1. En kortlek består av 52 kort, med fyra färger och 13 valörer i varje färg.

Transkript

1 Tentamenskrivning för TMS63, Matematisk Statistik. Onsdag fm den 1 juni, 16, Eklandagatan 86. Examinator: Marina Axelson-Fisk. Tel: Tillåtna hjälpmedel: typgodkänd miniräknare, tabell- och formelhäfte utdelas). ************************************************************************ Tentan är på totalt poäng: 4 poäng på matstat-delen, 1 poäng på flervariabeldelen. För att bli godkänd krävs godkänt på båda delarna. Betygsgränser för betyg 3, 4 och är 4%, 6% och 8%, respektive. Betygen på de båda delarna vägs samman. Fullständiga och välmotiverad lösningar skall ges till varje uppgift. Del I: Matematisk Statistik 1. En kortlek består av kort, med fyra färger och 13 valörer i varje färg. a) En kåk i poker är när 3 kort har en gemensam valör, och två kort har en annan gemensam valör tex 3 kungar och två ess). Om man får fem kort, vad är sannolikheten att få kåk? 4p) b) Vad är sannolikheten att kåken består av 3 ess och två kungar?. En urna innehåller 3 röda och blåa bollar. En boll dras. Om bollen är röd behålls den och en ny boll dras. Om bollen är blå läggs den tillbaka och ytterligare en röd boll läggs i urnan, och ytterligare en boll dras. a) Vad är sannolikheten att båda bollarna är röda? b) Om den andra bollen är röd, vad är sannolikheten att den första bollen var blå? p) 3. Låt X och Y vara två oberoende stokastiska variabler med X N3, 4) och Y Bin,.). Beräkna väntevärde och varians för den stokastiska variabeln Z 3X Y. p) 4. Antag att X och Y är kontinuerliga stokastiska variabler med gemensam täthetsfunktion f XY x, y). För vilken/vilka av följande tätheter är X och Y oberoende. Motivering krävs. a) f XY x, y) 4x y 3. b) f XY x, y) 1 x3 y + xy 3 ). c) f XY x, y) 6e 3x y.. Antag att bakgrundsstrålningen i Göteborg följer en kontinuerlig fördelning med täthetsfunktion fx) xθe 1 θx, x. För ett stickprov från fördelningen, ange en Maximum Likelihood-skattning av θ. 6p) 6. En statistiker drar 7 datum slumpmässigt och kontrollerar beläggningen på ett givet hotell under dessa datum. Det visar sig att stickprovsvariansen är s.86. Antag att antal uthyrda rum är normalfördelad och ange ett 9%- konfidensintervall för den teoretiska variansen σ. 4p) Var god vänd! 1

2 7. Vi låter X och Y vara stokastiska variabler för tjäran i mg) i röken från cigaretter, med respektive utan filter. Antag att X Nµ X, σx ) och Y Nµ Y, σy ). Antag att vi fick följande stickprov Med filter x i Utan filter y i Testa på signifikansnivå α. om det är någon skillnad mellan cigaretttyperna. 6p) Del II: Flervariabelanalys 8. Ange definitionsområdet D f för funktionen fx, y) ln + xy). Skissa även området D f och de tre nivåkurvor till fx, y) som går genom 1, 1), 1, ) respektive 1, ). 9. Massan av en kropp K med densiteten δx, y, z) kan beräknas genom en trippelintegral; δx, y, z) dv Bestäm massan av den kropp K som begränsas nedåt av konen z x + y och uppåt av sfären x + y + z 4 då kroppens densitet ges av δx, y, z) z 1. Beräkna kurvintegralen C K y ds då C är den kurva i rummet som beskrivs av parametriseringen rt) i + t j + tk, t. 3p) 4p) 3p) Lycka till!

3 Lösningar Del I: Matematisk Statistik 1. a) Första valören kan väljas på ) olika sätt. I valören väljer vi 3 kort på ) olika sätt. Den andra valören kan sedan väljas på 1 ) 1 1 sätt, och två kort i valören väljs på 4 ) 6 olika sätt. Med andra ord kan en kåk väljas på sätt. För sannolikheten för kåk behöver vi dividera antalet med totala antalet sätt att välja kort, dvs ) sätt. Vi får P kåk) b) Formuleringen i den här uppgiften var otydligt och därför ger jag rätt för två olika tolkningar. Man kan antingen tolka det som Fall I: Vad är sannolikheten att få en kåk med tre ess och två kungar? Fall II: Givet att vi har fått en kåk, vad är sannolikheten att den består av tre ess och två kungar? Båda uträkningar ger rätt och skiljer sig bara i vad vi skriver i nämnaren. I täljaren har vi antal sätt att få kåk på med tre ess och två kungar. Det finns 1 sätt att välja valören ess, men de tre essen kan väljas på 4 3) 4. På samma sätt kan valören kung väljas på endast 1 sätt, men de två kungarna på 4 ) 6 sätt. Fall I. Sannolikheten blir P 3 kungar och ess) Fall II: Nu är det givet att vi redan har en kåk, så betingning ger oss P 3 ess o kungar kåk) P kåk med 3 ess och två kungar) P kåk) 4 6/ / Låt R 1 första röd, R andra röd, B 1 första blå och B andra blå. Vi får a) b) Bayes formel ger och P R 1 R ) P R 1 )P R R 1 ) P B 1 R ) P R B 1 )P B 1 ) P R ) P R B 1 )P B 1 ) P R R 1 )P R 1 ) + P R B 1 )P B 1 ) P R B 1 ) 4 6, P B 1), P R R 1 ) 4, P R 1) 3 så vi får P B 1 R )

4 3. Väntevärde och varians av Z 3X Y där X N3, 4) och Y Bin,.). Först har vi att E[X] 3, V X) 4, E[Y ].., V X).1.) 1. E[Z] E[3X Y ] 3E[X] E[Y ] V Z) V 3X Y ) 9V X) + 4V Y ) X och Y är oberoende om f XY x, y) f X x)f Y y). a) Oberoende: f XY x, y) kan separeras till en produkt f X x) ax och f Y y) by 3 där ab 4. b) Inte oberoende: f XY x, y) kan inte separeras till en produkti x och y. c) Oberoende: f XY x, y) kan separeras i en produkt f X x) ae 3x och f Y y) be y där ab 6.. Likelihoodfunktionen är Lθ) Log-likelihoodfunktionen blir lθ) ln Lθ) och vi får dlθ) dθ n fx i ) n x i θe 1 θx i ln x i + ln θ 1 ) θx i dlθ) dθ n θ 1 ln x i + n ln θ 1 n θ x i ˆθ n Från stickprovet har vi att n 8 och n x i så ˆθ Vi har att n 7 och s.86, och vet att ett konfidensintervall av σ ges av n 1)s χ σ n 1)s n 1,α/ χ. n 1,1 α/ Från χ 6-tabell får vi χ 6, χ 6, x i i x i Vi får så ett 9%-konfidensintervall blir 3.63 σ

5 7. Vi vill alltså testa H : µ X µ Y mot H 1 : µ X µ Y och eftersom varianserna är okända använder vi teststatistikan Vi har att X T Ȳ s X n X + s Y n Y n X 9 n Y 11 X.69 Ȳ x i. y i.4 så vi får att s X s Y ) ) T och T t γ där γ skattas med ˆγ s X n X ) + s Y n Y ) s ) s X Y n X n X 1 + n Y n Y ) ) ) ) Med α. får vi t 17, och eftersom T >.11 förkastar vi H. Det verkar vara skillnad mellan cigarett-sorterna.

6 Del II: Flervariabelanalys 8. fx, y) ln + xy) är definierad då + xy > så D f {x, y) R : xy > }. Definitionsområdet och de tre nivåkurvorna är markerade i följande figur D f är hela planet utom det som är färgat med ljusblått): 9. Övergång till sfäriska koordinater ger; δx, y, z) dv π/4 1. C π K ) ) ρ cos φρ sin φ dθ dφ K z dxdydz [ 1 dρ π sin φ ] π/4 y ds t + t) + dt t t + 1 dt [ t + 1 ) 3/] ) [ ] 1 4 ρ4 π 6