Tentamen i Dataanalys och statistik för I den 28 okt 2015

Transkript

1 Tentamen i Dataanalys och statistik för I den 8 okt Tentamen består av åtta uppgifter om totalt poäng. Det krävs minst poäng för betyg, minst poäng för och minst för. Eaminator: Ulla lomqvist Hjälpmedel: Chalmersgodkänd miniräknare, Matematisk statistik av Ulla Dahlbom och Håkan lomqvists formelsamling. oken eller formelsamlingen får inte innehålla egna anteckningar. Jour: esöker tentamen c:a kl. Lycka till! Uppgift : nta att man har två händelser och. För dessa gäller att P()., P(). och P( C C ).97. eräkna P( ). Uppgift : nta att antal akutfall på ett sjukhus mellan kl. och. en lördagsnatt är poissonfördelat med λ.. a) Vad är sannolikheten att det under en slumpmässigt vald lördagsnatt inte kommer något akutfall till sjukhuset mellan dessa tider? b) Vad är sannolikheten att det går kortare tid mellan två akutfall än en halvtimme? c) nta att man studerar fyra lördagsnätter mellan kl. och.. Vad är sannolikheten att det vid minst tre av tillfällena kommer eakt ett akutfall under den första timmen? (8 poäng) Uppgift : Den stokastiska variabeln ξ har följande frekvensfunktion: f() C < annars a) eräkna konstanten C. b) eräkna variansen för ξ. c) eräkna medianen för ξ. Uppgift : nta att restiden till arbetet för en viss person kan beskrivas av en normalfördelning med µ min och σ min. Under en -veckors period gör denne person resor till arbetet. Vad är sannolikheten att han vid högst ett tillfälle får en restid som överstiger min?

2 Uppgift : Ett föremål vägs en gång på en våg och en gång på våg. Kalla utslagen för och. Motsvarande stokastiska variabler ξ och ξ har båda väntevärdet lika med det vägdas vikt, men ξ har bara hälften så stor standardavvikelse som ξ. Vilken av nedanstående förslag är bäst om man vill skatta den sanna vikten? a) c) b) d) Uppgift 6: Två olika institut tänker göra var sin opinionsundersökning angående göteborgarnas (över 8 år) inställning till byggandet av Västlänken. Det ena institutet tänker fråga personer medan det andra anser att det räcker med personer. nta att 7% av göteborgarna över 8 år är emot byggandet av Västlänken. Vad är sannolikheten att resultaten i de båda undersökningarna skiljer sig åt med mer än %? Uppgift 7: Vid tillverkning av eponeringsmätare till kameror har man under en längre tid vid slutkontrollen funnit att 7% av mätarna måste justeras innan de kan säljas. Man ändrar därför vissa moment i tillverkningen och finner att av slumpmässigt utvalda mätare behöver justeras. Formulera lämplig nollhypotes och mothypotes för att kontrollera om ändringen har medfört någon förbättring. Genomför testet på %:s signifikansnivå. Uppgift 8: Ett visst försök kan lyckas eller misslyckas. Man vill undersöka om antalet lyckade försök i en serie om är binomialfördelat. Man gör därför oberoende serier med försök i varje serie och noterar antal lyckade försök i varje serie. ntal lyckade försök ntal serier Genomför ett test på %:s signifikansnivå och avgör om resultatet motsäger att antalet lyckade försök är binomialfördelat.

3 Lösningar till Dataanalys och statistik 8 Uppgift : P(). P(). P( C C ).97. nvänd de Morgans sats P( ) P( C C ).97. C..7. C P( ). P( ) P()...6 Uppgift : ξ antal akutfall ξ Po(λ. akutfall/ tim) a) P(ξ ) e -...! b) η tiden mellan två akutfall Räkna om λ till antal akutfall/ tim. λ.7 akutfall/ tim η Ep(λ.7 akutfall/tim) P(ξ <.) e c) ζ antal tillfällen det kommer eakt ett akutfall under den första timmen ζ in(n, p) in(, p) där p beräknas enligt p P(ξ ) e ! P(ζ ) P(ζ ) P(ζ ). (.). (.).867 Uppgift : f() C < annars Fortsättning uppgift på nästa sida

4 Fortsättning uppgift a) Eftersom f() är en frekvensfunktion så gäller att f ()d C f ()d C d ( )d. C. C b) Var (ξ) [ ] f()d E( ξ ) E (ξ) f()d d ( )d E (ξ) beräknas först Var (ξ) d ( )d 6 c) P(ξ < Md). f() v figuren framgår att medianen är men beräkningar genomförs för att få detta bekräftat P(ξ ) d. Md medianen Uppgift : : ξ restiden ξ N (µ, σ) N(, ) min P(ξ > ) P(Z < ) Φ().8.87 η antal resor där restiden överstiger min η in(n, p) in(,.87) P(η ) P(η ) P(η ) (.87).7 (.87)

5 σ σ Uppgift : S( ξ ) och S(ξ ) σ Var( ξ ) och Var( ξ ) σ Vi söker den sammanvägningen där summan av vikterna och variansen är minst a) Summan av vikterna: b) Summan av vikterna: σ Variansen: Var( ξ ). σ c) Summan av vikterna: ξ ξ 6 Variansen: Var( ) Var( ξ ) Var( ξ ) 6 σ σ. σ d) Summan av vikterna: ξ ξ Variansen: Var( ) Var( ξ ) Var( ξ ) 9 9 σ σ. σ 9 9 Välj alternativ c) dvs Uppgift 6: ξ antalet som är emot i undersökning ξ in(,.7) ξ antalet som är emot i undersökning ξ in(,.7) pˆ ξ är skattningen av p i undersökning där ) p n E(pˆ och Var(pˆ ) p( p) n η pˆ alt η pˆ pˆ pˆ är skillnaden mellan undersökningsresultaten E( η ) E(pˆ pˆ ) E(pˆ ) E(pˆ ) p p Var( η ) Var(pˆ pˆ ) Var(pˆ ) Var(pˆ ) (.7.6) Eftersom n och n båda är större än använd normalapproimation Fortsättning uppgift 6 på nästa sida

6 Fortsättning uppgift 6 P(skillnaden är större än %) P( η >.) P(η <.) P(η >.). ( P(η <.)) ( P(Z < ) ( Φ(.79))..7.6 Uppgift 7: Steg : H: p. 7 H: p <. 7 n p ( p).7.9 > använd normalapproimation Steg : α % -.6 Steg : Välj testvariabeln Z pˆ p p( p) n Steg : Urval gav pˆ...7 Z Steg : H förkastas. Denna undersökning tyder på att färre behöver justeras vilket tyder på att förändringen har gjort att kvaliteten har blivit bättre. Uppgift 8: Steg : H: binomialfördelat H: inte binomialfördelat Steg : α. df (k--) (6--). C χ -tabellen ger att det kritiska värdet är 9.88 Steg : Välj testvariabeln 6 χ i ( O E ) i E i i Fortsättning uppgift 8 på nästa sida

7 Fortsättning uppgift 8 Steg : Vi beräknar en skattning av p från de observerade värdena. pˆ ( ). Vi börjar med att beräkna sannolikheterna i en binomialfördelning med p.. Därefter beräknar vi de förväntade värdena, Ei. ξ P(ξ ) Förväntat antal Vi ställer nu upp de observerade och de förväntade värdena i en tabell. Totalt Obs antal, Oi Förväntat antal, Ei χ ( 6.) (.) ( 6 6.) ( 6 6.) 6.. ( 9.) ( 7 6.) < 9.9 Värdet hamnar i acceptansområdet. 6. Steg : H kan inte förkastas. Undersökningen motsäger inte hypotesen att antalet lyckade försök skulle kunna vara binomialfördelat