LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Transkript

1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 augusti 218, klockan Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: ) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk statistik utgiven av MAI, och ett ytterligare formelblad (ett blad med text på båda sidorna). (1) Betrakta två fabrikat av armbandsur (A och B) som båda har garantitid 1 år. De kan råka ut för felet att visarna lossnar. Sannolikheten att detta sker inom garantitiden är 1/5 för fabrikat A och 1/1 för fabrikat B. Fabrikat A säljs i 75 och B i 5 exemplar per år. (a) Låt X beteckna antalet av de 75 klockor av fabrikat A som säljs ett år och som får ovan nämnda fel inom garantitiden. Beräkna approximativt sannolikheten P (X > ). Ledning: Kom ihåg att Bin(n, p)-fördelning approximeras med P o(λ)-fördelning där λ n p. (1.5p) (b) Beräkna den betingade sannolikheten att en klocka är av fabrikat A givet att den fått felet inom garantitiden. (1.5p) (2) Antag att { c (x + y)e (x+y) < x <, < y < f(x, y) annars (a) Hitta c så att f är den simultana täthetsfunktionen av två stokastiska variabler X och Y. (1.5p) (b) Är X och Y oberoende? (1.5p) () På ett kontor har man satt in 12 nya lampor vars livslängd är exponentialfördelad med parametern λ. Tidsenheten är ett år. (a) Bestäm sannolikheten att en enskild lampa är hel efter ett halvår. (1p) (b) Beräkna sannolikheten att minst av lamporna är hela efter ett halvår. Lampornas lystid antages vara oberoende. (2p) (4) Låt X 1,..., X n vara oberoende likafördelade kontinuerliga stokastiska variabler med täthetsfunktion 1 + θx x π f(x) 2π, annars där θ ( (2π) 1, (2π) 1 ) är en parameter. (a) Betrakta ˆθ c 1 n n X i, där c är en godtycklig konstant. Bestäm c så att E[ˆθ] θ. (2p) i1.

2 (b) Beräkna variansen för ˆθ c 1 n n i1 X i där c är värdet du fick i (a)-uppgiften. (1p) (5) Man har två reläer som är inställda för utlösning respektive 4 sekunder efter en impuls. Utlösningstiderna är ej konstanta utan normalfördelade och oberoende. Utlösningstiden av det första reläet har väntevärde och standardavvikelse.4. Utlösningstiden av det andra reläet har väntevärde 4 och standardavvikelse.5. Bestäm sannolikheten för att det andra reläet utlöses före det första om de samtidigt utsätts för en impuls. (p) (6) En telefonoperatör jobbar med att svara i telefon. Han börjar jobba klockan 8. på morgonen och får gå hem när han besvarat 1 samtal. Samtalen kommer enligt en Poissonprocess med intensitet 1.5 samtal/timme. (a) Vad är sannolikheten att det inte kommer några samtal innan kl. 1.? (1p) (b) Vad är sannolikheten att telefonoperatören sitter kvar efter kl. 16.? (1p) (c) Det kom ett samtal klockan 1.. Vad är den förväntade tiden (dvs. väntevärde för tiden) då nästa samtal kommer? (1p)

3 Lösningar (1) (a) X Bin(75, 1/5) P o(1.5), så P (X > ) 1 P (X ) 1 P (X k) k ( ) 1 e !!.656. (b) Låt A {klockan är av fabrikat A}, B {klockan är av fabrikat B} och F {klockan har fått ett fel}. För en klocka som är slumpvist vald bland de klockorna av fabrikat A eller B gäller P (A F ) P (F A)P (A) P (F ) P (F A)P (A) P (F A)P (A) + P (F B)P (B) 4. (2) (a) () (a) f(x, y) dxdy c som medför att c 1 2. (b) Det gäller att c c 2c 2c, f X (x) 1 2 (x + y)e (x+y) dx dy x e (x+y) dx dy + c x e x e y dy dx + c x e x dx (x + y)e (x+y) dy 1 x e (x+y) dy + 1 y e (x+y) dy x e x e y dy e x y e y dy 1 2 (x + 1) e x, x >. y e (x+y) dx dy y e y e x dx dy På samma sätt, f Y (y) 1 2 (y + 1) e y, y >. Eftersom f(x, y) f X (x)f Y (y) för alla x, y > inte gäller, så är slumpvariablerna X och Y inte oberoende. P (en enskild lampa hel efter ett halvår) e.5 e (b) Låt X antal hela lampor efter ett halvår Bin(12, e 1.5 ) N(12 e 1.5, (12 e 1.5 (1 e 1.5 )) 1/2 ) N(26.78, 2.8) enligt centrala gränsvärdessatsen. Det

4 är rimligt att använda den centrala gränsvärdessatsen här eftersom np(1 p) > 1 i binomialfördelningen. P (X ) 1 P (X 29) ( X P P (Z.49) 1 Φ(.49).1 ) där Z N(, 1). (Om man tar hänsyn till approximationskorrektionen får man P (X ) 1 Φ(.6).27. ) (4) (a) Vi ska bestämma c så att E[ˆθ] θ. Vi behöver räkna ut väntevärdet av X 1 n n i1 X i. E( X) E(X) θπ2. xf(x) dx x 1 + θx 2π dx 1 [ ] x 2 π 2π 2 + θx Det medför att c /π 2. (b) Nu ska vi bestämma variansen för ˆθ c X där c är värdet som vi fick i (a)- uppgiften. Variansen definieras som V ar(ˆθ) c 2 V ar( X) c2 n V ar(x) 9 ( E(X 2 ) (E(X)) 2) π 4 n ( 9 ( ) ) θπ E(X ). π 4 n Vi ska nu räkna ut andramomentet av X. E(X 2 ) Variansen av ˆθ blir π2. x 2 f(x) dx x θx 2π V ar(ˆθ) 9 π 4 n π2 ( θ 2 π 2 ) 9 dx 1 [ ] x π 2π + θx4 4 π 2 n θ2 n. (5) Beteckning: X 1 utlösningstiden för det första reläet, X 2 utlösningstiden för det andra reläet. Eftersom P (X 2 < X 1 ) P (X 2 X 1 < ), kan vi betrakta en ny stokastisk variabel Y X 2 X 1 och bestämma P (Y < ). Det gäller att m : E(Y ) E(X 2 X 1 ) 4 1 V (Y ) ( 1) σ : D(Y ) Alltså Y N(1,.64). Nu har vi ( ) m P (X 2 < X 1 ) P (Y < ) Φ σ ( ) 1 Φ Φ( )

5 (6) Låt X(t) beteckna antalet samtal mellan kl. 8. och kl. 8. +t. Det gäller att X(t) P o(1.5t). (a) P (X(2) ) e.5. (b) P (X(8) 9).2424, eftersom om telefonoperatören sitter kvar efter kl. 16. så har som mest 9 samtal kommit innan denna tid. Värdet kan hittas i tabell. (c) Tiderna mellan samtalen är Exp(1.5) fördelade. En sådan s.v. har väntevärde 1/1.5 2/ timmar, dsv. 4 minuter. Nästa samtal förväntas komma kl