Uppgift 3: Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen 0 10 f(x) =

Transkript

1 Tentamen i Matematisk statistik för DAI och EI den 3 mars. Tid: kl Hjälpmedel: Chalmersgodkänd ( typgodkänd ) räknedosa, Tabell- och formelsamling, Håkan Blomqvist, Matematisk statistik, Ulla Dahlbom, Matematisk statistik, Erik Pettersson. Eaminator: Ulla Blomqvist Ansvarig lärare: Ulla Blomqvist, tel Tentamen omfattar 8 uppgifter och totalt 5 p. För godkänt krävs p. Resultatet meddelas via LADOK. Granskning och uthämtning sker hos sekreteraren vid avdelningen för matematik, plan 4 i hus JUPITER. Behandla högst en uppgift per blad! Däremot kan deluppgifter, t e a, b och c behandlas på samma blad. Lösningarna skall vara fullständigt redovisade! Uppgift : Erik och Simon utför oberoende av varandra ett försök var. Sannolikheten att de skall lyckas med sina försök är.7 respektive.8. a) Hur stor är sannolikheten att eakt ett av försöken blir lyckat? b) Hur stor är sannolikheten att minst ett av försöken är misslyckat? Anta att händelserna istället varit beroende. c) Vilket är i så fall det minsta värde som sannolikheten i b-uppgiften kan anta? Uppgift : Bland elproppar finns 5 defekta. Man tar utan återläggning slumpmässigt ut 4 proppar. Vad är sannolikheten att a) få defekta och hela proppar? b) både bland de första och bland de sista finns eakt en defekt propp? c) Beräkna förväntat antal defekta proppar i urvalet. Uppgift 3: Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen f() ö ö a) Bestäm fördelningsfunktionen för ξ. b) Beräkna P( < ξ < 3) c) Beräkna väntevärde och varians för ξ. (8 poäng)

2 Uppgift 4: En maskin producerar metalltappar vars diameter måste understiga.5 tum för att vara användbara i produktionen. En statistisk undersökning har visat att tapparnas diameter kan betraktas som normalfördelad med µ.49 och σ.5. a) Hur stor andel av de tillverkade tapparna är användbara i produktionen? b) Tapparna förpackas i lådor om 5 stycken. Vad är sannolikheten att högst tappar i en låda inte kan användas i produktionen? Uppgift 5: Vid en testning av en viss maskin placeras den i en miljö, där den utsätts för störningar. Tidsavståndet mellan två på varandra följande störningar är eponentialfördelat med väntevärdet ½ minut. Man räknar med att maskinen går sönder vid var :e störning. Låt η vara tiden i minuter fram tills maskinen går sönder. Beräkna P(η > 45). Uppgift 6: Vid en undersökning av mätdata från en precisionsinstrument fick man värdena Mätvärdena anses vara observationer från en normalfördelning med okända parametrar µ och σ. a) Beräkna ett 95%-igt konfidensintervall för µ. b) Beräkna ett 99%-igt uppåt begränsat konfidensintervall för σ. c) Är det troligt att σ. Du måste motivera svaret genom att använda resultaten från beräkningarna i b-uppgiften. Om du inte har gjort b-uppgiften så svara generellt på hur man vet om ett visst värde kan vara det sanna. Uppgifterna 7 och 8 finns på nästa sida

3 Uppgift 7: Anta att man har en Markovkedja i diskret tid som kan illustreras med nedanstående flödesdiagram.9. A C D.8.. B Beräkna förväntat antal tidsenheter tills processen kommer in i ett absorberande tillstånd om processen startar i tillstånd A. Uppgift 8: Anta att ett företag har maskiner som arbetar parallellt oberoende av varandra. Var och en går sönder med intensiteten.. Så fort en maskin går sönder påbörjas reparationen. Anta att man har anställt reparatörer för att underhålla maskinerna. En serviceman reparerar en maskin med intensiteten.4. Två servicemän kan inte arbeta samtidigt på samma maskin. En stillastående maskin kostar företaget 55 kr/timme. Beräkna förväntad kostnad för de stillastående maskinerna.

4 Lösningar till matematisk statistik för DAI/EI den 3 mars Uppgift : A Erik lyckas P(A).7 P(B).8 B Simon lyckas a) A och B är oberoende ñ P(A B) P(A) P(B) P(eakt ett av försöken lyckas) P(enbart Erik lyckas) + P(Enbart Simon lyckas) P(A) + P(B) P(A B) b) P(minst ett misslyckas) P(A C B C ) (additionssatsen) P(A C ) + P(B C ) P(A C B C ) c) A och B är beroende. En union antar ett minimum när en av händelserna är en delmängd av den andra. P(A C ).3 och P(B C ).. A C B C Minimum P(A C B C ) P(A C ).3 Uppgift : ξ antal defekta proppar ξ är Hyp(N, n, Np) Hyp(, 4, 5) a) P ( defekta och hela i urvalet) º.44 uppgift b på nästa sida

5 fortsättning uppgift : b) P( både bland de första och bland de sista finns eakt en defekt propp) c) E(ξ) np Uppgift 3: Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen a) f() ö ö : F() f (t)dt dt < : t F() f (t)dt f (t)dt + f (t)dt dt + dt t > : F() f (t)dt f (t)dt + f (t)dt + f (t)dt dt + t dt + dt t + 3 Fördelningsfunktionen, F(), får följande utseende F() < > Fortsättning uppgift 3 på nästa sida

6 fortsättning uppgift 3: 9 4 b) P( < < 3) F(3) F() c) E(ξ) f()d d f()d E( ξ) d 5 3 Var(ξ) [ ] ( ) Uppgift 4: ξ diameter ξ är N(µ; σ) N(.49;.5) a) P(ξ <.5) P(Z < ) P(Z < ) º.977 b) η antal tappar som inte kan användas i produktionen η är Bin (n, p) Bin(5,.8) P(η ) º.8943 Uppgift 5: ξ tiden (I minuter) mellan två på varandra följande störningar ξ är Ep(λ ) E(ξ) λ.5 Var(ξ) λ 4 fl S(ξ).5 Enligt centrala gränsvärdessatsen gäller då för tiden fram till den :e störnigen η ξ i i är approimativt N(.5;. 5 ) N(5; 5) P(η 45) P(η < 45) P(Z < 45 5 ) Φ( ) Φ().843 5

7 Uppgift 6: n s df 9 9 a) Ett 95%-igt konfidensintervall för µ: s.789 ± ± ±.39 n 9 b) Ett 99%-igt uppåt begränsat konfidensintervall för σ: (n )s [, χ.99 ] [,.789 ( ) 9.88 ] [,.956]. c) Eftersom värdet σ inte ligger i konfidensintervallet så är det inte troligt att σ. Uppgift 7: Händelserna i flödesdiagrammet definieras om enligt följande: A E C E B E 3 D E 4.9. E E E E 3 Uppgift 7 fortsätter på nästa sida

8 Fortsättning uppgift 7: Den nya övergångsmatrisen blir P * Rader och kolumner med en :a I diagonalen stryks P * Denna stympade matris kallas för S. N E* S Beräkna inversen N - * [ ] E S. det N det.8.9 (.9) (.8). 8 N Genomsnittligt antal tidsenheter till absorption med start i tillstånd A(E )

9 Uppgift 8: π..4 π 4 π π π 6 π π + π + π 5 6 π + π + π π ( + + ) π π π π π π Alltså, den asymptotiska tillståndsvektorn blir π [,, ] Sannolikhetsfördelningen för kostnaden per timme för stillastående maskiner: Antal stillastående maskiner Kostnad Sannolikhet Förväntad timkostnad för stillastående maskiner: :