TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN

Transkript

1 TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004, TEN Hjälpmedel: Formler oh tabeller i statistik, räknedosa Fullständiga lösningar erfordras till samtliga uppgifter. Lösningarna skall vara väl motiverade oh så utförliga att räkningarna oh de bakomliggande tankarna är lätta att följa. Lösningarna skall renskrivas oh avslutas med ett tydligt svar som skall vara så förenklat som möjligt. Examinator: Stefan Eriksson Betygsgränser: Betyget Fx: 8p, betyget E: 9 poäng, betyget D: poäng, betyget C: 5p, betyget B: 7 poäng, betyget A: 9poäng.. För händelserna A oh B gäller att P A B) 0, 8, P A B) 0, oh P B) 0, 5 a) Bestäm sannolikheten P A ) b) Bestäm sannolikheten P A B ). ) Avgör om A oh B är oberoende händelser. p). Till en telefonväxel ankommer i genomsnitt,5 anrop per minut. Vi antar att ankomster är Poissonfördelade. Bestäm sannolikheten att minst 5 anrop kommer under ett tidsintervall som är minuter långt. p). Man vill jämföra två metoder för mätning av en vis variabel som anses normalfördelad med okänd standardavvikelse. Man har parvis gjort 5 mätningar under samma villkor oh fått följande observationer. Metod Metod Kan man med 95 % sannolikhet påstå att det finns skillnad mellan metoderna? p) 4. Ett nytt test av blod ger positivt utslag i 98% av fallen för smittat blod oh negativt utslag i 96% av fallen för osmittat blod. Av erfarenhet vet man att irka % av alla prover som genomförs har smittat blod. Vad är sannolikheten att ett blodprov som har gett positivt utslag verkligen är smittat? p) Var god vänd.

2 5. En elektronisk komponent fungerar dvs strömmen kan passera komponenten) med sannolikheten p0,70. Bestäm sannolikheten att nedanstående system, som består av 0 sådana komponenter. Vi menar att systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan A oh B.) Komponenter fungerar oberoende av varandra. p) K K K4 A K K K K5 K6 B K7 K8 K9 K0 6. Arean av en ylinder räknas med A r π + rhπ. Eftersom ett viss mätfel förekommer betraktar vi en mätning av basytans radien r som en stokastisk variabel med väntevärdet E r) 4 m oh variansen V r) 0, m. För höjden h har vi E h) 0 m oh V h) 0, m. Beräkna standardavvikelsen för arean A. p) 7. Låt X, X, X vara oberoende normalfördelade s.v. sådana att E X ) µ 0, E X ) µ, E X ) µ ; Var X ) 4, Var X ), Var X ). Låt Y 5X + 4X X. Bestäm talet b sådant att P Y b) 90% p) 8. Ett bostadsområde planeras för 500 hushåll. En undersökning visar att antalet bilar per hushåll är 0,, eller med sannolikheten 0,, 0,4, 0, resp 0,. Hur många platser skal man planera om sannolikheten att alla bilar ska få plats skall vara 95%. p) 9. I en låda finns 5 röda 0 gröna oh 5 blå kulor. Vi tar 0 kulor på måfå med återläggning. Bestäm sannolikheten att vi får exakt) 5 röda, gröna oh blå kulor. Svaret kan innehålla n binomialkoeffiienter. Motivera svaret. p) k Lyka till!

3 FACIT. För händelserna A oh B gäller att P A B) 0, 8, P A B) 0, oh P B) 0, 5 a) Bestäm sannolikheten P A ) b) Bestäm sannolikheten P A B ). ) Avgör om A oh B är oberoende händelser. p) a) Från P A B) P + P B) P A B) får vi 0,8 P + 0,5 0. P 0,6 Därmed P A ) P 0, 4. b) Från ovanstående diagram har vi P A B ) P P A B) 0,6 0, 0, ) P A B) 0. oh P P B) 0,6 0,5 0, P A B) P P B) A oh B är oberoende händelser Svar: a) P A ) 0. 4 b) P A B ) 0, ) A oh B är oberoende händelser Rättningsmall: p för varje del. Till en telefonväxel ankommer i genomsnitt,5 anrop per minut. Vi antar att ankomster är Poissonfördelade. Bestäm sannolikheten att minst 5 anrop kommer under ett tidsintervall som är minuter långt. p) a) Under min. intervallet ankommer i genomsnitt λ Låt X vara antalet anrop under ett min.-intervall. Pminst 5 anrop kommer under ett tidsintervall som är minuter långt) P X 5) P X < 5) P X 0) + P X ) + P X ) + P X ) + P X 4) 0 4 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ e + e + e + e + e där λ ) 0!!!! 4! { } 0,80 Svar: 0,80 Rättningsmall: p för korrekt metod men fel beräkning. p om allt är korrekt.. Man vill jämföra två metoder för mätning av en vis variabel som anses normalfördelad med okänd standardavvikelse. Man har parvis gjort 5 mätningar under samma villkor oh fått följande observationer.

4 Metod Metod Kan man med 95 % sannolikhet påstå att det finns skillnad mellan metoderna? p) Först beräknar vi differensen Z Metod Metod Metod Metod Z -6 - oh därefter medelvärdet z 0,4 oh standardavvikelsen n n i * σ z ). 8 i z,45 Eftersom n5 har vi n- 4 frihetsgrader. α 5 % 0.05 α / 0,05 dvs Fx) 0,975 Från tabellen för t-fördelning med r4 frihetsgrader får vi t α / n ),776 * σ,45 Härav tα / n ),776 4, felmarginal) n 5 Konfidensintervall är * * σ σ z tα / n ), z + tα / n ) ) [ 4,665;.865] n n Intervallet innehåller 0) Vi kan inte med 95% säkerhet påstå att det finns skillnad mellan metoderna.) Svar:Vi kan inte med 95% säkerhet påstå att det finns skillnad mellan metoderna. Rättningsmall: Korrekt intervall [ 4,665;.865] ger p. Korrekt intervall oh slutsatsen p 4. Ett nytt test av blod ger positivt utslag i 98% av fallen för smittat blod oh negativt utslag i 96% av fallen för osmittat blod. Av erfarenhet vet man att irka % av alla prover som genomförs har smittat blod. Vad är sannolikheten att ett blodprov som har gett positivt utslag verkligen är smittat? p) Låt S vara händelsen att blodprovet är verkligen smittat. Enligt uppgiften P S) 0,0. Låt O vara händelsen att blodprovet är verkligen osmittat. Enligt uppgiften P O) 0,97. Låt POS vara händelsen att blodprovet ger positivt utslag. Låt NEG vara händelsen att blodprovet ger negativt utslag. Enligt uppgiften har vi P POS S) 0,98 därmed P NEG S) 0, P NEG O) 0,96 därmed P POS O) 0,4

5 P POS S) Vi skall beräkna P S POS) P POS) Den totala sannolikheten för positivt utslag är P POS) P S) P POS S) + P O) P POS O) 0, ,068 Härav P POS S) P S POS) 0,4 P POS) 0,068 Svar: 4,% Rättningsmall: Korrekt total sannolikhet 0,068 ger p. Allt korrekt p 5. En elektronisk komponent fungerar dvs strömmen kan passera komponenten) med sannolikheten p0,70. Bestäm sannolikheten att nedanstående system, som består av 0 sådana komponenter. Vi menar att systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan A oh B.) Komponenter fungerar oberoende av varandra. p) K K K4 A K K K K5 K6 B K7 K8 K9 K0 Vi betraktar först Blok K K K4 K K5 K6 K7 K8 K9 K0 som består av fyra parallella vägar som fungerar med följande sannolikheter:

6 ppväg fungerar) p, ppväg fungerar) p, ppväg fungerar) p, p4 Pväg 4 fungerar) p, P ingen väg i Blok fungerar)-p)-p)-p)-p4) p ) p ) p) p ) PBlok fungerar) P ingen väg i Blok fungerar) p ) p ) p) p ) 0,9487 Slutligen, hela systemet fungerar om K, K oh Blok fungerar. Därför Psystemet fungerar)0,7*0,7*0,94870,4649 Svar:0,4649 Rättningsmall: Korrekt sannolikheten för Blok 0,9487 ger p. Allt korrekt p 6. Arean av en ylinder räknas med A r π + rhπ. Eftersom ett viss mätfel förekommer betraktar vi en mätning av basytans radien r som en stokastisk variabel med väntevärdet E r) 4 m oh variansen V r) 0, m. För höjden h har vi E h) 0 m oh V h) 0, m. Beräkna standardavvikelsen för arean A. p) Vi beräknar de partiella derivatorna av Arean A i punkten r, h) 4,0). Vi har A A 4 rπ + hπ, 4,0) 6π r r A A rπ, 4,0) 8π h h Enligt Gaussformel formelblad) har vi Variansen: A A V σ r + σ h 6π ) 0, + 8π ) 0, 405,4 r h Standardavvikelsen VVVVVVVVVVVVVV 7,489 Svar: 7,489 Rättningsmall: Korrekta värden av partiella derivator ger p. Allt korrekt p A 4,0) 6π oh r A 4,0) h 8π 7. Låt X, X, X vara oberoende normalfördelade s.v. sådana att E X ) µ 0, E X ) µ, E X ) µ ; Var X ) 4, Var X ), Var X ).

7 Låt Y 5X + 4X X. Bestäm talet b sådant att P Y b) 90% E Y ) 5E X ) + 4E X ) E X ) V σ y 6 Y ) 5 V X ) + 4 V X ) + ) V X ) 56 V Y ) 56,49 Alltså Y N6;,49) Slutligen bestämmer vi b så att P Y b) 0, 90 dvs b 6 Φ b) 0,90 Φ ) 0,90,49 Härav b 6,86 b 6 +,49,86 5,007,49 Svar: b5,007 Rättningsmall: Korrekt till Y N6;,49) ger p. Allt korrekt p 8. Ett bostadsområde planeras för 500 hushåll. En undersökning visar att antalet bilar per hushåll är 0,, eller med sannolikheten 0,, 0,4, 0, resp 0,. Hur många platser skal man planera om sannolikheten att alla bilar ska få plats skall vara 95%. p) Låt X k vara antalet bilar för hushåll k. Då är X k en diskrete s.v. med följande sannolikhetsfördelning: X k 0 P 0, 0,4 0, 0, Härav får vi väntevärdet EX k ),, variansen VX k )0,8 oh standardavvikelsen variansen 0,9. Antalet bilar i alla hushåll beteknar vi med Y. Då gäller Y 500 X k k. Enligt entralla gränsvärdessatsen är approximativt) Y N500,; 0,9 500) d.v.s. Y N650; 0,46) Kvarstår att bestämma b så att PY b) 0,95. b 650 PY b) 0,95 Fb) 0,95 F ) 0,95 0,46 Härav b 650,6449 b ,46, som vi avrundar uppåt). 0,46 Svar: 684 parkeringsplatser

8 Rättningsmall: Korrekt till standardavvikelse 0,9) i diskreta delen ger p. Korrekt till Y N650; 0,46) ger p. Allt korrekt p 9. I en låda finns 5 röda 0 gröna oh 5 blå kulor. Vi tar 0 kulor på måfå med återläggning. Bestäm sannolikheten att vi får exakt) 5 röda, gröna oh blå kulor. Svaret kan innehålla n binomialkoeffiienter. Motivera svaret p) k Notera att vi tar kulor med återläggning. Därmed är sannolikheten att få 5 en röd kula, varje gång vi drar en kula på måfå Kortare PR). Samma resonemang gäller för en gröna G) oh blå B) kulor: PG) oh PB) Sannolikheten för 5 röda, gröna oh blå kulor i ordning är därmed Vi kan ordna 5 röda, gröna oh blå kulor på 0! olika sätt 5!!! Därför är sannolikheten för 5 röda, gröna oh blå kulor i någon ordning) lika med 5 0! P !!! ! 5 Svar: P 5!!! Rättningsmall: Korrekt metod med mindre slarv fel p. Allt korrekt p