40 5! = 1, ! = 1, Om man drar utan återläggning så kan sannolikheten beräknas som 8 19

Transkript

1 Petter Mostad Tillämpad matematik och statistik Matematiska Vetenskaper, Chalmers Lösninngsförslag för MVE/MSG8 Matematisk statistik och diskret matematik Tenta Januari 27, 8: - 2:. Frågan är formulerat lite otydligt: Under de vanligaste poker-reglerna kan esset reprecentera antingen eller, dock inte samtidigt. Man har då, i varje färj, möjliga sekvenser av efterföljande värden, totalt möjliga straight flush händer. Som uppgiften är formulerat annvänds deuce-to-seven low regler, där esset bara kan representera. Man har då 9 möjliga sekvenser av efterföljade värden i varje färj, totalt 6 möjliga straight flush händer. I första fall får man en sannolikhet ) ( 2 i andra fall en sannolikhet 6 ) ( 2 Båda svaren har godkännts.! ! 2 9 8, 977, Om man drar utan återläggning så kan sannolikheten beräknas som , Dock var uppgiften otydlig i det att man skulle kunna tänkas dra med återläggning. Då blir sannolikheten ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 8 6, Detta svaret har också godkännts.. Genom att använda definitionerna får man F Y (y) P(Y y) P(Y y) P(min(X,..., X n ) y) P((X y) (X 2 y) (X n y)) P(X y) P(X 2 y) P(X n y) ( P(X y)) ( P(X 2 y)) ( P(X n n y)) ( F x (y)) n

2 och F Z (z) P(Z z) P(max(X,..., X n ) z) P((X z) (X 2 z) (X n z)) P(X z) P(x 2 z) P(X n z) F x (z) n. (a) Om A är en stokastiks variabel med exponentialfördelning med väntevärde så är täthetsfunktionen f A (x) e x/, och därmed är fördelningsfunktionen. (a) F A (x) x e t/ dt [ e t/] x e x/ Om motsvarande B är en stokastisk variabel med exponentialfördelning med väntevärde, så får vi F B (x) e x/ Om X är en stokastisk variabel som motsvarar levnadslängden till komponenten så kan vi skriva F X (x) P(X x) P(X x typ A) P(typ A) + P(X x typ B) P(typ B) ( e x/ ). + ( e x/ ).. (e x/ + e x/ ) (b) Vi kan använda Bayes formel: P(typ B X t) P(X t typ B) P(typ B) P(X t) ( F B(t)). F X (t) e t/.. (e t/ + e t/ ) e t/ t/ + e 2t/ + E(X) Var(X) E(X 2 ) E(X) (b) m X (t) E(e tx ) e t.2 + e 2t. + e 2.t.

3 (c) 6. (a) Vi får och m X(t) e t.2 + 2e 2t. + 2.e 2.t. m X() E(X) x x 2 dx Var(X) E(X 2 ) E(X) 2 (b) En sfär med radius X har volymen [ ] x, 7 x 2 x 2 dx [ ] x V πx ( ) 2, 7 och därmed får vi E(V) πe(x ) π x x 2 dx [ ] π 6 x6 2π 2, 9 7. Vi använder genererande funktioner. För x, x 2, x, x får vi de respektiva genererande funktionerna Produkten blir P (x) + x + x 2 + x + x x x P 2 (x) x 6 + x 7 + x 8 + x6 x P (x) + x + x 2 + x + x P (x) + x + x 2 + x + x P (x)p 2 (x)p (x)p (x) ( x )x 6 ( x) (x 6 x ) Vi får därmed att koefficienten framför x 2 i denna serinen blir ( ) ( ) + + 8!!!!!! ( ) n + x n som blir lika med antalet heltalslösningar av de ursprungliga ekvationerna. n

4 8. (a) Vi kan illustrera med.2.96 rökar inte rökar död (b) När vi listar tillstånden i ordningen rökar inte, rökar och död får vi (c) För det första beror sannolikheten att dö generellt på ålder. Det är alltså inte så att det finns en fixerad sannolikhet varje år att dö oberoende av hur gammal man är. Ett annat sätt att säga detta på är att förväntad återstående levnadstid beror på hur gammal man är. Detta är den viktigaste orsaken till att man inte bör använda Markovkädjor för denna sortens modeller. Även sannolikheten för att gå mellan tillstånden rökar och rökar inte beror i praktiken på ålder, och på tidligare rökning. Det är också så att effekten av rökning på sannolikheten för att dö kvarstår i viss mån även efter att man slutat röka. Tillståndet rökar inte har inget minne av om man rökt tidligare eller inte. Även detta gör Markovkädjor till en olämplig modell i detta fallet. (d) Om vi skriver övergångsmatrisen på formen [ ] Q R..9. får vi att den fundamentala matrisen blir [ ]..2 N (I Q)..7 [ ] [ ] [.7 ].2.. Förväntad levnadstid om man inte röker motsvarar summan av värdena i första linje, i.e, + år, medan förväntad lävnadstid om man röker motsvarar summan av värdena i andra linje, i.e., år.

5 En alternativ lösning baserar sig på att lösa ett ekvationssystem: Låt m och m 2 beteckna förväntad återstående levnadslängd (i.e., förväntad antal steg till absorbtion) för icke-rökare respektiva rökare. Då får vi ekvationssystemet m +.96m +.2m 2 m 2 +.m +.9m 2 Vi skriver om till systemet.m +.2m 2 +.m.7m 2 Addition av de två ekvationerna ger 2.m 2 som ger m 2 2/.. Om vi sätter detta in i första ekvationen får vi.m +.2 som ger m.8/.. 9. Låt p ange sannolikheten för vinst i spelet, och låt p.. Hypoteserna blir H : p p H : p < p Estimatorn är ˆp Teststatistikan blir T 6 ˆp p p ( p )/n (.) /9 Då vi har en en-sidig test så blir förkastningsområdet blir alla T som är mindre än -.6, när signifikansnivået är 9%. Vi förkastar alltså inte nollhypotesen. Enligt tabellen för standard normalfördelning blir p-värdet.2 när test-statistikan har värdet (a) Vi måste anta att observationerna är stickprov (alltså oberoende), och att populationerna är normalfördelade.

6 (b) Tyvärr kan uppgiften läsas som att observationerna från population B är antingen 6.,., och., eller 6,,., och.. Under beskrivs detta som alternativ och alternativ 2: Alternativ : Medelvärde och stickprovsvarians för population A: x A.2 och s 2 A Medelvärde och stickprovsvarians för population B: x B och s 2 B 7.7. Pooled variance: s 2 p s2 A + 2 s2 B + 2 Ett 9%-ig konfidensintervall för µ A µ B blir: x A x B ±t.2, ( + ) ± ±.2872 alltså [ 2.78,.7], och ett 9%-ig konfidensintervall blir x A x B ±t.,+ 2 alltså [.86,.78]. ( + ) ± ±.2789 Alternativ 2: Medelvärde och stickprovsvarians för population A: x A.2 och s 2 A Medelvärde och stickprovsvarians för population B: x B. och s 2 B Pooled variance: s 2 p s2 A + s2 B + Ett 9%-ig konfidensintervall för µ A µ B blir: x A x B ±t.2, ( + ).2.± ±.88 alltså [.99,.6], och ett 9%-ig konfidensintervall blir x A x B ±t.,+ 2 alltså [.,.96]. ( + ).2.± ±2.628