Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden

Transkript

1 Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden Anna Lindgren september 2016 Anna Lindgren FMS012/MASB03 F5: väntevärden 1/18

2 2D stokastisk variabel Tvådim. stokastisk variabel (X, Y) Simultan fördelningsfunktion: F X,Y (x, y) = P(X x, Y y) Simultan sannolikhetsfunktion: p X,Y (j, k) = P(X = j, Y = k) Simultan täthetsfunktion: f X,Y (x, y) = Några egenskaper: P[(X, Y) A] = (j,k) A P[(X, Y) A] = p X (j) = k A p X,Y (j, k) p X,Y (j, k) f X,Y (x, y) dxdy 2 x y F X,Y(x, y) Marginell slh.funkt. för X f Y (y) = f X,Y (x, y) dx Marginell täthet för Y Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 2/18

3 2D stokastisk variabel Fler egenskaper (för täthetsfunktioner) Betingad täthetsfunktion för X givet att Y = y X och Y är oberoende f X Y=y (x) = f X,Y(x, y) f Y (y) f X,Y (x, y) = f X (x) f Y (y) för alla (x, y) Satsen om total sannolikhet f Y (y) = f Y X=x (y) f X (x) dx Bayes sats f X Y=y (x) = f Y X=x (y) f X (x) f Y X=z(y) f X (z) dz Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 3/18

4 Oberoende Summa av två oberoende, Z = X + Y Diskret: p Z (k) = i+j=k p X (i) p Y (j) = k p X (i) p Y (k i) i=0 Kontinuerlig: F Z (z) = f X (x) f Y (y) dxdy = f Z (z) = x+y z f X (x) f Y (z x) dx f X (x) F Y (z x) dx Tänk på definitionsområdet! Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 4/18

5 Oberoende Summor av tärningskast Summa av tärningar 0.2 p X (k) Antal tärningar k Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 5/18

6 Oberoende : Summa av diskreta stokastiska variabler Vad blir sannolikhetsfunktionen för summan av två Geometriska stokastiska variabler X och Y? p X (k) = p Y (k) = p(1 p) k, k = 0, 1,..., p X (k) p X+Y (k) k Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 6/18

7 Oberoende : Summa av kontinuerliga stokastiska variabler Vad blir tätheten för Z = X + Y om X, Y Exp(λ), där X och Y är oberoende? { λe λx x > 0 f X (x) = f Y (x) = 0 f.ö f X (x) f X+Y (x) x Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 7/18

8 Maximum Störst av två oberoende Z = max(x, Y) F Z (z) =P(Z z) = P(max(X, Y) z) = P(X z, Y z) =F X (z) F Y (z) Störst av fler oberoende Z = max(x 1,..., X n ) F Z (z) = F X1 (z)... F Xn (z) Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 8/18

9 Minimum Minst av två oberoende Z = min(x, Y) F Z (z) =P(Z z) = P(min(X, Y) z) = 1 P(min(X, Y) > z) =1 P(X > z, Y > z) = 1 [1 F X (z)] [1 F Y (z)] Minst av fler oberoende Z = min(x 1,..., X n ) F Z (z) = 1 [1 F X1 (z)]... [1 F Xn (z)] Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 9/18

10 : Tid tills maskin går sönder Vi har en komplicerad maskin som består av n stycken delsystem. Maskinen fungerar så länge varje delsystem fungerar. Antag att tiden till att delsystem k går sönder är T k, där T k Exp(λ k ), för k = 1, 2,..., n. Delsystemen går sönder oberoende av varandra. Vad är fördelningen för tiden tills maskinen går sönder? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 10/18

11 2 Täthetsfunktioner för min och max av exponentialfördelning X, Y max(x,y) min(x,y) x Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 11/18

12 1 Täthetsfunktioner för max av 1,10,50,100,250,500 Exp(1) fördelningar Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 12/18

13 Väntevärden 6 Succesiva medelvärden för 6 tärningar Antal tärningskast Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 13/18

14 Väntevärde, E(X), μ, μ X, m,... Väntevärdet anger tyngdpunkten för fördelningen och kan tolkas som det värde man får i medeltal i långa loppet. { E(X) = x f X(x) dx Kont. k k p X(k) Diskr. Väntevärde av Y = g(x) { E(Y) = g(x) f X(x) dx Kont. k g(k) p X(k) Diskr. Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 14/18

15 : Keno-3 (igen) I Keno-3 väljs 3 av 70 nr. Vid dragning väljs 20 av dessa 70 ut som vinstnummer. Låt X = Antal vinstnr man prickar in och Y = Vinsten (kr). Två vinstnr ger 5 kr och 3 vinstnr ger 90 kr. Sannolikhetsfunktionerna är j p X (j) k p Y (k) Vad är väntevärdet av antal vinstnr, X, resp. vinsten (kr), Y = g(x)? 1 p X (k) 1 p Y (k) 0.8 E(X) 0.8 E(Y) k k Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 15/18

16 1. Vad blir väntevärdet E(X) om X Exp(λ)? f X (x) E(X) x 2. Vad blir väntevärdet av a + bx om X Exp(λ)? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 16/18

17 Varians, V(X), σ 2, σ 2 X Variansen anger hur utspridd X är kring sitt väntevärde. [ ] } 2 V(X) = E{ X E(X) = E(X 2 ) E(X) 2 Variansen är alltid positiv. Standardavvikelse, D(X), σ, σ X D(X) = V(X) Standardavvikelsen har samma dimension som X och E(X). Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 17/18

18 Vad blir variansen V(X) om X Exp(λ)? Vad blir standardavvikelsen D(X) om X Exp(λ)? Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 18/18