LINKÖPINGS UNIVERSITET TENTA 92MA31, 92MA37, 93MA31, 93MA37 / STN 2 9GMA05 / STN 1

Transkript

1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen TENTA 9MA31, 9MA37, 93MA31, 93MA37 / STN 9GMA5 / STN 1 1 juni 16, klockan Jour: Jörg-Uwe Löbus Tel: ) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk statistik utgiven av MAI, och ett ytterligare formel-blad ett blad med tet på båda sidorna). 1) a) Låt X N, 1). Bestäm P 1.13 X <.13)..5 p) b) Låt X N, 4), dvs. µ och σ 4. Bestäm P 1.13 X <.13)). 1p) c) Låt X N, 4). Bestäm P 1.13 X X >.13). 1.5p) ) Antag att avstånd mellan bilar på en landsväg i en riktning) kan antas vara oberoende och eponentialfördelade med väntevärde 1 meter. Tänk dig att du befinner dig i en bil på denna väg. Vad är sannolikheten att avståndet till den femtionde bilen framför dig är mellan 5 km och 5. km? Använd centrala gränsvärdessatsen. 3p) 3) Variablerna X och Y har den simultana täthetsfunktionen { e y y < f, y) annars. a) Bestäm f X ) och f Y y). Är X och Y oberoende? 1.5p) b) Beräkna sannolikheten P X + Y 1). 1.5p) 4) Man har gjort en undersökning av kolesterolhalten i blodet hos tio slumpvis utvalda män i åldern år. För varje person mättes halten dels omedelbart före en måltid, dels en timme efter. Måltidens innehåll och kvantitet var densamma för alla. Resultatet blev: person före måltid efter måltid differens z s z

2 Vi intresserar oss nu för differenserna före - efter, sett till hur hela populationen av män i den här åldersgruppen reagerar för en måltid av den här typen. Vi antar att alla mätvärden av differensen före måltid minus efter måltid är utfall av oberoende N, σ)-fördelade slumpvariabler. a) Ange det generella tvåsidiga) konfidensintervallet I för väntevärdet av differensen av två mätningar av typ stickprov-i-par. 1p) b) Beräkna ett 95%-igt konfidensintervall för den genomsnittliga kolesteroldifferensen och tolka resultatet. p) 5) Antag att andelen bilister som är alkoholpåverkade en lördagskväll är.4%. En viss typ av alkotest ger utslag i 99% av fallen då testpersonen verkligen är berusad. Sannolikheten är även.6% att alkotestet ger utslag givet att testpersonen är nykter. Polisen stoppar slumpmässigt en bilist en lördagskväll. a) Vad är sanolikhet att alkotestet ger utslag. 1.5p) b) Om alkotestet ger utslag, hur stor är sannolikheten att bilisten verkligen är berusad? 1.5p) 6) Låt X Bin,.4). Bestäm P X 16) approimativt med a) Poissonapproimation, 1.5p) b) normalapproimation. 1.5p)

3 Lösningar 1) a) Låt X N, 1). P 1.13 X <.13) Φ.13) Φ1.13) b) Låt X N, 4). P 1.13 X <.13) 1.13 P X µ <.13 ) 4 σ 4 P.175 Z <.35) Φ.35) Φ.175) Φ.35) + Φ.175) där Z N, 1). c) Låt X N, 4). Det gäller att P X >.13) X µ P >.13 ) σ 4 P Z > 1.35) P Z < 1.35) Φ1.35) Vidare har vi P 1.13 X >.13) 1.13 P X µ >.13 ) 4 σ 4 P.785 Z > 1.35) Φ.785) Φ 1.35) Φ1.35) Φ.785) Alltså P 1.13 X >.13) P 1.13 X X >.13) P X >.13) P 1.13 X <.13) P X >.13) ) Låt X i beteckna distansen mellan bil i 1 och bil i framör dig. Eftersom X i Ep1), så har vi E[X i ].1 km och V arx i ).1 km. Enligt Centrala gränsvärdessatsen är 5 i1 X i approimativt normalfördelad med E [ 5 i1 X ] i km och V ar 5 i1 X i) 5.1 km. Alltså gäller att ) P 5 X i 5. P 5.1 i1 P Z.88) ) 5 i1 X i där Z 5 i1 X i N, 1).

4 3) a) Det gäller att f X ) f, y) dy e y dy e, >. f Y y) f, y) d y e y d ye y, y >. Eftersom f, y) f X )f Y y) inte stämmer för alla, y >, är slumpvariablerna X och Y inte oberoende. c) För att beräkna P X + Y 1) rita först en figur av integrationsområdet. P X + Y 1) 1 e y dyd + e 1 ) d e d e y dyd e 1 e 1 + e 1 e 1 e 1. Alternativt, P X + Y 1) 1 P X + Y 1) 1 e y dyd 1 e e 1 )) d ) 1 1 e 1 + e 1 e 1 e 1. 4) a) Vi betraktar de tio skillnaderna som tio oberoende utfall av en slumpvariabel, vars väntevärde vi önskar ett konfidensintervall för. Medelvärdet antas vara normalfördelat, så att vi kan beräkna konfidensintervallets gränser ur formeln I z tn 1).5 s z n, z + tn 1).5 ) s z. n b) Vi har n 1 vilket ger tn 1).5.6. Vidare är z.4 och s z 7.93 varför konfidensintervallets gränser blir I 7.71, 3.63). Eftersom I kan vi inte hävda att, med konfidensgrad 95%, det finns en statistiskt säkerställt skillnad mellan kolesterolhalterna före måltid och efter måltid. 5) Låt A beteckna händelsen {bilist är alkoholpåverkad} och låt S beteckna händelsen {bilist är nykter}. Låt D vara händelsen att alkotestet ger utslag. a) Enligt lagen om total sannolikhet gäller det att P D) P D A)P A) + P D S)P S) b) Bayes formel medför att P A D) P D A)P A) P D)

5 6) a) Bin,.4) approimeras med P o.4) P o8). Om Y P o8) så fås P X 16) P Y 16).996 från tabellen. b) X Binn, p) Y Nµ, σ) om µ n p och σ n p1 p). Vi använder alltså Bin,.4) N8, 7.68). Vi får Y 8 P X 16) P Y 16) P 16 8 ) P X 16) eakt.) Φ.89).998.