Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen

Transkript

1 Matematisk statistik TMS64/TMS63 Tentamen Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof Elias, Betygsgränser: För betyg 3, 4 resp. 5 krävs minst 2, 8 resp. 24 poäng. För att bli godkänd på kursen krävs godkänt på tentan och godkänt resultat på båda flervariabel-duggorna. Till varje uppgift skall fullständig och välmotiverad lösning lämnas!. Låt A och B vara två godtyckliga händelser i ett utfallsrum Ω. Avgör om följande påståenden är sanna. Ange endast svar. a För alla händelser A, B så gäller: A B c = A c B c. b För alla händelser A, B så gäller: P A B P A + P B c A B = medför att A och B är oberoende. d P A B P A P B A P B poäng för varje rätt svar, poäng för varje felaktigt svar. Den totala poängen på uppgiften kan ej bli mindre än a Falskt: A B c = A c B c Rita ett Venn diagram för att se detta b Sant: P A B = P A + P B P A B P A + P B ty P A B c Falskt: A B = ger = P A B = P AP B vilket implicerar att A eller B måste ha sannolikhet. P A BP B P A d Sant: Detta fås av följande : P B A = vilket ger att om P A B P A så är högerledet givetvis mindre än P B. 2. Låt X vara en kontinuerlig stokastisk variabel med täthet f X t = c X, t [, 5] + t och låt Y vara en diskret stokastisk variabel med täthet Beräkna f Y s = a c X och c Y. + poäng c Y, s =,, 2, 3, 4, 5. + s b P 2 < X < 5 och P 2 < Y < 5. + poäng c E[X] och E[Y ]. + poäng

2 Lösning : a Konstanterna fås av följande: 5 5 c X = + s ds = / log6, c Y = / + i = /2.45. b För X så får vi P 2 < X < 5 = 5 log2 ds = log6 2 + s log6. För Y gäller P 2 < Y < 5 = P 3 Y 4 = 2.45 i= =.45/ c Väntevärdet av X fås av E[X] = 5 s log6 + s ds = 5 + s log6 + s + s ds = 5 log6. Liknande så fås väntevärdet av Y av E[Y ] = i= i + i = Låt Z = X, Y vara en stokastisk vektor som defineras enligt följande procedur. Låt X vara Bernoulli-fördelad med parameter p,, d.v.s X har marginaltäthet som ges av: Vidare, låt Y defineras av följande: P X = = p, P X = = p. Givet att X = så är Y exponential-fördelad med parameter λ =. Givet att X = så är Y likformigt fördelad på intervallet [, ]. Beräkna a P Y, X = poäng b Marginaltätheten av Y 3 poäng Ledning: Använd totala sannolikhetslagen c Väntevärdet av Y poäng a Bayes ger P Y, X = = P Y X = P X = = e p då P Y X = är exponential fördelad med parameter λ =. 2

3 b Vi söker : P Y y = P Y y X = P X = +P Y y X = P X =. Om y < så är högerledet. Om y > så är P Y y X = = vilket ger att för y > så har vi P Y y = e y p + p. För y [, ] så tillkommer endast fördelningsfunktionen för likformiga fördelningen: P Y y = e y p + y p. Sammanställer man allt så får man följande y < P Y y = e y p + y p y [, ] e y p + p y > Vilket efter derivering ger täthetsfunktion fy = d y < P Y y = e y p + p y [, ] dy e y p y > c Väntevärdet fås m.h.a b : E[Y ] = = p e 2 e yfydy = pye y + y pdy + + p + p 2 = p + p =. e pye y dy 4. a Låt x = x, x 2,..., x n vara ett observerat stickprov från Geomp. Härled maximumlikelihoodskattaren av p. 4 poäng b Är din skattare väntevärdesriktig? Motivera. poäng Ledning: räcker att titta på fallet n = Lösning a log-likelihoodfunktionen ges av n lp x = n logp + x i n log p vilket ger att maximum fås av den stationära punkten l p x = n p n x i n p = p MLE = n/ n x i. 3

4 b Av ledningen så ser vi att för n = så måste E[/X] = p gälla, för X Geomp. Detta är samma sak som k= k p pk = p Vi ser att vänsterledet kan skrivas som p p + k=2 k p pk = p + k=2 k p pk > p vilket implicerar att vår skattare ej är väntevärdesriktig. 5. Ett företag ska konstruera hissarna till Nya Karolinska. Som ett led i konstruktionen behöver man därav känna till den genomsnittliga vikten, µ, hos en besökare samt proportionen, p, av alla besökare som väger minst 95 kg. Man drar ett stickprov, x, på personer och skattar följande kvantiter x = 74.8, s = 5.2, n 95 = 9 där n 95 betecknar antalet personer vars vikt överskrider 95 kg. a Antag att vikten hos en person är normalfördelad med parametrar µ och σ. Beräkna ett två-sidigt konfidensinterval för µ vid en signifikansnivå.. 2 poäng b Beräkna ett två-sidigt intervall för proportionen p vid en signifikansnivå på.5. 2 poäng c Testa hypotesen för väntevärde H : µ = 77 med hjälp av konfidensintervallen i a. poäng a Ett två-sidigt konfidensintervall ges av x ± t α/2 s n 74.8 ± [7.8, 78.7] b Motsvarande konfidensintervall för p ges av 9 ˆp±z α/2 ˆp ˆp/n = ± / [.8,.7] c Vi ser att 77 [7.8, 78.7] vilket ger att vi inte kan förkasta H. 4

5 6. Låt X,..., X n vara ett stickprov draget från en stokastisk variabel X med E[X] = µ och VarX =. Antag att vi har följande hypoteser samt följande test: H : µ =, H : µ <, Förkasta H om där γ är en fix parameter. X = n n X i γ, i= a Vad blir testets approximativa signifikansnivå om n = 4 och γ =.8? 3 poäng b Vad blir testets approximativa styrka om det sanna väntevärdet är µ =.9 och n = 6 och γ =.8? 2 poäng Ledning: Använd centrala gränsvärdessatsen a Den approximativa signifikansnivån ges av α = P Förkasta H H sann = P X γ µ = Centrala gränsvärdessatsen säger nu att X approx N µ, n vilket ger att signifikansnivån är lika med: α P Z nγ µ = P Z b Testets approximativa styrka vid µ =.9 ges av β = P Förkasta H H falsk = P X γ µ =.9 I likhet med a så fås att centrala gränsvärdessatsen ger att X approx N µ, n Styrkan ges därmed i likhet med ovanstående uträkning av β P Z nγ µ = P Z