Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
|
|
- Per-Erik Hermansson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika situationer där vi börjar med att titta på framförallt skillnader mellan olika mätningar. En rimlig fråga är om det föreligger någon skillnad mellan till exempel väntevärden för två stycken stickprov. Antag att vi har två slumpmässiga stickprov från två normalfördelningar. Vi vet inte direkt om fördelningarna har samma parametrar, så situationen skulle kunna se ut enligt följande. µ µ x Hur avgör vi om till exempel µ µ? Eller snarare om det är så att µ µ? Eller kanske om µ > µ? Går det att avgöra om varianserna skiljer sig åt? Vad gör vi om inte stickprovet är från en normalfördelning? Linjärkombinationer av normalfördelningar Låt X,..., X m och Y,..., Y n vara oberoende slumpmässiga stickprov från Nµ, σ respektive Nµ, σ. Om c och c är konstanter, kan vi hitta ett konfidensintervall för linjärkombinationen c µ + c µ? Svaret beror på vilka antaganden vi gör. Vi börjar med att hitta en lämplig stokastisk storhet. Vi ser att Ec X + c Y c µ + c µ och V c X + c Y c så eftersom vi har oberoende normalfördelade variabler gäller att σ m + c σ n, Z c X + c Y c µ + c µ N,. c σ σ m n Om vi känner σ och σ räcker detta för att ställa upp ett resultat.
2 . Känd varians Antag att följande värden är uppmätta. Kända varianser x i y i Låt x i vara observationer av stokastiska variabler X i Nµ, 4 och y i observationer av stokastiska variabler Y i Nµ, 9, där samtliga variabler är oberoende. Ange ett 95% konfidensintervall för µ µ. Lösning: Låt W X Y. Varför? Denna storhet har egenskapen att EW EX EY µ µ, vilket är precis vad vi är intresserade av. Vidare är En lämplig teststorhet ges av V W V X + V Y Z W µ µ V W N,. Obligatorisk principfigur! y λ α/ λ α/ x Eftersom kan vi ur olikheten lösa ut sambandet P λ α/ < Z < λ α/ α W λ α/ V W < µ µ < W + λ α/ V W. Vi skattar W med w x y Ur tabell finner vi att Φ , så λ α/.96. Alltså blir intervallet I µ µ , , Vad säger detta oss? Jo, att med 95% säkert så ligger det verkliga värdet för µ µ i intervallet 33.85, Till exempel ser vi att noll inte finns med i intervallet, så det måste vara så att µ > µ med hög säkerhet!
3 . Okända men likadana varianser σ σ Så om vi inte känner till vad varianserna är behöver vi skatta dessa. Om vi dessutom antar att σ σ får vi ett enklare resultat, så vi börjar med det. Om vi nyttjar att σ σ σ i ekvation erhåller vi att Z c X + c Y c µ + c µ N,. c σ + m c n Men vi vet fortfarande inte vad σ är, så vi ersätter σ med stickprovsstandardavvikelsen s. Eftersom vi har två stickprov viktar vi ihop dessa på sedvanligt sätt: s m s + n s. m + n Motsvarande stickprovsvariabel S uppfyller som bekant att och enligt Gossets sats blir T c X + c Y c µ + c µ tm + n. c S + m c n m + n S σ χ m + n Okänd varians Samma siffror som i exemplet ovan, men nu vet vi inte vad standardavvikelserna är. Antag att de är lika, dvs att σ σ σ. Finn ett 95% K.I. för µ µ inte samma uttryck som sist!. Kan du säga något om påståendet att µ > µ? Lösning: Vi antar alltså här att X i Nµ, σ och Y i Nµ, σ. Vi kan skatta varianserna för varje serie med de vanliga stickprovsvarianserna, så s n n i är kända storheter. Dessa viktas ihop enligt Det följer nu att x i x och s m s n s + m s. n + m m y i y T c X + c Y c µ + c µ tn + m. c S + n c m c Låt k : n + c m. Snarlikt med fallet där vi kände varianserna kan vi stänga in T : i P t α/ n + m < T < t α/ n + m α där vi ur olikheten kan lösa ut sambandet T t α/ n + m S k < c µ + c µ < T + t α/ n + m S k. Vi har n 5 och m 8, så m+n frihetsgrader. Ur tabell finner vi att t.5.. 3
4 y t α/ t α/ x Vi kan räkna ut stickprovsvarianserna för x i och y i separat med formel eller miniräknare. Vi erhåller s 7.8 och s 49.9 små bokstäver, ej stokastiskt!. Den sammanvägda standardavvikelsen blir då 4s + 7s Vidare är c och c, så s k c n + c m Alltså blir c t.5 s n + c m Vi kan också räkna ut att x y 4., så det sökta intervallet ges av I µ µ , ,.8. Vi ser att noll ej ingår i intervallet, så det förligger troligt att µ > µ..3 Okända varianser σ σ Ha ha. Well.. vi har inget användbart exakt samband, men det finns metoder för att hantera även denna situation. Dessa metoder ligger utanför denna kurs, men det kanske kan vara intressant att ha hört talas om dem. Problemet ligger i att uppskatta frihetsgraden ν för tν- fördelningen. Man kan visa Welch-Satterthwaite-ekvationen att S + S appr. s χ / ν, där ν + s n n n n n Därifrån kan vi till exempel använda att s 4 n + n s 4 n. T X Y µ µ S n + S n appr. tν för att ställa upp ett konfidensintervall för µ µ. 4
5 3 Stickprov i par Om stickproven X,..., X m och Y,..., Y n inte är oberoende får vi problem. Åtminstone om inte beroendet är känt. Låt oss betrakta ett vanligt förekommande exempel, nämligen stickprov i par. Av nödvändighet är då m n så stickproven har samma storlek. Vi tänker oss att x k är observationer från X k Nµ k, σ och Y k Nµ k +, σ. Typexemplet är när vi mäter något före och efter en förändring. Bilda nu ett nytt stickprov Z k av oberoende variabler: Z k Y k X k N, σ, för något σ. Vi är nu tillbaka där vi var föregående föreläsning, så de tekniker vi utvecklade där fungerar även nu. Exempel Preparat mot hjärnbrist. Mätningar i lämplig enhet före och efter behandling hos nio patienter. Person Före Efter Bestäm ett 99% KI av den genomsnittliga effekten hos preparatet. Kan du styrka att det fungerar? Lösning: Låt x i vara värde före behandling för person i och y i motsvarande efter. Vi antar att olika personer är oberoende och att x i är observationer från X i Nµ i, σ och Y i Nµ i +, σ. Bilda Z i Y i X i N, σ. Vi har nu en enda serie z i y i x i som ges enligt z i Vi räknar ut s.7886 och z.. Vidare är n 8 och α., så t α/ 8 t Alltså, I / 9, / 9.66,.. Eftersom nollan finns med kan vi inte förkasta att med 99% säkerhet. Preparatet kan alltså vara verkningslöst. 4 Jämförelse av varianser The box. You opened it. We came. Pinhead Vi antog tidigare att stickproven hade samma varians för att kunna ställa upp en lämplig teststorhet. Hur vet vi det? Kan vi på något sätt avgöra om det antagandet är rimligt? Vi vill alltså jämföra varianserna för två stickprov och för att göra det behöver vi introducera en ny fördelning ljuva lycka!. 5
6 4. F-fördelningen F-fördelning Definition. Vi kallar X Fd, d F-fördelad med frihetsgraderna d > och d > om f X x B d, d d d d x d + d d +d x, x, d där Ba, b Γa Γb Γa + b är beta-funktionen. Notera att X Fd, X χ d..5 y d, d d, d d 3, d 5 d 4, d 6 d 5, d d 8, d d, d d, d x Sats. Om V χ d och V χ d är oberoende så gäller att V /d V /d F d, d. Bevis. Vi börjar med att betrakta hur man kan hitta täthetsfunktionen för kvoten Z X/Y av två oberoende stokastiska variabler X och Y. Vi antar att respektive täthetsfunktion är kontinuerlig. Det gäller att f X,Y x, y f X xf Y y och X F Z z P Y z P X Y z, Y > + P X Y z, Y < ˆ yz f X,Y x, ydx dy + f Y yf X yz dy + ˆ 6 ˆ yz f X,Y x, ydx dy f Y y F X yz dy,
7 från vilket det följer att f Z z d dz F Zz y f Y yf X yz dy. yf Y yf X yz dy + ˆ yf Y yf X yz dy Vi noterar även att för r > gäller att X P r x P X rx f X/r x rf X rx. Således ges täthetsfunktionerna för V /d och V /d av och f V /d x f V /d y d d / d / Γ d x d/ e dx/, x d d / d / Γ d y d/ e dy/, y, så enligt resultatet ovan för kvoten V /d erhåller vi att V /d f Z z yf V /d yf V /d yz dy d d / d d / z d / d +d / Γ d Γ d y d /+d / e yd +d z/ dy / / u yd + d z variabelbyte: dy d + d z du d d / d d / z d/ d + d z d +d / d +d / Γ d Γ d d d / d d / Γ d +d Γ d Γ d z d / d + d z d +d / u d +d / e u/ du eftersom ˆ d +d / Γ d +d u d +d / e u/ du då detta är integralen av täthetsfunktionen för en stokastisk variabel U χ d + d. Vi kan hyffsa till slutresultatet för f Z z genom att bryta ut d ur d + d z d +d / och använda beta-funktionen: f Z z d d / z d/ d d / + d d +d / d z B d, d vilket är precis vad vi ville visa. d d B d, d d / z d / + d d +d / z, d 7
8 Sats. Om X Fd, d så är EX d d, d >, och V X d d + d d d d 4, d > 4. Bevis. Välj två oberoende stokastiska variabler V χ d och V χ d. Eftersom vi visade ovan att V /d F d, d följer det att V /d / V /d V EX E och V / oberoende E V /d d d där vi nyttjat att EV d. Vi beräknar E/V : ˆ [ E c x d/ e x/ dx c d / xd / e x/ V d f V x dx d, under förutsättning att d >. Således blir d V d ] E V d V + d d d E, d V x d/ e x/ dx EX d d om d >. När det gäller variansen använder vi ett analogt resonemang: V /d V X V d V E V E V /d d V V / / V och V oberoende d E V E E V E d V V + EV d d E V d d d + d d d E V d eftersom V V d och vi använt resultatet för E/V ovan. Vi partialintegrerar nu för att beräkna E/V : ˆ E c x k/ 3 e x/ dx V [ ] c d / xd / e x/ + x d/ e x/ dx d 4 d 4 E d 4d, om d > 4 och vi nyttjat kalkylen för E/V ovan. Alltså blir V X d d + d d d 4d d d vilket var precis vad vi ville visa. V d d + d d d d 4, V 8
9 Sats. Om X F d, d så är /X F d, d. Bevis. Låt V /X och antag att v >. Då gäller att F V v P /X v P X /v F X /v f V v v f X/v, så f V v v B d B d, d d, d d d B d, d eftersom Ba, b Bb, a. Således är V F d, d. d d d d / d / + d d +d / v d v d / d /+ d +d / d d v + v d v d d / d +d / v d / + d d v d +d / Sats. Om T tn så är T F, n. Bevis. Låt V T och antag att v. Då gäller att F V v P T v P v T v F T v F T v, så f V v F V v v f T v v f T v v / + v n f T v Γ n+ v v nπ Γ n Γ n + / Γ Γ n v / + v n+/ n n / B, v / + n+/ n n n v, eftersom f T t f T t och Γ/ π. Således är V F, n. n+/ 4. Jämförelse av två varianser Låt X,..., X n och Y,..., Y n vara oberoende slumpmässiga stickprov från Nµ, σ respektive Nµ, σ. Då vet vi att n S σ Det följer då enligt ovan att χ n och n S σ χ n. F S /σ S /σ F n, n. 9
10 Exempel Betrakta det tidigare exempel igen, där vi hade x i y i Antag att x i är oberoende observationer av Nµ, σ och att y i är oberoende observationer av Nµ, σ. Ange ett 95% konfidensintervall för σ /σ. Lösning. Låt F S /σ. På grund av antagandet följer det att F F 4, 7. Vi söker ett S/σ konfidensintervall med konfidensgrad 95% så vi behöver gränser a och b så att P F < a.5 och P F > b.5. Ur tabell finner vi att a. och b 5.56 i Matlab finv[.5.975], 4, 7. Notera att tabeller oftast endast innehåller värden för sannolikheter.5. Anledning till det är att vi kan använda att F F m, n F n, m. F Konkret för oss just nu blir det således.5 P F < a P a < P F F a Vi försöker nu lösa ut σ /σ : a < S /σ S /σ S S σ σ < b b Vi skattar nu S och S med respektive stickprovsvarians: S S < σ σ s 7.8 och s Ett konfidensintervall för σ/σ ges alltså av 7.8 I , , Vill vi ha ett konfidensintervall för σ /σ tar vi helt enkelt roten ur gränserna: P < a I σ /σ.658, ,.865. F.975. a I Matlab kan man använda funktionen vartest för att skapa konfidensintervallet. >> x [ ]; >> y [ ]; >> [H P CI] vartestx,y,.5, both H P.345 CI Vad H och P representerar kommer vi till på nästa föreläsning. S S.
11 5 Konfidensintervall via CGS Så vad gör vi om stickprovet inte är från en normalfördelning? 6 Stickprov för andel Exempel Ett företag som sysslar med opinionsanalys väljer slumpmässigt ut 4 vuxna i Sverige och frågar om de har åsikt A. Av dessa svarar 8 ja alla svarar. Bestäm ett approximativt 95% konfidensintervall för andelen av den stora populationen som håller åsikt A. Lösning. Vi låter X vara antalet som svarar ja. Då är egentligen X HypN, 4, p, där N är antalet vuxna i Sverige rimligen ca 8 miljoner. Då 4 8 är det helt rimligt att anta att X appr. Bin4, p. Vi vill skatta den okända andelen p och väljer som skattningsvariabel P X 4 Vi har observerat att p 8/4.. Binomialfördelningen är lite jobbig eftersom den är diskret, så vi försöker oss på en approximation. Eftersom 4 p p är ordentligt större än är det rimligt att approximera binomialfördelningen med normalfördelning. Alltså, P appr. Np, p p/4. Låt oss bilda Z P p p p/4 appr. N,. Observera att vi ersatt med det skattade värdet på p i kvadratroten men inte i täljaren. Vi nyttjar här alltså medelfelet d, dvs d P p p/4.. Vi kan nu räkna precis som om vi känner standardavvikelsen exakt, så om vi söker ett approximativt 95% K.I. erhåller vi I p..96., ,.4. 7 Jämförelse av två andelar Antag att vi har två maskiner. Vid uppmätning fann man att Maskin producerade defekta enheter av 4, och att Maskin producerade 6 defekta enheter av 6. Modell: Låt X vara antal defekta enheter från Maskin och Y antal defekta enheter från Maskin. Under lämpligt oberoendeantagande vet vi att X Bin4, p och Y Bin6, p där p och p är de verkliga felsannolikheterna. Vi skattar lämpligen med P X 4 och P Y 6.
12 Vi har observerat att p /4.5 och p 6/6.. Alltså är p p.5. Är detta signifikant? För att svara på frågan behöver vi räkna lite sannolikheter. Eftersom både n p p och n p p är mycket större än är det rimligt att approximera binomialfördelningen med normalfördelning. Alltså, appr. P N p, p p 4 och appr. P N p, p p. 6 Då följer det att Vi bildar nu P P appr. N p p, p p + p p. 4 6 Z P P p p p p /4 + p p /6 appr. N,. Observera att vi ersatt med skattade värden på p och p i kvadratroten men inte i täljaren. Det blir fortfarande approximativt men lite sämre så klart normalfördelat, men underlättar mycket för beräkningar. Vi har p p /4 + p p /6.64. Vi kan nu räkna precis som om vi känner standardavvikelsen exakt, så om vi söker ett approximativt 95% K.I. erhåller vi I p p , ,.. Endast negativa värden, så p < p med hög sannolikhet! Maskin är antagligen sämre.
9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merThomas Önskog 28/
Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta
Läs mer10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov
TNG006 F0-05-06 Konfidensintervall för linjärkombinationer 0. Konfidensintervall vid två oberoende stikprov Antag att X, X,..., X m är ett stikprov på N(µ, σ ) oh att Y, Y,..., Y n är ett stikprov på N(µ,
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merTMS136. Föreläsning 13
TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra
Läs merTentamen i matematisk statistik (92MA31, STN2) kl 08 12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (92MA1, STN2) 21-1-16 kl 8 12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012
Läs merFöreläsning 3: Konfidensintervall
Föreläsning 3: Konfidensintervall Johan Thim (johan.thim@liu.se) 5 september 8 [we are] Eplorers in the further regions of eperience. Demons to some. Angels to others. Pinhead Intervallskattningar Vi har
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs mer, s a. , s b. personer från Alingsås och n b
Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs merb) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.
Läs merF14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva
Stat. teori gk, ht 006, JW F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10., 10.4-10.5, 11.5) Hypotesprövning för en proportion Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva H 0 : P = P 0 mot någon av H 1 : P P 0 ; H
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merFöreläsning 6: Hypotestester (forts.)
Föreläsning 6: Hpotestester (forts.) Johan Thim (johan.thim@liu.se) 4 november 018 Vi fortsätter nu ekursionen i hpotesernas förlovade land. Fokus kommer vara på den vanligaste tpen av hpotestester, nämligen
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs merTMS136. Föreläsning 10
TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis
Läs merFöreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall
Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F9: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett stickprov, x 1, x 2,...,
Läs merFöreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall Stas Volkov 2017-11-7 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F11: Konfidensintervall
Läs merF9 Konfidensintervall
1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH INTERVALLSKATTNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 24 april 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 11 INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 24 april 2018 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Vad är en intervallskattning? (rep.) Den allmänna metoden för
Läs merTMS136. Föreläsning 11
TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 06 FACIT: Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 07-0-04 kl..0-.0 Examinator
Läs merFöreläsning 5: Hypotesprövningar
Föreläsning 5: Hypotesprövningar Johan Thim (johan.thim@liu.se) 24 november 2018 Vi har nu studerat metoder för hur man hittar lämpliga skattningar av okända parametrar och även stängt in dessa skattningar
Läs merUppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merF3 Introduktion Stickprov
Utrotningshotad tandnoting i arktiska vatten Inferens om väntevärde baserat på medelvärde och standardavvikelse Matematik och statistik för biologer, 10 hp Tandnoting är en torskliknande fisk som lever
Läs merFöreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2
Föreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2 Kasper K. S. Andersen 4 oktober 208 Jämförelse av två väntevärden Ofte vil man jämföra två eller fler) produkter, behandlingar, processer etc. med varandra.
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1913 MATEMATISK STATISTIK FÖR IT OCH ME ONSDAGEN DEN 12 JANUARI 2011 KL 14.00 19.00. Examinator: Camilla Landén, tel. 7908466. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 15:E AUGUSTI 201 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 849. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merExempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor
Kontinuerliga stokastiska variabler Exempel En stokastisk variabel är kontinuerlig om den kan anta vilka värden som helst i ett intervall, men sannolikheten för varje enskilt utfall är noll: P(X = x) =.
Läs merDel I. Uppgift 1 Låt A och B vara två oberoende händelser. Det gäller att P (A) = 0.4 och att P (B) = 0.3. Bestäm P (B A ). Svar:...
Avd. Matematisk statistik EXEMPELTENTAMEN I SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik (utdelas vid tentamen). Tentamen består av två delar,
Läs merFÖRELÄSNING 7:
FÖRELÄSNING 7: 2016-05-10 LÄRANDEMÅL Normalfördelningen Standardnormalfördelning Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Konfidensnivå Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är känd Samla
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs mercx 5 om 2 x 8 f X (x) = 0 annars Uppgift 4
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 201 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 849. Tillåtna hjälpmedel: miniräknare,
Läs merUppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merKap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen
Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande
Läs merMatematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall
Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett
Läs merStokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merF10 Problemlösning och mer om konfidensintervall
1/13 F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 22/2 2013 2/13 Dagens föreläsning Problemlösning Skattningar Konfidensintervall
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merInledning till statistikteorin. Skattningar och konfidensintervall för μ och σ
Inledning till statistikteorin Skattningar och konfidensintervall för μ och σ Punktskattningar Stickprov från en population - - - Vi vill undersöka bollhavet men får bara göra det genom att ta en boll
Läs meren observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.
February 6, 2018 1 Föreläsning VIII 1.1 Punktskattning Punktskattning av µ Vi låter {ξ 1, ξ 2,..., ξ n } vara oberoende likafördelade stokastiska variabler (med ett gemensamt µ). ξ =: µ är en punktskattning
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merKapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen 1 Statistikor och samplingfördelningar I Kapitel 6 studerades metoder för att bestämma sannolikhetsfördelningen
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90/SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAG 5 JUNI 09 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.
Läs merFöreläsning 7: Stokastiska vektorer
Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Johan Thim johanthim@liuse oktober 8 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX = µ X, V X = σx, EY = µ Y samt V Y = σy Kovariansen CX, Y definieras
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merFöreläsning 11, Matematisk statistik Π + E
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Johan Lindström 27 Januari, 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS012 F11 1/19 Repetition
Läs mer(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1922/SF1923/SF1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 28 MAJ 2019 KL 8.00 13.00. Examinator för SF1922/SF1923: Tatjana Pavlekno, 08-790 86 44. Examinator för
Läs merUppgift 1. f(x) = 2x om 0 x 1
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I Matematisk statistik SF1907, SF1908 OCH SF1913 TORSDAGEN DEN 30 MAJ 2013 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar Englund, 073 321 3745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski
FACIT för Förberedelseuppgifter: SF9 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 206 KL 4.00 9.00. Examinator: Timo Koski - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0. FACIT Problem
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Normalfördelning, Centrala gränsvärdessatsen, Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 06.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik
Läs merLufttorkat trä Ugnstorkat trä
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 och SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 18:E OKTOBER 2012 KL 14.00 19.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merDemonstration av laboration 2, SF1901
KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merFormler och tabeller till kursen MSG830
Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merTryckfel i K. Vännman, Matematisk Statistik, upplaga 2:13
Tryckfel i K. Vännman, Matematisk Statistik, upplaga 2:13 Kasper K. S. Andersen 11 oktober 2018 s. 10, b, l. 8: 1 4 17.62 1 5 17.62 s. 25, Tabell 1.13, linje 1, kolonn 7: 11 111 s. 26, Figur 1.19 b, l.
Läs merTMS136. Föreläsning 7
TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna
Läs merUppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFÖRELÄSNING 8:
FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data
Läs merTentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 16 januari 2004, kl
Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A0 och STA A3 (9 poäng) 6 januari 004, kl. 4.00-9.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogade formel-
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 5:E APRIL 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 28:E OKTOBER 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn Olof Skytt 08-790 86 49. Tillåtna
Läs merTenta i Statistisk analys, 15 december 2004
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merTENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-01 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 5 Johan Lindström 12 september 216 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 F5 1/23 Repetition Gauss approximation Delta metoden
Läs merTentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp
Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.
Läs merBestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merSannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i
Läs merUppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SF905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E AUGSTI 204 KL 08.00 3.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och
Läs mer(a) Avgör om A och B är beroende händelser. (5 p) (b) Bestäm sannolikheten att A inträffat givet att någon av händelserna A och B inträffat.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK I, MÅNDAGEN DEN 15 AUGUSTI 2016 KL 08.00 13.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, 08 790 84 66. Kursledare: Thomas Önskog, 08 790
Läs mera) Beräkna sannolikheten att en följd avkodas fel, det vill säga en ursprungliga 1:a tolkas som en 0:a eller omvänt, i fallet N = 3.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 14:E MARS 017 KL 08.00 13.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merSamplingfördelningar 1
Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi
Läs mer1. En kortlek består av 52 kort, med fyra färger och 13 valörer i varje färg.
Tentamenskrivning för TMS63, Matematisk Statistik. Onsdag fm den 1 juni, 16, Eklandagatan 86. Examinator: Marina Axelson-Fisk. Tel: 7-88113. Tillåtna hjälpmedel: typgodkänd miniräknare, tabell- och formelhäfte
Läs merFöreläsning 12: Linjär regression
Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2019-06-07 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson Jourhavande
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 4 oktober 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Intervallskattning med normalfördelade data: två stickprov (rep.) Intervallskattning
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler Jörgen Säve-Söderbergh Stokastisk variabel Singla en slant två gånger. Ω = {Kr Kr, Kr Kl, Kl Kr, Kl Kl}
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901,SF1905,SF1907 OCH SF1908 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 12:E JANUARI 2011 KL 14.00 19.00. Kursledare: Gunnar Englund för D och I, tel. 7907416.
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merTAMS79: Föreläsning 6. Normalfördelning
TAMS79: Föreläsning 6 Normalfördelningen Johan Thim (johan.thim@liu.se 3 november 018 Normalfördelning Definition. Låt µ R och > 0. Om X är en stokastisk variabel med täthetsfunktion f X ( = 1 ( ep ( µ,
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merLÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Tentamen: 011 10 1 kl 14 00 19 00 Matematikcentrum FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB0, Matematisk statistik kemister, 7.5
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics
Läs mer