samma regler som tidigare gäller för konfidensintervall och hypotesprövning.
26 Egenskaper för ˆτ st Parameter: τ Estimator: ˆτ st Bias: E(ˆτ st ) = τ Precision: V (ˆτ st ) = K j=1 N2 j Variansestimator: ˆV (ˆτ st ) = K j=1 N2 j ( 1 n j N j ) s 2 j ( ) Nj n j σ 2 j N j 1 n j Fördelning: ˆτ st är approx. N(τ, V (ˆτ st )) om alla n j > 20. CGS! Samma regler som tidigare gäller för konfidensintervall och hypotesprövning. n j
27 Egenskaper för ˆp st Parameter: p Estimator: ˆp st Bias: E(ˆp st ) = p Precision: ( Nj V (ˆp st ) = K j=1 N Variansestimator: ˆV (ˆp st ) = K j=1 ( Nj ) 2 ( ) Nj n j pj (1 p j ) N j 1 n j ) 2 ( 1 n j ) ˆpj (1 ˆp j ) N N j n j 1 Fördelning: ˆp st är approx. N(p, V (ˆp st ) om alla n j p j (1 p j ) > 5. CGS! Samma regler som tidigare gäller för konfidensintervall och hypotesprövning.
28 Exempel Uppgift 1109 En kommun består av två kommundelar med och invånare. Från varje kommundel väljer man slumpmässigt invånare. För varje person antecknar man om personen har förvärvsarbete eller inte. I et från den mindre kommundelen har 400 personer förvärvsarbete. I andra et är siffran 640 personer.
29 Exempel Mål: En kommun vill skatta andelen förvärvsarbetande i kommunen, p. Bestäm också den statistiska felmarginalen av andelen förvärvsarbetande. Kommun består av två kommundelar med och invånare. Från varje kommundel väljer man slumpmässigt invånare. Estimator: ˆp st
30 Exempel Förutsättningar: Vi har K = 2 strata, där N 1 = och N 2 = Således är N = N 1 + N 2 = Urvalsstorleken är n 1 = n 2 = 2000 och n = n 1 + n 2 = ) Stratifierat med OSU-UÅ innebär att E(ˆp st ) = p. 2) Stratifierat innebär per design att stickproven är oberoende, vilket V (ˆp st ) förutsätter 3) Eftersom n/n > 0,1 skattas V (ˆp st ) med ˆV (ˆp st ) = K j=1 ( Nj ) 2 ( 1 n j ) ˆpj (1 ˆp j ) n j 1. N N j 4) n j p j (1 p j ) > 5 innebär att ˆp s t är approx. Nf pga CGS. Måste kontrolleras i efterhand!
31 Exempel Beräkningar: En punktskattning av p ges av ˆp st = N 1 N ˆp 1 + N 2 N ˆp 2 I stickprovet från första stratumet är 400 och i stickprovet från andra stratumet är 640 förvärvsarbetande. Alltså är ˆp 1 = 400/2000 = 0,2 och ˆp 2 = 640/2000 = 0,32. Insättning av värden ger punktskattningen: ˆp st = , 2 + 0, 32 = 0,
32 Exempel Beräkningar: För att vi ska kunna beräkna den statistiska felmarginalen måste n j p j (1 p j ) > 5. Vi kontrollerar med skattningarna från stickprovet: n 1 ˆp 1 (1 ˆp 1 ) = 64, n 2 ˆp 2 (1 ˆp 2 ) = 139. OK! Den statistiska felmarginalen utgår från 95% konfidensgrad (om inget annat anges) och den ges av z α/2 ˆV (ˆp st ) = = z α/2 (N1 N där z α/2 = 1, 96. ) 2 ( 1 n ) 1 p1(1 p1 ) + N 1 n 1 1 ( ) 2 ( N2 1 n ) 2 p2(1 p2 ), N N 2 n 2 1
33 Exempel Beräkningar: För att vi ska kunna beräkna den statistiska felmarginalen måste n j p j (1 p j ) > 5. Vi kontrollerar med skattningarna från stickprovet: n 1 ˆp 1 (1 ˆp 1 ) = 64, n 2 ˆp 2 (1 ˆp 2 ) = 139. OK! Den statistiska felmarginalen utgår från 95% konfidensgrad (om inget annat anges) och den ges av z α/2 ˆV (ˆp st ) = = z α/2 (N1 N där z α/2 = 1, 96. ) 2 ( 1 n ) 1 p1(1 p1 ) + N 1 n 1 1 ( ) 2 ( N2 1 n ) 2 p2(1 p2 ), N N 2 n 2 1
34 Exempel Beräkningar: z α/2 ˆV (p st) = ( = 1, = 0, ) 2 ( ) 0, 2 0, ( ) ( ) 0, 32 0, Svar: Felmarginalen är 0, 013, vilket innebär att vi med 95% säkerhet kan säga att andelen förvärvsarbetande i kommunen befinner sig i intervallet 0, 272 ± 0, 013.
35 ett stratifierat Val av stratifieringsvariabel? Hur många strata? Var ska gränserna dras? Hur ska stickprovet allokeras? Bestämning av stickprovsstorlek n (Ingår ej på kursen.)
36 Val av stratifieringsvariabel? Ju högre korrelation mellan hjälpvariabeln och undersökningsvariabeln, desto bättre precision! är bra för precisionen om det finns stora skillnader mellan µ i och µ j, dvs medelvärdena mellan olika strata skiljer sig åt. det finns små skillnader inom strata. Det innebär att σ 2 j < σ 2 Dessutom Välj en stratifieringsvariabel som ger information om alla element i sramen Välj en stratifieringsvariabel utifrån planerade analyser av delgrupper
37 Val av stratifieringsvariabel? Det är möjligt att ha flera hjälpvariabler. Ett stratum är en kombination av kategorierna. Exempelvis ger 21 län och 3 ålderskategorier 63 strata. Sveriges län år år år A Stratum 1.. B Y.. Stratum K
38 Antal strata Skilj på teori och praktik. Teoretiskt ska man ta så många strata man kan eftersom variansen (i princip) aldrig öka genom ytterligare stratumindelning. I praktiken gäller dock följande: Ju fler strata, desto mindre marginell ökningen av precisionen. Första indelningarna är viktigast. Det räcker oftast med 5-10 strata. Sneda fördelningar kan kräva finare indelning. Använd strata som är standard och använts tidigare för att förenkla presentation och jämförelser Eventuellt måste hänsyn tas till eventuell särredovisning för vissa grupper. Ett stort antal strata kan bli dyrt.
39 Exempel Förslagsvis konstrueras en tabell som redovisar resultatet från undersökningen. Detta är speciellt viktigt om undersökningen har många strata. Stratum N j n j p j , ,32 Stratum N j n j x j sj 2 1 N 1 n 1 x 1 s1 2 2 N 2 n 2 x 2 s K N K n K x K sk 2
40 Allokering Givet n ska n 1, n 2,..., n K väljas. Målet är att göra en allokering som ger en viss mängd information till minsta möjliga kostnad. Detta bestäms av följande tre faktorer Antalet element i varje stratum. Antalet element i ett stratum påverkar mängden information i ett stickprov. Större stratum kräver alltså fler observationer. Variationen i varje stratum. Om populationen i ett stratum är heterogen har vi stor variation och det kräver fler element. Kostnaden att undersöka ett element i varje stratum. Om kostnaden varierar mellan stratum vill vi dra små stickprov från stratum med höga kostnader.
41 Formel för allokering ( N j σ j / ) c j n j = n N 1 σ 1 / c 1 + N 2 σ 2 / c N K σ K / c ( 2K Nj σ j / ) c j = n K l=1 N lσ l / c l N j är stratum storleken i stratum j σ j är populationsstandardavvikelsen i stratum j c j är kostnaden att erhålla en observation från stratum j
42 Exempel Optimal allokering Anta att man vill göra en marknadsundersökning. Vi har 3 strata: två städer och landsbygd. Eftersom det kostar mer att resa på landsbygden har vi att kostnaden för en observation i städerna är c 1 = c 2 = 9 medan kostnaden för en observation på landsbygden är c 3 = 16. Tidigare undersökningar har gett oss följande variation i respektive stratum: Stratumstorlekarna är: σ 1 = 5, σ 2 = 15, σ 3 = 10. N 1 = 155, N 2 = 62, N 3 = 93.
43 Exempel Optimal allokering Anta att stickprovsstorleken före undersökningen har bestämts till n = 58. Vi börjar med anämnaren i allokeringsformeln: 3 i=l N l σ l cl = N 1σ 1 c1 + N 2σ 2 c2 + N 3σ 3 c3 = = 800, n 1 = n ( Nj σ j / ) ( c j 3 l=1 N lσ l / 155 5/ ) 9 = 58 = 18, 5 c l 800, 83 På samma sätt får vi att n 2 = 22, 6 och n 3 = 16, 8. Då n = 58 avrundar vi så att stickprovsstorlekarna blir n 1 = 18, n 2 = 23 och n 3 = 17.
44 Neyman-allokering Samma kostnad i varje stratum: c 1 = c 2 = = c K. Allokering med hänsyn till stratumstorlekar och varianser kallas för Neyman-allokering. Exempel Vi börjar med nämnaren i allokeringsformeln: 3 N l σ l = = 2635 l=1 n 1 = n ( ) ( ) N 1 σ l=1 N = 58 = 17, 4 lσ l 2635 och på motsvarande sätt erhålls n 2 = 20, 3 och n 3 = 20, 3, vilket avrundas till n 1 = 18, n 2 = 20 och n 3 = 20.
45 Proportionell allokering Allokering med hänsyn till enbart stratumstorlekarna proportionell allokering. Exempel Vi börjar med nämnaren i allokeringsformeln: 3 N l = = 310 l=1 N j n 1 = n 3 l=1 N l = = 29 och vi får på motsvarande sätt att n 2 = 11, 6 och n 3 = 17, 4. Vi avrundar stickprovsstorlekarna till n 1 = 29, n 2 = 12 och n 3 = 17.
46 Proportionell allokering Proportionellt stratifierat (PSU) är ett självvägt. Vid ett PSU har alla element samma inklusionssannolikhet, n/n, dvs samma egenskap som vid ett OSU. Punktskattningar är väntevärdesriktiga även om vi inte tar hänsyn till stratifieringen. Däremot överskattar vi variansen. Vid proportionell allokering är N j N = n j n så x PSU = K j=1 N j N x j = K j=1 n j n x j = K j=1 1 n n j x j = 1 n n K j j=1 i=1 x ij
47 Lika allokering Vid lika allokering har vi lika stora från samtliga strata, dvs n 1 = n 2 = = n K. Det innebär att där K är antalet strata. Exempel n j = n K I fallet med lika allokering, med n = 58 och K = 3 har vi att n 1 = n 2 = n 3 = n K = 58 = 19, 33 3 Vi avrundar två av sstorlekarna till 19 och ett till 20.
48 Fördelar och nackdelar med stratifierat + Det går att kontrollera precisionen för olika redovisningsgrupper, det vill säga vi kan redan i förväg planera delanalyser. + Precision. I regel behövs mindre stickprov än vid OSU. Tidskrävande. Kräver hjälpinformation. Försvårar statistisk analys. Kom ihåg att analysmetoden måste anpassas efter sdesignen.
49 Exempel att fundera på Söderqvist et al. 3 undersökte bland barn andelen som pratar i mobiltelefon mer än 2 minuter om dagen, p. För att skatta parametern användes. Stickprovsstorleken bestämdes till n = Enkäter med 24 frågor skickades ut till barnens målsmän. Totalt erhölls n = 1423 ifyllda enkäter. Undersökningen bestod ursprungligen av K = 16 strata - de 8 åldersgrupperna uppdelat på flickor och pojkar, dvs n 1 = n 2 = = n Söderqvist, F., Hardell, L., Carlberg, M., & Mild, K. H. (2007). Ownership and use of wireless telephones: a population-based study of Swedish children aged 7 14 years. BMC Public Health, 7(1), 105
50 Söderqvist et al. Vilken allokering har författarna gjort? Vilken allokering bygger förutsätter deras beräkning för punktskattningen?
51 Rådata från Söderqvist et al.
52 Läsanvisningar D: 11.5
53 Övningsuppgifter D: Övningsuppgifter kommer att tillkomma.
Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 6: Några övriga urvalsmetoder
Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 6: Några övriga smetoder Ronnie Pingel Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 2015-11-11 Några övriga smetoder OSU-UÅ (med eller utan stratifiering) förutsätter
Läs merUrvalsmetoder: Stratifierat urval (kap 9.5)
F4 Urvalsmetoder: Stratifierat urval (kap 9.5) Tidigare exempel Vi undersökte tidigare medellönen i ett företag med N = 500 anställda. Vi fick ett konfidensintervall: Vi vet att några förklaringsvariabler
Läs merFöreläsning 4. 732G19 Utredningskunskap I. Föreläsningsunderlagen bygger på underlag skapade av Kalle Wahlin
Föreläsning 4 732G19 Utredningskunskap I Föreläsningsunderlagen bygger på underlag skapade av Kalle Wahlin Dagens föreläsning Systematiskt urval Väntevärdesriktiga skattningar Jämförelse med OSU Stratifierat
Läs merTidigare exempel. Några beteckningar. Stratifierat urval
Tidigare exempel F4 Urvalsmetoder: (kap 9.5) Ursprung: Linda Wänström Vi undersökte tidigare medellönen i ett företag med N = 500 anställda. Vi fick ett konfidensintervall: Vi vet att några förklaringsvariabler
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
och enkäter "Det finns inget så praktiskt som en bra teori" September 2011 och enkäter Inledning Inledning Om vi vill mäta en egenskap hos en population individer (individer kan vara personer, företag
Läs merPreliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet
Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden
Läs merFöreläsning 4. Kapitel 5, sid Stickprovsteori
Föreläsning 4 Kapitel 5, sid 127-152 Stickprovsteori 2 Agenda Stickprovsteori Väntevärdesriktiga skattningar Samplingfördelningar Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen 3 Statistisk inferens Population:
Läs merF8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17
1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,
Läs merFöreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar
Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merUrvalsmetoder: Sannolikhetsurval resp. icke-sannolikhetsurval, OSU (kap )
F3 Urvalsmetoder: Sannolikhetsurval resp. icke-sannolikhetsurval, OSU (kap 9.1-9.4) Urval Anta att vi ska göra en urvalsunderökning och samla in primärdata Totalundersökning ofta inte möjlig För dyrt Tar
Läs merF3 Introduktion Stickprov
Utrotningshotad tandnoting i arktiska vatten Inferens om väntevärde baserat på medelvärde och standardavvikelse Matematik och statistik för biologer, 10 hp Tandnoting är en torskliknande fisk som lever
Läs merFöreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 5 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Konfidensintervall För andelar För medelvärden Vid jämförelser o Den statistiska felmarginalen o Stickprovsstorlek 2 Introduktion När man beräknar
Läs merUrval. Slumpmässiga urval (sannolikhetsurval) Fördelar med slumpmässiga urval
Urval F3 Urvalsmetoder: Sannolikhetsurval resp. icke-sannolikhetsurval, OSU (kap 9.1-9.4) Ursprung: Linda Wänström Anta att vi ska göra en urvalsunderökning och samla in primärdata Totalundersökning ofta
Läs merSamplingfördelningar 1
Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi
Läs merTMS136. Föreläsning 10
TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis
Läs merF9 Konfidensintervall
1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att
Läs merVi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ.
P-värde P=probability Sannolikhetsvärde som är resultat av en statistisk test. Anger sannolikheten för att göra den observation vi har gjort eller ett sämre / mer extremt utfall om H 0 är sann. Vi har
Läs merF10. Ytterligare urvalsmetoder och skattningsmetoder (kap 9.8, 9.9) Flerstegsurval
F10 Ytterligare urvalsmetoder och skattningsmetoder (kap 9.8, 9.9) Flerstegsurval Anta att man vill göra ett urval som täcker ett stort geografiskt område vill använda besöksintervju som insamlingsmetod
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merF14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva
Stat. teori gk, ht 006, JW F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10., 10.4-10.5, 11.5) Hypotesprövning för en proportion Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva H 0 : P = P 0 mot någon av H 1 : P P 0 ; H
Läs merFöreläsning 5. Kapitel 6, sid Inferens om en population
Föreläsning 5 Kapitel 6, sid 153-185 Inferens om en population 2 Agenda Statistisk inferens om populationsmedelvärde Statistisk inferens om populationsandel Punktskattning Konfidensintervall Hypotesprövning
Läs merMer om konfidensintervall + repetition
1/14 Mer om konfidensintervall + repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/2 2011 2/14 Dagens föreläsning Skattningar som slumpvariabler Väntevärde Varians
Läs merTMS136. Föreläsning 7
TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merSummor av slumpvariabler
1/18 Summor av slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 9/2 2011 2/18 Dagens föreläsning Parkeringsplatsproblemet Räkneregler för väntevärden Räkneregler
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs merExtra övningssamling i undersökningsmetodik. till kursen Regressionsanalys och undersökningsmetodik, 15 hp
Extra övningssamling i undersökningsmetodik HT10 till kursen Regressionsanalys och undersökningsmetodik, 15 hp Författad av Karin Dahmström 1. Utgå från en population bestående av 5 personer med följande
Läs merFöreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 4 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Sannolikhet Vad är sannolikhet? o Slumpvariabel o Sannolikhetsfördelningar Binomialfördelning Normalfördelning o Stickprov och population o Centrala
Läs merKap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen
Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande
Läs merExempel i stickprovsteori
Exempel i stickprovsteori p. 1/26 Exempel i stickprovsteori Göran Arnoldsson Umeå universitet Exempel i stickprovsteori p. 2/26 1. Audit sampling En bank vill göra en snabb uppskattning av den totala behållningen
Läs merFÖRELÄSNING 7:
FÖRELÄSNING 7: 2016-05-10 LÄRANDEMÅL Normalfördelningen Standardnormalfördelning Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Konfidensnivå Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är känd Samla
Läs merIntroduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab
Uppfödning av kyckling och fiskleveroljor Statistiska jämförelser: parvisa observationer och oberoende stickprov Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson vt 2012 Fiskleverolja tillsätts
Läs merUrval. Varje element i populationen skall ha en känd sannolikhet (chans) som är större än 0 att bli utvald
F11 Repetition Undersökningar Olika slag av undersökningar Syftet Beskrivande Förklarande/utredande Framåtblickande Undersökningsplanering Vem ska undersökas? Målpopulation Rampopulation Vad ska undersökas?
Läs merF10 Problemlösning och mer om konfidensintervall
1/13 F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 22/2 2013 2/13 Dagens föreläsning Problemlösning Skattningar Konfidensintervall
Läs merFöreläsning 2. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 2 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Normalfördelning Samplingfördelningar och CGS Fördelning för en stickprovsstatistika (t.ex. medelvärde) kallas samplingfördelning. I teorin är
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merTentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle
Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Lärare: Mikael Elenius, 2006-08-25, kl:9-14 Betygsgränser: 65 poäng Väl Godkänt, 50 poäng
Läs mer, s a. , s b. personer från Alingsås och n b
Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen
Läs merTillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 11: Multipel linjär regression 2
Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 11: Multipel linjär regression 2 Ronnie Pingel Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 2015-11-23 Faktum är att vi i praktiken nästan alltid har en blandning
Läs merFöreläsning 7. Statistikens grunder.
Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merFöreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 1 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Kursens uppbyggnad 9 föreläsningar Föreläsningsunderlag läggs ut på kurshemsidan 5 lektioner Uppgifter från kursboken enligt planering 5 laborationer
Läs mer10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov
TNG006 F0-05-06 Konfidensintervall för linjärkombinationer 0. Konfidensintervall vid två oberoende stikprov Antag att X, X,..., X m är ett stikprov på N(µ, σ ) oh att Y, Y,..., Y n är ett stikprov på N(µ,
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merFöreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2
Föreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2 Kasper K. S. Andersen 4 oktober 208 Jämförelse av två väntevärden Ofte vil man jämföra två eller fler) produkter, behandlingar, processer etc. med varandra.
Läs merFöreläsning 8: Konfidensintervall
Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga
Läs merKapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen 1 Statistikor och samplingfördelningar I Kapitel 6 studerades metoder för att bestämma sannolikhetsfördelningen
Läs merTMS136. Föreläsning 11
TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merInledning till statistikteorin. Skattningar och konfidensintervall för μ och σ
Inledning till statistikteorin Skattningar och konfidensintervall för μ och σ Punktskattningar Stickprov från en population - - - Vi vill undersöka bollhavet men får bara göra det genom att ta en boll
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merTillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 2: Obundet slumpmässigt urval 1
Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 2: Obundet slumpmässigt urval 1 Ronnie Pingel Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 2015-11-03 Syfte För många frågeställningar finns data inte tillgängligt.
Läs merTMS136. Föreläsning 13
TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 5 Johan Lindström 12 september 216 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 F5 1/23 Repetition Gauss approximation Delta metoden
Läs mer9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merF11 Två stickprov. Måns Thulin. Uppsala universitet thulin@math.uu.se. Statistik för ingenjörer 26/2 2013 1/11
1/11 F11 Två stickprov Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 26/2 2013 2/11 Dagens föreläsning Konfidensintervall när man har ihopparade stickprov Att väga samman skattningar
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merFÖRELÄSNING 8:
FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merUppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merVarför statistik? det finns inga dumma frågor, bara dumma svar! Serik Sagitov
Summer Science Camp, Tjärnö, 8 August 2012 Varför statistik? Serik Sagitov http://www.math.chalmers.se/ serik/ Avdelningen för matematisk statistik Matematiska Vetenskaper Chalmers Tekniska Högskola och
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs merTENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-01 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:
Läs merEXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF50: Matematisk statistik för L och V OH-bilder på föreläsning 7, 2017-11-20 EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent
Läs merDiskussionsproblem för Statistik för ingenjörer
Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka
Läs merSystematiskt urval, gruppurval, val mellan metoderna (kap , 9.10)
F5 Systematiskt urval, gruppurval, val mellan metoderna (kap 9.6-9.7, 9.10) Systematiskt urval Antag att vi vill undersöka medellönen i ett företag på N=1000 anställda och vill dra ett urval på n=100.
Läs meren observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.
February 6, 2018 1 Föreläsning VIII 1.1 Punktskattning Punktskattning av µ Vi låter {ξ 1, ξ 2,..., ξ n } vara oberoende likafördelade stokastiska variabler (med ett gemensamt µ). ξ =: µ är en punktskattning
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 7
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29)
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) Aktuella avsnitt i boken: Kap 61 65 Lektionens mål: Du ska
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson,
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson, 5--9 Lösningförslag skriftlig hemtentamen i Fortsättningskurs i statistik, moment, Statistisk Teori, poäng. Deltentamen : Sannolikhetsteori
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad
Läs merTill ampad statistik (A5) Förläsning 13: Logistisk regression
Till ampad statistik (A5) Förläsning 13: Logistisk regression Ronnie Pingel Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 2016-03-08 Exempel 1: NTU2015 Exempel 2: En jobbannons Exempel 3 1 1 Klofstad, C.
Läs merFöreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära
Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära kap 4 Sannolikhetslära och slumpvariabler kap 5 Stickprov, medelvärden, CGS, binomialfördelning Viktiga grundbegrepp utfall, händelse, sannolikheter, betingad
Läs merLaboration 3: Urval och skattningar
S0004M Statistik 1 Undersökningsmetodik. Laboration 3: Urval och skattningar Denna laboration handlar om slumpmässiga urval. Dessa urval ska användas för att uppskatta egenskaper hos en population. Statistiska
Läs merStudietyper, inferens och konfidensintervall
Studietyper, inferens och konfidensintervall Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Studietyper Experimentella studier Innebär
Läs merParade och oparade test
Parade och oparade test Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning: möjliga jämförelser Jämförelser mot ett
Läs merLaboration 3: Urval och skattningar
S0004M Statistik 1 Undersökningsmetodik. Laboration 3: Urval och skattningar Denna laboration handlar om slumpmässiga urval. Dessa urval ska användas för att uppskatta egenskaper hos en population. Statistiska
Läs merYtterligare urvalsmetoder och skattningsmetoder
F6 Ytterligare urvalsmetoder och skattningsmetoder Flerstegsurval Anta att man vill göra ett urval som täcker ett stort geografiskt område vill använda besöksintervju som insamlingsmetod Praktiskt omöjligt
Läs merNågra extra övningsuppgifter i Statistisk teori
Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs merJesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014
Föreläsning 1. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Varför tillämpad statistik? Användningsområden i medicin, naturvetenskap
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl
Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 1 januari 006, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel-
Läs merTentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder.
Tentamen 2014-12-05 i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling med tabeller. C1. (6 poäng) Ange för
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 6.5 hp AT1MS1 DTEIN16h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 1 juni 2017 Tid: 14-18 Hjälpmedel: Miniräknare Totalt antal
Läs merHärledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 I Punktskattningar I Egenskaper I Väntevärdesriktig I E ektiv I Konsistent
Läs merFöreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 7 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Hypotesprövning för två populationer Populationsandelar Populationsmedelvärden Parvisa observationer Relation mellan hypotesprövning och konfidensintervall
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och
Läs merTENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-20 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:
Läs merFormler och tabeller till kursen MSG830
Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse
Läs mer