Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

Transkript

1 Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare Totalt antal poäng på tentamen: 50 För att få respektive betyg krävs: 3 = 20, 4=30, 5=40 Allmänna anvisningar: Nästkommande tentamenstillfälle: Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration. Annars är det detta datum som gäller: Viktigt! Glöm inte att skriva anonymitetskod på alla blad du lämnar in! Lycka Till! Ansvarig lärare: Telefonnummer: 1

2 Börja skriva tentamensfrågorna här! Fråga 1 (5p ( 5p) a) Rita två boxplottar (lådogram) som har samma median men olika spridning. Se till att det tydligt framgår vilken som har störst respektive minst spridning. (2p) b) Rita två boxplottar (lådogram) där den ena illustrerar ett symmetriskt datamaterial och den andra ett icke-symmetrisk data material. Se till att det tydligt framgår vilken som är vilken. (2p) c) Vid linjär regression har man kommit fram till följande skattade regressionslinje =5 2. Illustrera denna linje i ett x-y diagram. (1p) Fråga 2 (2p 2p) För två händelser A och B vet vi att =0.2 och =0.4. Vi vet även att den betingade sannolikheten =0.6. Är händelserna A och B beroende eller oberoende? Enbart svar räcker ej en motivering behövs också för poäng. Fråga 3 (4p) En granne ska vattna din krukväxt under semestern. Utan vatten kommer krukväxten att dö med sannolikheten 0.8. Med vatten dör den med sannolikheten Du är 90% säker att grannen kommer ihåg sitt vattningsuppdrag. Beräkna sannolikheten att krukväxten lever när du kommer hem. Fråga 4 (5p) Vid en viss tid av arbete kan tiden med vilket arbetet kan försenas betraktas som en diskret stokastisk variabel och beskrivas med följande sannolikhetsfunktion i dagar = 1/10 3/10 4/10 1/10 1/10 a) Beräkna väntevärdet av. (1p) b) Beräkna variansen av. (2p) c) Om arbetet försenas får firman böta, dels en fast kostnad på 800 kr och sedan 1200 kr per försenad dag. Bestäm böternas väntevärde och standardavvikelse. (2p) 2

3 Fråga 5 (5p) Vid tillverkning av en produkt är vikten en viktig egenskap på produkten. Sedan tidigare vet man att vikten på en produkt är normalfördelad med väntevärde 30 gram och en standardavvikelse på 5 gram. a) Vad är sannolikheten att en slumpvis vald produkt väger under 29 gram? (1p) b) Produkterna packas i lådor tio stycken i varje låda. Vad är sannolikheten att en slumpvis vald låda väger mellan 280 och 330 gram? (2p) c) Vilken vikt kommer 25% av produkterna att överstiga? (2p) Fråga 6 (3p) Arbetet med att konstruera en bro över en flod är beräknat att ta 14 månader. Om vattenflödet i floden överstiger 100 vid något tillfälle under denna period kan det allvarligt skada eller fördröja bygget. Grundat på tidigare undersökningar anser man att tiden från byggstart till nästa gång vattenflödet överstiger den kritiska nivån är exponentialfördelad med väntevärde 5 år. Beräkna sannolikheten att bygget kommer att störas av för högt vattenflöde. Fråga 7 (7p) En viss maskin används för tillverkning av enheter som bör väga 51 gram. Man misstänker att det finns en systematisk avvikelse i produktionen så att enheterna blir för lätta. För att kontrollera detta tar man ut ett stickprov av 12 produkter från produktionen och fick följande Mätvärdena kan antas vara normalfördelade med en standardavvikelse på 2 gram. Lite summor som kan underlätta beräknandet. Summan av alla observationerna är =601.2summan av kvadraten på alla observationerna är = a) Formulera lämplig nollhypotes och mothypotes för att kontrollera om misstanken stämmer. (1p) b) Testa hypotesen i a) med lämpligt hypotestest använd 5% signifikansnivå. Glöm inte att dra en slutsats av testet. (4p) c) Bestäm testet styrka när =49.7 (2p) 3

4 Fråga 8 (5p) Vid en undersökning av hur en viss egenskap påverkades av olika temperaturer fick man följande resultat temperatur 100 ºC ºC Vi kan anta att egenskapen är normalfördelad och att den har samma standardavvikelse oberoende om temperaturen är 100 ºC eller 200 ºC. Undersök om det finns en statistiskt säkerställd skillnad i egenskapen mellan att använda de olika temperaturerna. Gör detta genom att beräkna ett lämpligt konfidensintervall använd konfidensgraden 95%. Fråga 9 (5p) Vid bestämning av hållfastheten hos ett material fick man följande 9 observationer Betrakta dessa som observerade värden på oberoende och likafördelade stokastiska variabler. Bestäm ett 96% konfidensintervall för medianhållfastheten. Fråga 10 (5p) På en viss tentamen användes 5 av varandra oberoende flervalsfrågor med vardera fyra svarsalternativ. 110 studenter gjorde tentamen. Resultatet blev följande Antal poäng Observerat a) Vilken fördelning skulle den stokastiska variabeln antal poäng ha om alla studenter chansar på alla frågor? (1p) b) Testa hypotesen att stickprovsdatat kommer från fördelningen i a). Använd signifikansnivån 5%. (4p) 4

5 Fråga 11 (4p) För att mäta en sträcka av längden gör person A 5 stycken mätningar och person B 7 stycken mätningar. De bildar båda medelvärdet av sina respektive mätningar och kombinerar sedan medelvärdena för att få skattningen = +. Stickproven (båda två) kan du anta är på där = och =. a) Hur ska konstanterna och väljas för att skattningen ska bli väntevärdesriktig? (2p) b) Hur ska konstanterna och väljas för att skattningen ska bli effektivast av alla väntevärdesriktiga skattningar? (2p) 5

6 Formelsamling för Matematisk Statistik Kontinuerliga Fördelningar Normal f = = =, << Exponential =, 0 =1, 0 = = Weibull =, 0 =1, 0 Rektangel f =, a<< =, a<< = Diskreta Fördelningar = Binomial == 1, =0,1,, = =1 Geometrisk ==1, =1,2, = = Hypergeometrisk == = = 1 Poisson ==, =0,1,.! = = Sannolikhetslära =+ = om P(A)>0 Antalet permutationer =!! Antalet kombinationer = =!!! +=+ = += 6

7 Beskrivande statistik Stickprovsmedel = Stickprovets standardavvikelse = = Stickprovets korrelation = Poolad standardavvikelse = Konfidensintervall X stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och känd varians σ 2. Ett 100(1-α)% tvåsidigt konfidensintervall för μ / + / X normalfördelad stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och okänd varians σ 2. Ett 100(1-α)% tvåsidigt konfidensintervall för μ, +, X normalfördelad stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och okänd varians σ 2. Ett 100(1-α)% tvåsidigt konfidensintervall för σ 2 1 1,, X binomialfördelad stokastisk variabel med parametrarna n och p. Ett 100(1-α)% tvåsidigt konfidensintervall för p om normalapproximation kan användas är följande 1 1 << + Goodness-of-fit test = approximativt fördelad med = 1 frihetsgrader 7

8 Test för medel H0 Teststatistika H1 Kritiskt område = = när känd < > < > < / > / = = = 1 och okänd < > < > < / > / = = + = + 2 och kända < > < > < / > / = = = + 2 = men okända = < > < > < / > / = + = = och okända < > < > < > / 8

9 Test av proportion när normalapproximation kan användas H0 Teststatistika H1 Kritiskt område = = < > < > < / > / = = < > < > < / > / = = < > < > < / > / Test varians normalfördelad population H0 Teststatistika H1 Kritiskt område = = 1 < > > <,, >, eller <, Regression Minsta kvadrat skattningarna av regressionskoefficienterna i =+ = = = = Varianser för och = respektive = = = Konfidensintervall för 1 + < < Prediktionsintervall för < <

10 Normalfördelningen Tabellen ger sannolikheten Φ= där ~0,1. För negativa -värden använd relationen Φ =1 Φ. z Tabellen fortsätter på nästa sida 10

11 Fortsättning från föregående sida Normalfördelningen Tabellen ger sannolikheten Φ= där ~0,1. För negativa -värden använd relationen Φ =1 Φ. z

12 t-fördelningen Tabellen ger det -värde för vilket >= där ~. fg Tabellen fortsätter på nästa sida 12

13 Fortsättning från föregående sida t-fördelningen Tabellen ger det -värde för vilket >= där ~. fg

14 - fördelningen Tabellen ger det -värde för vilket >= där ~. fg